Mathematik Realschule Bayern · Klasse 6 · Lernbereich 5 „Terme und Gleichungen“ (LehrplanPLUS) · BY
Terme und Gleichungen: Grundlagen
Stell dir eine kleine Rechenmaschine vor: Du wirfst eine Zahl hinein, die Maschine rechnet nach einer festen Vorschrift, und hinten kommt das Ergebnis heraus. Diese Vorschrift – zum Beispiel „verdreifachen“ oder „plus fünf“ – kannst du mit einem Term aufschreiben, in dem eine Variable für die hineingeworfene Zahl steht. Und wenn du weißt, was hinten herauskommen soll, und die hineingeworfene Zahl gesucht ist, wird aus dem Term eine Gleichung. Auf dieser Seite lernst du, wie du Terme aufstellst und berechnest und wie du einfache Gleichungen sicher löst – am besten mit dem Bild einer Balkenwaage, die immer im Gleichgewicht bleiben muss.
Wozu brauchst du das?
Terme und Gleichungen begegnen dir überall, wo eine unbekannte Zahl gesucht ist: Wie viele Tüten Kekse wurden verkauft, wenn du den Gesamterlös kennst? Wie viele Holzbretter wurden nachgeliefert, wenn du den alten und den neuen Lagerbestand kennst? Auch Taschengeld-Sparpläne, Rezept-Mengen fürs Backen oder Ballons pro Kind auf einer Feier lassen sich mit einem Term beschreiben und mit einer Gleichung ausrechnen. Und das Waage-Prinzip, das du hier lernst, ist die Grundlage für jede Gleichung, die du in den nächsten Schuljahren lösen wirst.
Inhalt dieser Seite
- Terme mit einer Variablen aufstellen
- Terme berechnen: Einsetzen von Zahlen
- Gleichwertige Terme
- Gleichungen aufstellen und durch Probieren lösen
- Gleichungen der Form \( x + b = c \) lösen
- Gleichungen der Form \( a \cdot x = c \) lösen
- Sachaufgaben mit einfachen Gleichungen
- Das Wichtigste in Kürze
1. Terme mit einer Variablen aufstellen
Ein Term ist eine Rechenvorschrift, in der mindestens eine Zahl noch nicht feststeht. Für diese unbekannte Zahl schreibst du einen Buchstaben, eine Variable – meistens \( x \). Am einfachsten stellst du dir einen Term als kleine Rechenmaschine vor: Du wirfst die Zahl für \( x \) hinein, die Maschine wendet ihre Vorschrift an, und heraus kommt der Termwert.
Beispiel A – Vervielfachen
Rosina verkauft auf dem Schulfest Tüten mit selbst gebackenen Keksen. Jede Tüte kostet 3 €. Die Anzahl der verkauften Tüten kennt sie noch nicht, sie nennt sie \( x \). Der Term für ihren Erlös in Euro lautet:
Beispiel B – Dazuzählen
Papa hat bereits 5 Legosteine in einer Kiste. Marie legt noch \( x \) weitere Steine dazu. Die Gesamtzahl der Steine in der Kiste beschreibst du mit dem Term:
Hier ist die Vorschrift der Rechenmaschine also nicht „mal etwas“, sondern „plus 5“. Achte beim Aufstellen von Termen immer genau auf den Sachverhalt: „3 € je Tüte“ bedeutet Multiplikation (\( 3x \)), „5 Steine sind schon da“ bedeutet Addition (\( x + 5 \)).
Merke: Ein Term mit Variable ist eine Rechenvorschrift für eine noch nicht feststehende Zahl \( x \). Lies den Sachtext genau: Ein fester Preis pro Stück führt zu einem Term wie \( a \cdot x \), ein bereits vorhandener, fester Anteil führt zu einem Term wie \( x + b \).
2. Terme berechnen: Einsetzen von Zahlen
Um den Termwert zu berechnen, setzt du für die Variable eine bestimmte Zahl ein und rechnest aus. Welche Zahlen überhaupt eingesetzt werden dürfen, legt die Grundmenge fest – bei Stückzahlen zum Beispiel nur natürliche Zahlen, denn eine Tüte kann man nicht einen halben Mal verkaufen.
