Mathematik · Mittelschule Bayern · Klasse 6 · Lernbereich 5: Rauminhalt – Quader · LehrplanPLUS
Rauminhalt von Würfel und Quader – vom Einheitswürfel zum Liter
Wie viel Wasser passt in das Aquarium? Wie viel Erde in das Hochbeet? Wie viele Umzugskartons in den Transporter? Das ist die Frage nach dem Rauminhalt – auch Volumen genannt. Im letzten Lernbereich ging es um die Außenhaut, jetzt geht es um das, was hineinpasst.
Darum geht es in diesem Lernbereich
- Raumvorstellung mit Würfelbauten
- Ansichten von Würfelbauten
- Rauminhalte vergleichen
- Der Einheitswürfel
- Der Volumenbegriff
- Das Volumen des Quaders herleiten
- Das Volumen des Würfels
- Kubikeinheiten: m³, dm³, cm³ und mm³
- Der Zusammenhang von Liter und dm³
- Zusammengesetzte Körper
- Sachaufgaben zum Volumen
- Volumeneinheiten umrechnen
Du bist an einer anderen Schulart? Dasselbe Thema gibt es auf dem jeweiligen Niveau auch für Realschule Klasse 6 · Wirtschaftsschule Klasse 7.
1. Der Einheitswürfel – woher die Formel kommt
Genau wie Du eine Fläche mit Einheitsquadraten auslegst, füllst Du einen Körper mit Einheitswürfeln. Ein Würfel mit \( 1\ \text{cm} \) Kantenlänge hat das Volumen \( 1\ \text{cm}^3 \) (gesprochen: ein Kubikzentimeter).
Merke: die beiden Formeln
Quader: \( V = a \cdot b \cdot c \)
Würfel: \( V = a \cdot a \cdot a = a^3 \)
Einheit: Weil drei Längen multipliziert werden, steht beim Volumen immer eine hochgestellte 3: cm³, dm³, m³.
Oberfläche oder Volumen? So unterscheidest Du sicher
| Frage in der Aufgabe | Gesucht | Einheit |
|---|---|---|
| Wie viel Farbe, Papier, Blech, Glas? | Oberfläche | cm², m² |
| Wie viel Wasser, Sand, Erde, Luft passt hinein? | Volumen | cm³, dm³, Liter |
Merksatz: Anstreichen ist Oberfläche, einfüllen ist Volumen.
2. Kubikeinheiten umrechnen
Merke: der Umrechnungsfaktor ist 1000
Bei Längen rechnest Du mit 10, bei Flächen mit 100, bei Volumen mit 1000. Der Grund: In einen Würfel von 1 cm Kantenlänge passen \( 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000 \) Würfelchen von 1 mm Kantenlänge.
\( 1\ \text{cm}^3 = 1000\ \text{mm}^3 \)
\( 1\ \text{dm}^3 = 1000\ \text{cm}^3 \)
\( 1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{dm}^3 \)
Und die wichtigste Brücke überhaupt:
\( 1\ \text{l} = 1\ \text{dm}^3 \)
\( 1\ \text{ml} = 1\ \text{cm}^3 \)
\( 1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{l} \)
Ein Liter ist also genau ein Würfel mit 10 cm Kantenlänge. Diese Vorstellung brauchst Du bis zur Abschlussprüfung.
3. Rechnen mit der Formel
Beispiel: Quader und Würfel
a) Ein Quader ist \( 6\ \text{cm} \) lang, \( 4\ \text{cm} \) breit und \( 3\ \text{cm} \) hoch.
\( V = 6\ \text{cm} \cdot 4\ \text{cm} \cdot 3\ \text{cm} = 72\ \text{cm}^3 \)
b) Ein Würfel hat die Kantenlänge \( 5\ \text{cm} \).
\( V = 5\ \text{cm} \cdot 5\ \text{cm} \cdot 5\ \text{cm} = 125\ \text{cm}^3 \)
Derselbe Würfel hatte im letzten Lernbereich die Oberfläche \( 150\ \text{cm}^2 \). Gleiche Zahlengröße, völlig verschiedene Bedeutung – achte auf die Einheit.
Beispiel: Aquarium – wie viele Liter?
Ein Aquarium ist \( 80\ \text{cm} \) lang, \( 35\ \text{cm} \) breit und \( 40\ \text{cm} \) hoch.
\( V = 80\ \text{cm} \cdot 35\ \text{cm} \cdot 40\ \text{cm} = 112\,000\ \text{cm}^3 \)
Umrechnen in Liter – \( 1000\ \text{cm}^3 \) sind 1 Liter:
\( 112\,000\ \text{cm}^3 : 1000 = 112\ \text{dm}^3 = 112\ \text{l} \)
Antwort: In das Aquarium passen 112 Liter. Randvoll füllt man es natürlich nicht – bei 5 cm Rand wären es \( 80 \cdot 35 \cdot 35 = 98\,000\ \text{cm}^3 \), also 98 Liter.
Beispiel: zusammengesetzter Körper
Ein Hochbeet besteht aus einem großen Quader (\( 200\ \text{cm} \times 80\ \text{cm} \times 60\ \text{cm} \)). In der Mitte ist eine Aussparung von \( 100\ \text{cm} \times 40\ \text{cm} \times 60\ \text{cm} \) für einen Wassertank. Wie viel Erde passt hinein?
\( V_{\text{groß}} = 200 \cdot 80 \cdot 60\ \text{cm}^3 = 960\,000\ \text{cm}^3 \)
\( V_{\text{Aussparung}} = 100 \cdot 40 \cdot 60\ \text{cm}^3 = 240\,000\ \text{cm}^3 \)
\( V_{\text{Erde}} = 960\,000 – 240\,000 = 720\,000\ \text{cm}^3 = 720\ \text{l} \)
Antwort: Es passen 720 Liter Erde hinein, also \( 0{,}72\ \text{m}^3 \).
4. Umkehraufgaben
Beispiel: fehlende Kante finden
Ein Quader hat das Volumen \( V = 72\ \text{cm}^3 \), ist \( 6\ \text{cm} \) lang und \( 4\ \text{cm} \) breit. Wie hoch ist er?
Zuerst die Grundfläche, dann rückwärts teilen:
\( 6\ \text{cm} \cdot 4\ \text{cm} = 24\ \text{cm}^2 \)
\( c = 72\ \text{cm}^3 : 24\ \text{cm}^2 = 3\ \text{cm} \)
Probe: \( 6 \cdot 4 \cdot 3\ \text{cm}^3 = 72\ \text{cm}^3 \) – stimmt. Die Einheiten helfen mit: cm³ geteilt durch cm² ergibt cm.
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Typische Fehler
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So machst Du es richtig
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Die Formeln dieser Seite auf einen Blick
\( V = a \cdot b \cdot c \)
\( V = a \cdot a \cdot a = a^3 \)
Schreib Dir diese Formeln heraus. In der Prüfung gibt es schon Punkte für die richtig hingeschriebene Formel – auch dann, wenn sich beim Rechnen ein Fehler einschleicht.
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Grundlage: LehrplanPLUS Bayern, Mittelschule, Jahrgangsstufe 6, Lernbereich 5 „Rauminhalt – Quader“ (Fachlehrplan Mathematik). Alle Rechenbeispiele sind eigene Aufgaben und maschinell gegengerechnet.