Mathematik · Mittelschule Bayern · Klasse 5 · Lernbereich 7: Gleichungen und Formeln · LehrplanPLUS
Gleichungen und Formeln: mit Platzhaltern rechnen und Umkehraufgaben lösen
„Ich denke mir eine Zahl. Ich addiere 17 und erhalte 45. Welche Zahl war es?“ Solche Rätsel löst Du bisher durch Probieren. In diesem Lernbereich lernst Du die Sprache, mit der man das aufschreibt – und die Dir bis zur Abschlussprüfung erhalten bleibt.
Darum geht es in diesem Lernbereich
Du bist an einer anderen Schulart? Dasselbe Thema gibt es auf dem jeweiligen Niveau auch für Realschule Klasse 6 · Wirtschaftsschule Klasse 6.
1. Die Variable – ein Buchstabe statt einer Lücke
Statt \( \square + 17 = 45 \) schreibt man in der Mathematik \( x + 17 = 45 \). Der Buchstabe \( x \) ist ein Platzhalter für eine Zahl, die Du noch nicht kennst. Man nennt ihn Variable.
Merke: die Wörter
- Eine Gleichung ist eine Rechnung mit einem Gleichheitszeichen: \( x + 17 = 45 \).
- Die Variable ist der Buchstabe, meist \( x \) – es geht aber jeder andere auch.
- Die Lösung ist die Zahl, die eingesetzt eine wahre Aussage ergibt.
- Die Probe ist das Einsetzen zur Kontrolle.
2. Zwei Wege zur Lösung
Merke: Probieren oder Umkehren
Weg 1 – systematisch probieren. Du setzt eine Zahl ein, schaust, ob das Ergebnis zu groß oder zu klein ist, und näherst Dich an.
Weg 2 – die Umkehraufgabe. Du machst die Rechnung rückwärts. Das geht schneller und ist der Weg, den Du später immer nutzt.
Beispiel: die vier Grundtypen
| Gleichung | Umkehrung | Lösung | Probe |
|---|---|---|---|
| \( x + 17 = 45 \) | \( 45 – 17 \) | \( x = 28 \) | \( 28 + 17 = 45 \) |
| \( x – 12 = 30 \) | \( 30 + 12 \) | \( x = 42 \) | \( 42 – 12 = 30 \) |
| \( 6 \cdot x = 54 \) | \( 54 : 6 \) | \( x = 9 \) | \( 6 \cdot 9 = 54 \) |
| \( x : 4 = 15 \) | \( 15 \cdot 4 \) | \( x = 60 \) | \( 60 : 4 = 15 \) |
Das Muster: Plus wird zu Minus, Minus zu Plus, Mal zu Geteilt, Geteilt zu Mal. Die Umkehrung macht die Rechnung rückgängig.
3. Zahlenrätsel in eine Gleichung übersetzen
Merke: die Signalwörter
| addiere, vermehre um, Summe | \( + \) |
| subtrahiere, vermindere um, Differenz | \( – \) |
| multipliziere, das Doppelte, Produkt | \( \cdot \) |
| dividiere, die Hälfte, Quotient | \( : \) |
| ergibt, ist, erhält man | \( = \) |
Beispiel: Zahlenrätsel
„Multipliziere eine Zahl mit 7 und addiere 12. Du erhältst 61. Wie heißt die Zahl?“
Übersetzen:
\( 7 \cdot x + 12 = 61 \)
Rückwärts rechnen – die letzte Rechnung zuerst rückgängig machen:
\( 61 – 12 = 49 \qquad 49 : 7 = 7 \)
Antwort: Die gesuchte Zahl ist 7.
Probe: \( 7 \cdot 7 + 12 = 49 + 12 = 61 \) – stimmt.
4. Formeln aus der Geometrie
Eine Formel ist eine Gleichung, in der mehrere Größen vorkommen. Du kennst schon zwei davon aus den Lernbereichen 3 und 4.
Merke: die beiden Formeln aus Klasse 5
Umfang des Rechtecks: \( u = 2 \cdot (a + b) \)
Flächeninhalt des Rechtecks: \( A = a \cdot b \)
Kennst Du zwei der drei Größen, kannst Du die dritte ausrechnen – genau wie bei den Zahlenrätseln, nur mit Einheiten.
Beispiel 1: Umfang gegeben, Seite gesucht
Ein Rechteck hat den Umfang \( u = 26\ \text{cm} \). Eine Seite ist \( a = 8\ \text{cm} \) lang. Wie lang ist \( b \)?
\( 2 \cdot (8\ \text{cm} + b) = 26\ \text{cm} \)
Rückwärts: erst die Multiplikation mit 2 rückgängig machen, dann die Addition:
\( 26\ \text{cm} : 2 = 13\ \text{cm} \)
\( 13\ \text{cm} – 8\ \text{cm} = 5\ \text{cm} \)
Antwort: Die Seite \( b \) ist 5 cm lang.
Probe: \( 2 \cdot (8 + 5)\ \text{cm} = 2 \cdot 13\ \text{cm} = 26\ \text{cm} \) – stimmt.
Beispiel 2: Fläche gegeben, Seite gesucht
Ein Rechteck hat den Flächeninhalt \( A = 36\ \text{cm}^2 \) und die Seite \( a = 9\ \text{cm} \). Wie lang ist \( b \)?
\( 9\ \text{cm} \cdot b = 36\ \text{cm}^2 \)
\( b = 36\ \text{cm}^2 : 9\ \text{cm} = 4\ \text{cm} \)
Antwort: Die Seite \( b \) ist 4 cm lang.
Probe: \( 9\ \text{cm} \cdot 4\ \text{cm} = 36\ \text{cm}^2 \) – stimmt.
5. Die Probe – Deine eigene Kontrolle
Merke
Setz Deine Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein. Kommt links dasselbe heraus wie rechts, ist die Lösung richtig.
Die Probe dauert zwanzig Sekunden und macht Dich unabhängig vom Lösungsblatt. Schreib sie immer mit auf – in der Prüfung gibt es dafür Punkte.
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Typische Fehler
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So machst Du es richtig
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Die Formeln dieser Seite auf einen Blick
\( u = 2 \cdot (a + b) \)
\( A = a \cdot b \)
Schreib Dir diese Formeln heraus. In der Prüfung gibt es schon Punkte für die richtig hingeschriebene Formel – auch dann, wenn sich beim Rechnen ein Fehler einschleicht.
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Grundlage: LehrplanPLUS Bayern, Mittelschule, Jahrgangsstufe 5, Lernbereich 7 „Gleichungen und Formeln“ (Fachlehrplan Mathematik). Alle Rechenbeispiele sind eigene Aufgaben und maschinell gegengerechnet.