Beispiel – Wertetabelle zum Term \( 3x \) (Grundmenge: natürliche Zahlen)
| x (Tüten) | 2 | 4 | 6 |
| Rechnung | \( 3 \cdot 2 \) | \( 3 \cdot 4 \) | \( 3 \cdot 6 \) |
| Termwert 3x (€) | 6 | 12 | 18 |
Und für den Term \( x + 5 \) aus Beispiel B: Setzt Marie \( x = 8 \) Steine dazu, dann liegen insgesamt \( 8 + 5 = 13 \) Steine in der Kiste.
Merke: Um einen Termwert zu berechnen, setzt du eine Zahl aus der Grundmenge für die Variable ein und rechnest den entstandenen Rechenausdruck aus. Zu jedem eingesetzten \( x \) gehört genau ein Termwert.
3. Gleichwertige Terme
Zwei Terme heißen gleichwertig (äquivalent), wenn sie für jede eingesetzte Zahl denselben Termwert liefern. Mit den dir bekannten Rechengesetzen (Kommutativgesetz, Distributivgesetz) kannst du Terme umformen, ohne ihren Wert zu verändern.
Beispiel – Zusammenfassen mit dem Distributivgesetz
Ein zweiter Kekstisch verkauft die gleichen Tüten zu 4 € und zusätzlich Waffeln, deren Erlös ebenfalls von der Anzahl \( x \) abhängt: 3 € je Waffel bei gleicher Stückzahl. Der Gesamterlös ist \( 4x + 3x \). Das kannst du zusammenfassen:
Probe durch Termwertberechnung mit \( x = 5 \):
| Term \( 4x + 3x \) | \( 4 \cdot 5 + 3 \cdot 5 = 20 + 15 = 35 \) |
| Term \( 7x \) | \( 7 \cdot 5 = 35 \) |
| Ergebnis | beide Termwerte sind 35 – gleichwertig ✓ |
Auch die Reihenfolge einer Addition darfst du vertauschen (Kommutativgesetz): \( x + 5 \) ist gleichwertig zu \( 5 + x \) – beide ergeben für jedes \( x \) denselben Termwert.
Merke: Terme sind gleichwertig, wenn sie für jede eingesetzte Zahl denselben Termwert ergeben. Du weist das nach, indem du eine Zahl einsetzt und in beiden Termen nachrechnest – das ist keine Probe für alle \( x \), aber ein guter Test, ob deine Umformung stimmen kann.
4. Gleichungen aufstellen und durch Probieren lösen
Wenn du weißt, welchen Wert der Term am Ende annehmen soll, wird aus dem Term eine Gleichung: ein Rechenausdruck mit Variable, einem Gleichheitszeichen und einer Zahl auf der anderen Seite. Gesucht ist jetzt die Zahl für \( x \), die die Gleichung wahr macht – die Lösung. Ein einfacher, aber wichtiger Weg dahin ist das Probieren: Du setzt Zahlen ein, bis die Gleichung stimmt.
Beispiel – verbalisieren, aufstellen, probieren
Rosina hat mit ihren Kekstüten zu je 3 € insgesamt 21 € eingenommen. Wie viele Tüten hat sie verkauft?
| Probe \( x = 5 \) | \( 3 \cdot 5 = 15 \ne 21 \) – zu wenig |
| Probe \( x = 8 \) | \( 3 \cdot 8 = 24 \ne 21 \) – zu viel |
| Probe \( x = 7 \) | \( 3 \cdot 7 = 21 \) ✓ |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \{7\} \) |
Antwort: Rosina hat 7 Tüten verkauft. Probieren funktioniert gut, wenn die Zahlen klein sind – bei größeren oder krummen Zahlen wird es aber mühsam. Deshalb lernst du jetzt ein Verfahren, das immer und ohne Raten zur Lösung führt: die Waage.
Merke: Eine Gleichung entsteht, wenn ein Term einen bestimmten, vorgegebenen Wert annehmen soll. Die Lösung ist die Zahl, die eingesetzt die Gleichung wahr macht; alle Lösungen zusammen bilden die Lösungsmenge IL. Probieren ist erlaubt und sinnvoll, aber kein sicherer Weg für jede Gleichung.
5. Gleichungen der Form \( x + b = c \) lösen
Stell dir eine Gleichung als Balkenwaage im Gleichgewicht vor: Auf der linken Waagschale liegt der Term, auf der rechten Waagschale liegt die Zahl. Weil die Waage im Gleichgewicht ist, sind beide Seiten gleich schwer. Das Entscheidende: Wenn du auf beiden Waagschalen gleichzeitig dasselbe wegnimmst oder dazulegst, bleibt die Waage im Gleichgewicht. Das ist das Prinzip der Äquivalenzumformung. Auch hier gilt: Nur Zahlen aus der jeweils vereinbarten Grundmenge (z. B. \( \text{IN} \), \( \text{Z} \) oder \( \text{Q} \)) dürfen als Lösung in die Lösungsmenge \( \text{IL} \) aufgenommen werden.
