Mathematik · Mittelschule Bayern · Klasse 6 · Lernbereich 7: Gleichungen und Formeln · LehrplanPLUS
Formeln umstellen: fehlende Kantenlängen am Quader finden
In Klasse 5 hast Du Gleichungen mit einem Platzhalter gelöst. Jetzt wird es praktischer: Du kennst das Volumen einer Kiste und zwei ihrer Kanten – wie lang ist die dritte? Solche Umkehraufgaben sind der Kern dieses Lernbereichs. Und sie sind der direkte Vorläufer dessen, was Du später beim Umstellen jeder Formel brauchst.
Darum geht es in diesem Lernbereich
Du bist an einer anderen Schulart? Dasselbe Thema gibt es auf dem jeweiligen Niveau auch für Realschule Klasse 6 · Wirtschaftsschule Klasse 6.
1. Buchstaben in Formeln sind Platzhalter für Längen
Merke: die Formeln aus diesem Schuljahr
| Umfang Rechteck | \( u = 2 \cdot (a + b) \) |
| Fläche Rechteck | \( A = a \cdot b \) |
| Volumen Quader | \( V = a \cdot b \cdot c \) |
| Volumen Würfel | \( V = a \cdot a \cdot a \) |
| Oberfläche Würfel | \( O = 6 \cdot a \cdot a \) |
Die Buchstaben \( a \), \( b \), \( c \) stehen für Zahlen mit Einheit. Sobald Du sie einsetzt, wird aus der Formel eine ganz gewöhnliche Rechnung.
Beispiel: einsetzen
Berechne das Volumen für \( a = 8\ \text{cm} \), \( b = 5\ \text{cm} \), \( c = 3\ \text{cm} \).
\( V = a \cdot b \cdot c = 8\ \text{cm} \cdot 5\ \text{cm} \cdot 3\ \text{cm} = 120\ \text{cm}^3 \)
Immer in dieser Reihenfolge: erst die Formel hinschreiben, dann die Zahlen einsetzen, dann rechnen. In der Prüfung gibt es für jeden dieser Schritte Punkte.
2. Die Umkehraufgabe am Quader
Merke: so gehst Du rückwärts
- Formel hinschreiben und die bekannten Werte einsetzen.
- Zusammenfassen, was Du schon ausrechnen kannst (hier: die Grundfläche).
- Umkehren: Aus mal wird geteilt.
- Probe: das Ergebnis in die Ausgangsformel einsetzen.
Beispiel 1: die Höhe fehlt
Ein Quader hat \( V = 120\ \text{cm}^3 \), \( a = 8\ \text{cm} \) und \( b = 5\ \text{cm} \). Wie hoch ist er?
\( 8\ \text{cm} \cdot 5\ \text{cm} \cdot c = 120\ \text{cm}^3 \)
\( 40\ \text{cm}^2 \cdot c = 120\ \text{cm}^3 \)
\( c = 120\ \text{cm}^3 : 40\ \text{cm}^2 = 3\ \text{cm} \)
Probe: \( 8 \cdot 5 \cdot 3\ \text{cm}^3 = 120\ \text{cm}^3 \) – stimmt.
Beispiel 2: die Würfelkante fehlt
Ein Würfel hat die Oberfläche \( O = 96\ \text{cm}^2 \). Wie lang ist eine Kante?
\( 6 \cdot a \cdot a = 96\ \text{cm}^2 \)
\( a \cdot a = 96\ \text{cm}^2 : 6 = 16\ \text{cm}^2 \)
Welche Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt 16? Die 4.
\( a = 4\ \text{cm} \)
Probe: \( 6 \cdot 4 \cdot 4\ \text{cm}^2 = 96\ \text{cm}^2 \) – stimmt.
Und das Volumen dieses Würfels: \( V = 4 \cdot 4 \cdot 4\ \text{cm}^3 = 64\ \text{cm}^3 \).
Beispiel 3: die Breite fehlt
Ein Behälter fasst 240 Liter. Er ist \( 2\ \text{m} \) lang und \( 0{,}6\ \text{m} \) hoch. Wie breit ist er?
Zuerst die Einheiten angleichen: \( 240\ \text{l} = 240\ \text{dm}^3 = 0{,}24\ \text{m}^3 \).
\( 2\ \text{m} \cdot b \cdot 0{,}6\ \text{m} = 0{,}24\ \text{m}^3 \)
\( 1{,}2\ \text{m}^2 \cdot b = 0{,}24\ \text{m}^3 \)
\( b = 0{,}24\ \text{m}^3 : 1{,}2\ \text{m}^2 = 0{,}2\ \text{m} = 20\ \text{cm} \)
Antwort: Der Behälter ist 20 cm breit.
3. Zahlenrätsel mit mehreren Schritten
Beispiel
„Multipliziere eine Zahl mit 4 und subtrahiere 7. Du erhältst 29.“
\( 4 \cdot x – 7 = 29 \)
\( 29 + 7 = 36 \qquad 36 : 4 = 9 \)
Antwort: Die gesuchte Zahl ist 9.
Probe: \( 4 \cdot 9 – 7 = 36 – 7 = 29 \) – stimmt.
Die Reihenfolge entscheidet
Hättest Du zuerst durch 4 geteilt, wäre \( 29 : 4 = 7{,}25 \) herausgekommen – falsch. Rückwärts machst Du immer die zuletzt ausgeführte Rechnung zuerst rückgängig. Beim Ausziehen ziehst Du die Jacke auch vor dem Pullover aus.
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Typische Fehler
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So machst Du es richtig
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Die Formeln dieser Seite auf einen Blick
\( u = 2 \cdot (a + b) \)
\( A = a \cdot b \)
\( V = a \cdot b \cdot c \)
\( V = a \cdot a \cdot a \)
\( O = 6 \cdot a \cdot a \)
Schreib Dir diese Formeln heraus. In der Prüfung gibt es schon Punkte für die richtig hingeschriebene Formel – auch dann, wenn sich beim Rechnen ein Fehler einschleicht.
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Grundlage: LehrplanPLUS Bayern, Mittelschule, Jahrgangsstufe 6, Lernbereich 7 „Gleichungen und Formeln“ (Fachlehrplan Mathematik). Alle Rechenbeispiele sind eigene Aufgaben und maschinell gegengerechnet.