Mathematik · Mittelschule Bayern · Klasse 9 · Regelklasse und M-Zug · Lernbereich 2: Potenzen · LehrplanPLUS
Zehnerpotenzen: sehr große und sehr kleine Zahlen
Eine Festplatte hat 2 Terabyte, ein Virus misst 100 Nanometer, das Licht legt 300 000 Kilometer pro Sekunde zurück. Solche Zahlen schreibt niemand mit allen Nullen aus. Dafür gibt es Zehnerpotenzen – und die Vorsätze nano, mikro, kilo, mega, giga, die Dir in Technik und Beruf ständig begegnen.
Darum geht es in diesem Lernbereich
Du bist an einer anderen Schulart? Dasselbe Thema gibt es auf dem jeweiligen Niveau auch für Realschule Klasse 7 · Wirtschaftsschule Klasse 8.
Regelklasse oder M-Zug? Dieser Lernbereich ist für beide Züge gleich. Diese Seite gilt für Dich, egal in welcher Klasse Du bist – und sie ist Quali-Stoff.
1. Der Exponent zählt die Nullen
Merke
\( a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n\ \text{Faktoren}} \)
\( a^0 = 1 \)
\( a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \)
Bei Zehnerpotenzen gibt der Exponent an, wie viele Stellen das Komma verschoben wird:
\( 10^3 = 1000 \)
\( 10^6 = 1\,000\,000 \)
\( 10^{-3} = 0{,}001 \)
\( 10^{-6} = 0{,}000001 \)
Positiver Exponent bedeutet große Zahl, negativer Exponent bedeutet kleine Zahl – aber nie eine negative Zahl. \( 10^{-3} \) ist positiv.
2. Die wissenschaftliche Schreibweise
Merke
In der wissenschaftlichen Schreibweise steht genau eine Ziffer vor dem Komma, danach folgt die Zehnerpotenz:
\( 3\,400\,000 = 3{,}4 \cdot 10^{6} \)
\( 0{,}000042 = 4{,}2 \cdot 10^{-5} \)
So findest Du den Exponenten: Zähle, um wie viele Stellen Du das Komma verschieben musst, bis nur noch eine Ziffer davorsteht.
- Komma nach links verschoben → Exponent positiv
- Komma nach rechts verschoben → Exponent negativ
Beispiel: umschreiben und vergleichen
| Dezimalschreibweise | Zehnerpotenz | wo Du das findest |
|---|---|---|
| 300 000 000 m/s | \( 3 \cdot 10^{8} \) m/s | Lichtgeschwindigkeit |
| 0,000 000 1 m | \( 1 \cdot 10^{-7} \) m | Größe eines Virus |
| 0,000 05 m | \( 5 \cdot 10^{-5} \) m | Dicke eines Haares |
Vergleichen: Welche Zahl ist größer, \( 3{,}2 \cdot 10^{5} \) oder \( 8 \cdot 10^{4} \)?
Schau zuerst auf den Exponenten: 5 ist größer als 4, also ist \( 3{,}2 \cdot 10^{5} = 320\,000 \) größer als \( 8 \cdot 10^{4} = 80\,000 \) – obwohl vorne die kleinere Ziffer steht. Nur bei gleichem Exponenten entscheidet die vordere Zahl.
3. Mit Zehnerpotenzen rechnen
Merke: Zahlen mit Zahlen, Potenzen mit Potenzen
\( 10^m \cdot 10^n = 10^{m+n} \)
\( 10^m : 10^n = 10^{m-n} \)
Beim Multiplizieren werden die Exponenten addiert, beim Dividieren subtrahiert – niemals multipliziert.
Beispiel: rechnen
a) \( \left(3 \cdot 10^{4}\right) \cdot \left(2 \cdot 10^{-6}\right) \)
\( = (3 \cdot 2) \cdot 10^{\,4 + (-6)} = 6 \cdot 10^{-2} = 0{,}06 \)
b) \( \left(5 \cdot 10^{6}\right) : \left(2{,}5 \cdot 10^{2}\right) \)
\( = (5 : 2{,}5) \cdot 10^{\,6-2} = 2 \cdot 10^{4} = 20\,000 \)
c) \( \left(4 \cdot 10^{3}\right) + \left(2 \cdot 10^{3}\right) \) – hier wird nur addiert, die Potenz bleibt:
\( = 6 \cdot 10^{3} = 6000 \)
Aber Vorsicht: Addieren geht nur bei gleichem Exponenten. Sonst musst Du erst umschreiben.
4. Speicher, Technik und Größenordnungen
Merke: die SI-Vorsätze in der Technik
| nano (n) | \( 10^{-9} \) | kilo (k) | \( 10^{3} \) |
| mikro (µ) | \( 10^{-6} \) | mega (M) | \( 10^{6} \) |
| milli (m) | \( 10^{-3} \) | giga (G) | \( 10^{9} \) |
| zenti (c) | \( 10^{-2} \) | tera (T) | \( 10^{12} \) |
Du kennst die Vorsätze längst: Kilogramm, Millimeter, Zentimeter. In der Technik geht es einfach weiter.
Beispiel: Speichergrößen
a) Eine Festplatte hat 250 GB. Wie viel MB sind das?
\( 250\ \text{GB} = 250 \cdot 1000\ \text{MB} = 250\,000\ \text{MB} = 2{,}5 \cdot 10^{5}\ \text{MB} \)
b) Wie viele Fotos zu je 4 MB passen darauf?
\( 250\,000 : 4 = 62\,500 \)
c) Ein Kabel ist 0,4 mm dick. Gib die Dicke in Metern in Zehnerpotenzschreibweise an.
\( 0{,}4\ \text{mm} = 0{,}0004\ \text{m} = 4 \cdot 10^{-4}\ \text{m} \)
Größenordnung abschätzen: Fragt jemand „wie viel ist das ungefähr?“, genügt der Exponent. \( 4 \cdot 10^{-4} \) Meter ist etwa ein Zehntelmillimeter – also ungefähr so dick wie ein Haar.
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Typische Fehler
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So machst Du es richtig
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Die Formeln dieser Seite auf einen Blick
\( a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n\ \text{Faktoren}} \)
\( a^0 = 1 \)
\( a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \)
\( 10^m \cdot 10^n = 10^{m+n} \)
\( 10^m : 10^n = 10^{m-n} \)
Schreib Dir diese Formeln heraus. In der Prüfung gibt es schon Punkte für die richtig hingeschriebene Formel – auch dann, wenn sich beim Rechnen ein Fehler einschleicht.
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Grundlage: LehrplanPLUS Bayern, Mittelschule, Jahrgangsstufe 9, Lernbereich 2 „Potenzen“ (Fachlehrplan Mathematik, Regelklasse und Mittlere-Reife-Klasse). Alle Rechenbeispiele sind eigene Aufgaben und maschinell gegengerechnet.