Beispiel – \( x + 7 = 15 \)
| Gleichung | \( x + 7 = 15 \) |
| auf beiden Seiten \( -7 \) | \( x + 7 – 7 = 15 – 7 \) |
| Lösung | \( x = 8 \) |
Probe: \( 8 + 7 = 15 \) ✓. \( \text{IL} = \{8\} \).
Merke: Bei einer Gleichung der Form \( x + b = c \) subtrahierst du auf beiden Seiten die Zahl \( b \). Die Waage bleibt im Gleichgewicht, weil du auf beiden Schalen genau dasselbe wegnimmst. Es bleibt \( x = c – b \) – sofern dieser Wert zur vereinbarten Grundmenge gehört.
Die Grundmenge entscheidet, ob es eine Lösung gibt
Bei \( x + 9 = 5 \) mit der Grundmenge \( \text{IN} \) (natürliche Zahlen) würde \( x = 5 – 9 = -4 \) herauskommen. Doch \( -4 \) gehört nicht zur Grundmenge \( \text{IN} \), also gibt es hier keine Lösung: \( \text{IL} = \{\} \). Wählt man dagegen die größere Grundmenge \( \text{Z} \) (ganze Zahlen), dann ist \( -4 \in \text{Z} \) und es gilt \( \text{IL} = \{-4\} \). Deshalb gehört zu jeder Gleichung immer die Angabe der Grundmenge – ohne sie ist die Lösungsmenge nicht eindeutig bestimmt.
6. Gleichungen der Form \( a \cdot x = c \) lösen
Genauso funktioniert es, wenn auf der linken Waagschale mehrere gleich schwere Kästchen liegen: Teilst du beide Schalen in gleich viele Teile, bleibt die Waage im Gleichgewicht.
Beispiel – \( 4x = 28 \)
| Gleichung | \( 4x = 28 \) |
| auf beiden Seiten \( : 4 \) | \( 4x : 4 = 28 : 4 \) |
| Lösung | \( x = 7 \) |
Probe: \( 4 \cdot 7 = 28 \) ✓. \( \text{IL} = \{7\} \).
Auch hier zählt die Grundmenge
Bei \( 4x = 10 \) mit der Grundmenge \( \text{IN} \) ergibt \( x = 10 : 4 = 2{,}5 \) – das ist keine natürliche Zahl, also \( \text{IL} = \{\} \) bezüglich \( \text{IN} \). Wählt man die Grundmenge \( \text{Q} \) (rationale Zahlen), dann ist \( 2{,}5 \in \text{Q} \) und \( \text{IL} = \{2{,}5\} \). Ob eine Gleichung lösbar ist, hängt also nicht nur von der Gleichung selbst ab, sondern immer auch von der vereinbarten Grundmenge – deshalb gehört sie stets mit zur Aufgabenstellung.
Merke: Bei einer Gleichung der Form \( a \cdot x = c \) dividierst du auf beiden Seiten durch den Vorfaktor \( a \). Es bleibt \( x = c : a \) – sofern dieser Wert zur vereinbarten Grundmenge gehört, sonst ist \( \text{IL} = \{\} \). In beiden Fällen – ob \( -b \) oder \( : a \) – gilt dieselbe Grundregel der Waage: was du links tust, musst du rechts genauso tun.
7. Sachaufgaben mit einfachen Gleichungen
Bei Sachaufgaben ist das Aufstellen der Gleichung meist schwieriger als das Lösen. Gehe so vor: (1) Die gesuchte Größe als \( x \) benennen – mit Einheit. (2) Den Sachtext in eine Gleichung übersetzen. (3) Mit dem Waage-Prinzip lösen. (4) Probe am Text. (5) Antwortsatz mit Einheit.
