Mathematik · Mittelschule Bayern · Klasse 6 · Lernbereich 4: Flächeninhalt – Oberflächeninhalt von Quadern · LehrplanPLUS
Oberfläche von Würfel und Quader – wie viel Karton wird gebraucht?
Wie viel Pappe steckt in einer Schachtel? Wie viel Farbe braucht man für eine Kiste? Wie viel Geschenkpapier für ein Paket? Immer geht es um die Oberfläche – also um alles, was Du von außen anfassen kannst. Und der Schlüssel dazu ist das Netz aus dem letzten Lernbereich.
Darum geht es in diesem Lernbereich
Du bist an einer anderen Schulart? Dasselbe Thema gibt es auf dem jeweiligen Niveau auch für Realschule Klasse 6 · Wirtschaftsschule Klasse 7.
1. Die Oberfläche ist die Summe aller Außenflächen
Schneide einen Karton auf und leg ihn flach hin: Du siehst sechs Rechtecke. Ihre Flächeninhalte zusammengezählt ergeben die Oberfläche. Mehr steckt nicht dahinter – die Formel ist nur eine Abkürzung für dieses Zusammenzählen.
Merke: die Formeln
Im Netz kommt jede Fläche zweimal vor – vorn und hinten, links und rechts, oben und unten. Deshalb steht die 2 vor der Klammer:
Quader: \( O = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c) \)
Würfel: \( O = 6 \cdot a \cdot a = 6a^2 \)
Beim Würfel sind alle sechs Flächen gleich große Quadrate – deshalb nur mal 6.
Einheit: Die Oberfläche ist eine Fläche und wird in cm², dm² oder m² angegeben – niemals in cm³.
2. Rechnen mit der Formel
Beispiel: Quader
Ein Quader ist \( a = 6\ \text{cm} \) lang, \( b = 4\ \text{cm} \) breit und \( c = 3\ \text{cm} \) hoch.
Schritt 1 – die drei verschiedenen Flächen:
\( a \cdot b = 24\ \text{cm}^2 \)
\( a \cdot c = 18\ \text{cm}^2 \)
\( b \cdot c = 12\ \text{cm}^2 \)
Schritt 2 – addieren und verdoppeln:
\( O = 2 \cdot (24 + 18 + 12)\ \text{cm}^2 = 2 \cdot 54\ \text{cm}^2 = 108\ \text{cm}^2 \)
Antwort: Die Oberfläche beträgt \( 108\ \text{cm}^2 \). Das ist genau das Ergebnis aus dem Netz oben.
Beispiel: Würfel
Ein Würfel hat die Kantenlänge \( a = 5\ \text{cm} \).
\( O = 6 \cdot 5\ \text{cm} \cdot 5\ \text{cm} = 6 \cdot 25\ \text{cm}^2 = 150\ \text{cm}^2 \)
Antwort: Die Oberfläche beträgt \( 150\ \text{cm}^2 \).
3. Sachaufgaben
Beispiel: Umzugskarton
Ein Umzugskarton ist \( 50\ \text{cm} \) lang, \( 30\ \text{cm} \) breit und \( 40\ \text{cm} \) hoch. Wie viel Pappe wird für einen Karton gebraucht?
\( a \cdot b = 1500\ \text{cm}^2 \)
\( a \cdot c = 2000\ \text{cm}^2 \)
\( b \cdot c = 1200\ \text{cm}^2 \)
\( O = 2 \cdot (1500 + 2000 + 1200)\ \text{cm}^2 = 2 \cdot 4700\ \text{cm}^2 = 9400\ \text{cm}^2 \)
In Quadratmetern: \( 9400\ \text{cm}^2 : 10\,000 = 0{,}94\ \text{m}^2 \).
Antwort: Es werden rund \( 0{,}94\ \text{m}^2 \) Pappe gebraucht – ohne Klebelaschen und Verschnitt.
Beispiel: Aquarium ohne Deckel
Ein Aquarium ist \( 80\ \text{cm} \) lang, \( 35\ \text{cm} \) breit und \( 40\ \text{cm} \) hoch. Es hat keinen Deckel. Wie viel Glas wird gebraucht?
Hier fehlt eine Fläche – die Deckelfläche \( a \cdot b \). Du rechnest also die volle Oberfläche und ziehst sie ab:
\( O_{\text{ganz}} = 2 \cdot (2800 + 3200 + 1400)\ \text{cm}^2 = 2 \cdot 7400\ \text{cm}^2 = 14\,800\ \text{cm}^2 \)
\( O_{\text{ohne Deckel}} = 14\,800\ \text{cm}^2 – 2800\ \text{cm}^2 = 12\,000\ \text{cm}^2 \)
Antwort: Es werden \( 12\,000\ \text{cm}^2 \) Glas gebraucht, also \( 1{,}2\ \text{m}^2 \).
Lies die Aufgabe genau: „ohne Deckel“, „ohne Boden“, „nur die Seitenwände“ – solche Zusätze entscheiden über die halbe Punktzahl.
4. Umkehraufgaben
Beispiel: von der Oberfläche zur Kante
Ein Würfel hat die Oberfläche \( O = 150\ \text{cm}^2 \). Wie lang ist eine Kante?
Rückwärts rechnen: erst durch 6 teilen, das ergibt eine Quadratfläche.
\( 150\ \text{cm}^2 : 6 = 25\ \text{cm}^2 \)
Welche Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt 25? Die 5.
\( a = 5\ \text{cm} \)
Probe: \( 6 \cdot 5\ \text{cm} \cdot 5\ \text{cm} = 150\ \text{cm}^2 \) – stimmt.
5. Zusammengesetzte Körper
Merke
Bei zusammengesetzten Körpern rechnest Du die Oberflächen der Einzelkörper aus und ziehst die verdeckten Flächen ab – und zwar zweimal, denn beide Körper verlieren dort je eine Fläche.
Frag Dich einfach: Kann ich diese Fläche von außen anstreichen? Wenn nein, gehört sie nicht zur Oberfläche.
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Typische Fehler
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So machst Du es richtig
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Die Formeln dieser Seite auf einen Blick
\( O = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c) \)
\( O = 6 \cdot a \cdot a = 6a^2 \)
Schreib Dir diese Formeln heraus. In der Prüfung gibt es schon Punkte für die richtig hingeschriebene Formel – auch dann, wenn sich beim Rechnen ein Fehler einschleicht.
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Erzeuge Dir zu diesem Thema beliebig viele Übungsaufgaben mit vollständigem Lösungsweg – passend zur Mittelschule Bayern und Deiner Klasse.
Grundlage: LehrplanPLUS Bayern, Mittelschule, Jahrgangsstufe 6, Lernbereich 4 „Flächeninhalt – Oberflächeninhalt von Quadern“ (Fachlehrplan Mathematik). Alle Rechenbeispiele sind eigene Aufgaben und maschinell gegengerechnet.