Mathematik · Mittelschule Bayern · Klasse 5 · Lernbereich 3: Geometrische Figuren und Lagebeziehungen · LehrplanPLUS
Figuren und Lagebeziehungen – vom Koordinatensystem bis zum Umfang
Ein Fußballfeld hat Seitenlinien, die parallel laufen. Ein Türrahmen hat rechte Winkel. Auf einer Landkarte findest Du einen Ort über zwei Zahlen. In diesem Lernbereich lernst Du die Sprache der Geometrie: Wie man Punkte angibt, wie Linien zueinander liegen und wie man den Umfang einer Figur berechnet.
Darum geht es in diesem Lernbereich
- Das Koordinatensystem im 1. Quadranten
- Punkte eintragen und Koordinaten ablesen
- Ursprung, Rechtswert und Hochwert
- Strecke, Gerade und Strahl unterscheiden
- Parallele Geraden
- Senkrechte Geraden und der rechte Winkel
- Abstand zweier paralleler Geraden
- Dreiecke und Vierecke erkennen und beschreiben
- Umfang von Dreiecken und Vierecken
- Umfang zusammengesetzter Figuren
- Längeneinheiten in Geometrieaufgaben
Du bist an einer anderen Schulart? Dasselbe Thema gibt es auf dem jeweiligen Niveau auch für Realschule Klasse 5 · Wirtschaftsschule Klasse 6.
1. Das Koordinatensystem – jeder Punkt hat eine Adresse
Zwei Zahlenstrahlen, die sich im rechten Winkel schneiden, ergeben ein Koordinatensystem. Der Schnittpunkt heißt Ursprung. Jeder Punkt bekommt zwei Zahlen: zuerst nach rechts, dann nach oben.
Merke: die Schreibweise
\( A(2\,|\,3) \) – gelesen: „A von 2, 3“
Die erste Zahl ist der Rechtswert (nach rechts, \( x \)-Richtung). Die zweite Zahl ist der Hochwert (nach oben, \( y \)-Richtung).
Eselsbrücke: Erst gehen, dann stehen. Erst zur Tür, dann die Treppe hoch.
2. Strecke, Gerade und Strahl
Merke
Nur die Strecke hat eine Länge, die Du messen kannst. Man schreibt sie mit einem Strich darüber: \( \overline{AB} = 6\ \text{cm} \).
Gerade und Strahl gehen unendlich weiter – auf dem Blatt siehst Du nur einen Ausschnitt.
3. Parallel und senkrecht
Merke
- Parallel heißt: Die beiden Geraden haben überall denselben Abstand und treffen sich nie. Zeichen: \( g \parallel h \).
- Senkrecht (auch: orthogonal) heißt: Die Geraden schneiden sich im rechten Winkel, also mit \( 90^\circ \). Zeichen: \( k \perp l \). Man zeichnet das kleine Quadrat mit dem Punkt darin.
- Der Abstand wird immer senkrecht gemessen – schräg messen gibt einen zu großen Wert.
4. Dreiecke und Vierecke
Merke: die wichtigsten Vierecke
| Figur | Daran erkennst Du sie |
|---|---|
| Quadrat | vier gleich lange Seiten, vier rechte Winkel |
| Rechteck | vier rechte Winkel, gegenüberliegende Seiten gleich lang |
| Parallelogramm | gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang |
| Trapez | mindestens ein Paar paralleler Seiten |
Jedes Quadrat ist auch ein Rechteck – aber nicht jedes Rechteck ist ein Quadrat.
5. Der Umfang
Merke: was der Umfang ist
Der Umfang \( u \) ist der Weg einmal rundherum. Stell Dir vor, Du legst eine Schnur um die Figur – ihre Länge ist der Umfang. Er wird in Längeneinheiten gemessen: mm, cm, m, km.
Rechteck: \( u = a + b + a + b = 2 \cdot (a + b) \)
Quadrat: \( u = 4 \cdot a \)
Dreieck: \( u = a + b + c \)
Beispiel: Umfang rückwärts
Ein Rechteck hat den Umfang \( u = 30\ \text{cm} \) und die Seite \( a = 9\ \text{cm} \). Wie lang ist die Seite \( b \)?
Zwei Seiten \( a \) sind zusammen \( 18\ \text{cm} \). Der Rest verteilt sich auf die beiden Seiten \( b \):
\( 30\ \text{cm} – 18\ \text{cm} = 12\ \text{cm} \)
\( 12\ \text{cm} : 2 = 6\ \text{cm} \)
Antwort: Die Seite \( b \) ist 6 cm lang.
Probe: \( 2 \cdot (9 + 6)\ \text{cm} = 30\ \text{cm} \) – stimmt.
6. Umfang zusammengesetzter Figuren
Merke: so verlierst Du keine Seite
- Setz den Stift an eine Ecke und fahr einmal ganz herum.
- Hak jede Seite ab, sobald Du sie notiert hast.
- Fehlende Maße ergänzen: Die beiden waagrechten Stücke unten (4 cm) und oben (4 cm) ergeben zusammen die 8 cm der obersten Seite.
- Am Ende alles addieren und die Einheit dazuschreiben.
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Typische Fehler
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So machst Du es richtig
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Die Formeln dieser Seite auf einen Blick
\( u = a + b + a + b = 2 \cdot (a + b) \)
\( u = 4 \cdot a \)
\( u = a + b + c \)
Schreib Dir diese Formeln heraus. In der Prüfung gibt es schon Punkte für die richtig hingeschriebene Formel – auch dann, wenn sich beim Rechnen ein Fehler einschleicht.
✏️ Jetzt selbst üben – im Aufgabengenerator
Erzeuge Dir zu diesem Thema beliebig viele Übungsaufgaben mit vollständigem Lösungsweg – passend zur Mittelschule Bayern und Deiner Klasse.
Grundlage: LehrplanPLUS Bayern, Mittelschule, Jahrgangsstufe 5, Lernbereich 3 „Geometrische Figuren und Lagebeziehungen“ (Fachlehrplan Mathematik). Alle Rechenbeispiele sind eigene Aufgaben und maschinell gegengerechnet.