Beispiel 1 – Form \( a \cdot x = c \)
Im Holzwerk Brandl werden Schrauben für Bausatz-Sets in Tüten zu je 8 Stück abgepackt. Für eine große Bestellung wurden insgesamt 96 Schrauben benötigt. Wie viele Tüten wurden verpackt?
| Festlegung | \( x \) = Anzahl der Tüten |
| Gleichung | \( 8x = 96 \) |
| auf beiden Seiten \( : 8 \) | \( x = 12 \) |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \{12\} \) |
Probe am Text: \( 12 \) Tüten zu je 8 Schrauben ergeben \( 12 \cdot 8 = 96 \) Schrauben ✓. Antwort: Es wurden 12 Tüten verpackt.
Beispiel 2 – Form \( x + b = c \)
Im Lager des Holzwerks lagen bereits 34 Holzbretter. Nach einer Lieferung zählt Herr Brandl 79 Bretter im Lager. Wie viele Bretter wurden geliefert?
| Festlegung | \( x \) = Anzahl der gelieferten Bretter |
| Gleichung | \( x + 34 = 79 \) |
| auf beiden Seiten \( -34 \) | \( x = 45 \) |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \{45\} \) |
Probe am Text: \( 45 + 34 = 79 \) ✓. Antwort: Es wurden 45 Bretter geliefert.
Merke: Achte beim Übersetzen genau auf das Wort „insgesamt“ bzw. „bereits vorhanden“: Ein fester Preis je Stück führt zu \( a \cdot x = c \), ein bereits vorhandener fester Bestand führt zu \( x + b = c \). Die Probe gehört immer in den Aufgabentext, nicht nur in die Gleichung.
8. Das Wichtigste in Kürze
Merke – die fünf Kernpunkte dieser Seite:
- Ein Term mit Variable ist eine Rechenvorschrift wie bei einer Rechenmaschine: Zahl rein → Vorschrift → Termwert raus.
- Zwei Terme sind gleichwertig, wenn sie für jede eingesetzte Zahl denselben Termwert liefern.
- Eine Gleichung stellt zwei Terme gleich; die Lösungsmenge IL enthält alle Zahlen, die die Gleichung wahr machen.
- Stell dir die Gleichung als Balkenwaage vor: Was du auf der einen Seite tust – abziehen, addieren, dividieren, multiplizieren – musst du auf der anderen Seite genauso tun, sonst kippt sie aus dem Gleichgewicht.
- Bei \( x + b = c \) rechnest du \( -b \) auf beiden Seiten, bei \( a \cdot x = c \) rechnest du \( : a \) auf beiden Seiten. Die Probe gehört immer in die Ausgangsgleichung – bei Sachaufgaben zusätzlich in den Aufgabentext.
- Ob eine Lösung existiert, hängt von der Grundmenge ab (z. B. \( \text{IN} \), \( \text{Z} \) oder \( \text{Q} \)): Gehört der berechnete Wert nicht zur Grundmenge, ist \( \text{IL} = \{\} \).
9. So fragt die Abschlussprüfung
Terme und einfache Gleichungen sind Werkzeuge, die dich bis zur Abschlussprüfung begleiten. Gefragt wird fast immer im Sachzusammenhang: Term aufstellen, Termwert berechnen, Gleichung lösen, Grundmenge beachten, Antwortsatz schreiben. Drei typische Formen aus dem Holzwerk-Kontext:
Aufgabe 1 – Term aufstellen und Termwert berechnen. Das Holzwerk Brandl berechnet für zugeschnittene Regalbretter 8 € je Brett und zusätzlich eine einmalige Zuschnittpauschale von 15 €. Stelle einen Term \( T(x) \) für den Gesamtpreis auf und berechne den Preis für 12 Bretter.
| Variable festlegen | \( x \) = Anzahl der Bretter, \( x \in \text{IN} \) |
| Term | \( T(x) = 8x + 15 \) |
| einsetzen | \( T(12) = 8 \cdot 12 + 15 = 96 + 15 \) |
| Termwert | \( T(12) = 111 \) (also 111 €) |
Gegenprobe am Text: 12 Bretter kosten \( 12 \cdot 8\ \text{€} = 96\ \text{€} \), dazu die Pauschale von 15 € – zusammen 111 € ✓. Die Pauschale wird einmal und nicht je Brett berechnet. Antwort: Der Gesamtpreis beträgt 111 €.
