Mathematik · Mittelschule Bayern · Klasse 5 · Lernbereich 2: Ganze Zahlen · LehrplanPLUS
Ganze Zahlen im Alltag: Temperatur, Höhe und Kontostand
Im Winter zeigt das Thermometer \( -7\ ^\circ\text{C} \). Im Parkhaus drückst Du den Knopf mit der \( -2 \). Auf dem Kontoauszug steht \( -35{,}00\ \text{€} \). Zahlen können also auch unter null liegen. In diesem Lernbereich lernst Du, was diese Zahlen bedeuten, wie Du sie ordnest und wie Du mit ihnen Veränderungen beschreibst.
Darum geht es in diesem Lernbereich
- Positive und negative Zahlen
- Ganze Zahlen auf der Zahlengeraden
- Zahlen vergleichen und ordnen
- Vorzeichen und Gegenzahl
- Temperaturen und Höhenunterschiede
- Zustandsänderungen darstellen
- Addieren ganzer Zahlen im Sachkontext
- Subtrahieren ganzer Zahlen im Sachkontext
- Plausibilitätskontrolle bei Sachaufgaben
Du bist an einer anderen Schulart? Dasselbe Thema gibt es auf dem jeweiligen Niveau auch für Realschule Klasse 5 · Wirtschaftsschule Klasse 6.
1. Die Zahlengerade geht in beide Richtungen
Den Zahlenstrahl aus Lernbereich 1 verlängerst Du jetzt nach links über die Null hinaus. Links von der Null stehen die negativen Zahlen, rechts die positiven. Die Null selbst ist weder das eine noch das andere.
Merke
Je weiter rechts eine Zahl liegt, desto größer ist sie. Das gilt auch im negativen Bereich:
\( -7 < -4 < -1 < 0 < 3 < 6 \)
Achtung, das ist die größte Stolperfalle: \( -7 \) ist kleiner als \( -4 \), obwohl die 7 größer ist als die 4. Denk an die Temperatur: \( -7\ ^\circ\text{C} \) ist kälter als \( -4\ ^\circ\text{C} \).
Merke: Gegenzahl
Die Gegenzahl einer Zahl liegt genau gleich weit von der Null entfernt, aber auf der anderen Seite.
Gegenzahl von \( 5 \) ist \( -5 \) · Gegenzahl von \( -12 \) ist \( 12 \) · Gegenzahl von \( 0 \) ist \( 0 \)
2. Wo negative Zahlen im Alltag vorkommen
| Situation | Was ist die Null? | Beispiel |
|---|---|---|
| Temperatur | Gefrierpunkt von Wasser | \( -7\ ^\circ\text{C} \) heißt: 7 Grad unter null |
| Höhe | Meeresspiegel | Totes Meer: \( -430\ \text{m} \) |
| Konto | ausgeglichenes Konto | \( -35\ \text{€} \) heißt: 35 € Schulden |
| Parkhaus, Aufzug | Erdgeschoss | \( -2 \) ist das zweite Untergeschoss |
3. Veränderungen berechnen
Merke: der Weg auf der Zahlengeraden
- Plus bedeutet: nach rechts gehen (wärmer, Geld drauf, höher).
- Minus bedeutet: nach links gehen (kälter, Geld weg, tiefer).
- Der Unterschied zweier Zahlen ist die Anzahl der Schritte zwischen ihnen – und immer eine positive Zahl.
Beispiel 1: Temperatur
Morgens zeigt das Thermometer \( -5\ ^\circ\text{C} \). Bis Mittag steigt die Temperatur um 8 Grad. Wie warm ist es dann?
Du gehst von \( -5 \) aus 8 Schritte nach rechts. Nach 5 Schritten bist Du bei 0, es bleiben noch 3 Schritte:
\( -5 + 8 = 3 \)
Antwort: Um die Mittagszeit sind es \( 3\ ^\circ\text{C} \).
Beispiel 2: Konto
Auf einem Konto stehen \( -120\ \text{€} \). Es gehen 200 € Gehalt ein.
\( -120\ \text{€} + 200\ \text{€} = 80\ \text{€} \)
Antwort: Danach sind 80 € auf dem Konto.
Werden davon 150 € abgebucht, geht es wieder nach links:
\( 80\ \text{€} – 150\ \text{€} = -70\ \text{€} \)
Antwort: Das Konto ist mit 70 € im Minus.
Beispiel 3: Höhenunterschied
Die Zugspitze ist \( 2\,962\ \text{m} \) hoch, der Wasserspiegel des Toten Meeres liegt bei \( -430\ \text{m} \). Wie groß ist der Höhenunterschied?
Du zählst die Schritte von \( -430 \) hinauf bis \( 0 \) und von dort weiter bis \( 2\,962 \):
\( 430\ \text{m} + 2\,962\ \text{m} = 3\,392\ \text{m} \)
Antwort: Der Höhenunterschied beträgt \( 3\,392\ \text{m} \).
Merke: Plausibilitätskontrolle
Frag Dich nach jeder Rechnung: Kann das sein? Ein Höhenunterschied ist nie negativ. Eine Temperatur von \( 300\ ^\circ\text{C} \) im Winter ist Unsinn. Ein Kontostand darf dagegen sehr wohl negativ sein. Wer so denkt, findet die meisten Rechenfehler selbst.
4. Zustandsänderungen aufschreiben
In Tabellen wird oft nicht der Zustand notiert, sondern die Änderung. Dann brauchst Du beides: den Startwert und die Veränderungen.
Beispiel: eine Woche Wetter
| Tag | Änderung gegenüber dem Vortag | Temperatur |
|---|---|---|
| Montag | Startwert | \( -3\ ^\circ\text{C} \) |
| Dienstag | \( +5 \) | \( 2\ ^\circ\text{C} \) |
| Mittwoch | \( -6 \) | \( -4\ ^\circ\text{C} \) |
| Donnerstag | \( +1 \) | \( -3\ ^\circ\text{C} \) |
| Freitag | \( +9 \) | \( 6\ ^\circ\text{C} \) |
Kontrollfrage: Welcher Tag war der kälteste? Der Mittwoch mit \( -4\ ^\circ\text{C} \) – obwohl am Montag die größere Ziffer stand.
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Typische Fehler
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So machst Du es richtig
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