Aufgabe 2 – Gleichung der Form \( a \cdot x = c \). Katharina Brandl bezahlt für eine Lieferung Leimflaschen insgesamt 288 €. Eine Flasche kostet 12 €. Wie viele Flaschen wurden geliefert? Grundmenge \( \text{IN} \).
| Festlegung | \( x \) = Anzahl der Flaschen |
| Gleichung | \( 12 \cdot x = 288 \) |
| auf beiden Seiten \( : 12 \) | \( x = 288 : 12 = 24 \) |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \{24\} \) |
Probe in der Ausgangsgleichung: \( 12 \cdot 24 = 288 \) ✓. Und 24 ist eine natürliche Zahl, gehört also zur Grundmenge \( \text{IN} \) ✓. Antwort: Es wurden 24 Flaschen geliefert.
Aufgabe 3 – wenn die Grundmenge entscheidet. Tobias soll 30 Regalböden gleichmäßig auf 4 vollständig zu packende Paletten verteilen, ohne ein Brett zu zersägen. Löse \( 4x = 30 \) in der Grundmenge \( \text{IN} \).
| Gleichung | \( 4x = 30 \) |
| auf beiden Seiten \( : 4 \) | \( x = 30 : 4 = 7{,}5 \) |
| Grundmenge prüfen | \( 7{,}5 \notin \text{IN} \) |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \{\} \) |
Gegenprobe: \( 4 \cdot 7 = 28 \) und \( 4 \cdot 8 = 32 \) – zwischen 7 und 8 liegt keine natürliche Zahl, die 30 ergibt ✓. In der Grundmenge \( \text{Q} \) wäre \( \text{IL} = \{7{,}5\} \) dagegen richtig. Antwort: In \( \text{IN} \) hat die Gleichung keine Lösung: Die 30 Böden lassen sich nicht ohne Rest auf 4 Paletten verteilen.
10. Typische Fehler – und wie du die Punkte rettest
- Feste Pauschale mit dem Stückpreis multipliziert. Ursache: Aus „8 € je Brett und 15 € Pauschale“ wird \( (8+15) \cdot x \) statt \( 8x + 15 \). Vermeidung: Frage bei jeder Zahl, ob sie je Stück oder einmalig anfällt – nur das „je Stück“ wird mit \( x \) multipliziert.
- Umformung nur auf einer Seite ausgeführt. Ursache: Das Waage-Prinzip wird vergessen, es wird nur links \( -34 \) oder \( :12 \) gerechnet. Vermeidung: Schreibe jede Umformung mit senkrechtem Strich hinter die Gleichung und führe sie sichtbar auf beiden Seiten aus.
- Bei \( a \cdot x = c \) subtrahiert statt dividiert. Ursache: Die Gegenoperation wird verwechselt, weil in der Nachbaraufgabe \( x + b = c \) stand. Vermeidung: Schau auf das Rechenzeichen zwischen Zahl und Variable – Malpunkt bedeutet dividieren, Plus bedeutet subtrahieren.
- Variable nicht erklärt. Ursache: Es wird direkt gerechnet, ohne zu sagen, was \( x \) bedeutet. Vermeidung: Der erste Satz jeder Sachaufgabe lautet „\( x \) = …“ – dafür gibt es in der Prüfung einen eigenen Punkt.
- Grundmenge ignoriert. Ursache: Der berechnete Wert wird als Lösung angegeben, obwohl er nicht zur Grundmenge gehört (z. B. 7,5 in \( \text{IN} \)). Vermeidung: Prüfe vor dem Aufschreiben von \( \text{IL} \), ob der Wert in der angegebenen Grundmenge liegt – sonst ist \( \text{IL} = \{\} \).
- Probe nur in der umgeformten Gleichung gemacht. Ursache: Eingesetzt wird in die letzte Zeile, in der \( x \) schon allein steht – das kann nie falsch werden. Vermeidung: Setze immer in die Ausgangsgleichung ein und zusätzlich in den Aufgabentext.
- Antwortsatz und Einheit fehlen. Ursache: Nach \( \text{IL} = \{24\} \) wird abgebrochen. Vermeidung: Schreibe immer einen vollständigen Satz mit Einheit dazu – „Es wurden 24 Flaschen geliefert.“
Weiterlernen
- Direkte Proportionalität – wenn der Term \( a \cdot x \) eine ganze Zuordnung beschreibt.
- Terme, Gleichungen und Ungleichungen (Klasse 7) – hier kombinierst du das Waage-Prinzip zu Gleichungen der Form \( ax + b = c \).
- Terme, Gleichungen und Ungleichungen (Klasse 8) – komplexere Terme mit mehreren Variablen und binomischen Formeln.
- Systeme linearer Gleichungen – wenn du zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten gleichzeitig lösen musst.
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