Mathematik · Mittelschule Bayern · Klasse 5 · Lernbereich 4: Flächeninhalt – Rechtecke · LehrplanPLUS
Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat – Böden, Fliesen, Grundstücke
Wie viele Fliesen brauchst Du für das Bad? Wie viel Rasen muss gemäht werden? Wie viel Stoff steckt in einem Zelt? Immer geht es um den Flächeninhalt – also darum, wie viel Platz eine Figur einnimmt. Wichtig: Das ist etwas ganz anderes als der Umfang.
Darum geht es in diesem Lernbereich
Du bist an einer anderen Schulart? Dasselbe Thema gibt es auf dem jeweiligen Niveau auch für Realschule Klasse 5.
1. Einheitsquadrate – woher die Formel kommt
Um eine Fläche zu messen, legst Du sie lückenlos mit gleich großen Quadraten aus. Ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm heißt Einheitsquadrat und hat den Flächeninhalt \( 1\ \text{cm}^2 \) (gesprochen: ein Quadratzentimeter).
Merke: die beiden Formeln
Rechteck: \( A = a \cdot b \) Quadrat: \( A = a \cdot a \)
Du zählst die Quadrate in einer Reihe und multiplizierst mit der Anzahl der Reihen. Genau das macht die Formel.
Die Einheit verrät Dir alles: Länge in cm, Fläche in cm². Wenn bei einer Flächenaufgabe cm herauskommt, hast Du Umfang gerechnet.
2. Umfang oder Fläche? Der Unterschied
Beispiel: beides an derselben Figur
Ein Rechteck ist \( 7\ \text{cm} \) lang und \( 4\ \text{cm} \) breit.
Umfang: \( u = 2 \cdot (7\ \text{cm} + 4\ \text{cm}) = 22\ \text{cm} \)
Flächeninhalt: \( A = 7\ \text{cm} \cdot 4\ \text{cm} = 28\ \text{cm}^2 \)
Gleiche Figur, zwei verschiedene Fragen – und zwei verschiedene Einheiten.
3. Flächeneinheiten und ihre Umrechnung
Merke: der Umrechnungsfaktor ist 100
Bei Längen rechnest Du mit 10 (\( 1\ \text{cm} = 10\ \text{mm} \)). Bei Flächen ist es das Quadrat davon, also 100. Der Grund: In ein Quadrat von 1 cm Seitenlänge passen \( 10 \cdot 10 = 100 \) Quadrate von 1 mm Seitenlänge.
| \( 1\ \text{cm}^2 = 100\ \text{mm}^2 \) | \( 1\ \text{dm}^2 = 100\ \text{cm}^2 \) |
| \( 1\ \text{m}^2 = 100\ \text{dm}^2 \) | \( 1\ \text{m}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2 \) |
| \( 1\ \text{a} = 100\ \text{m}^2 \) (ein Ar) | \( 1\ \text{ha} = 100\ \text{a} = 10\,000\ \text{m}^2 \) |
Beispiel: umrechnen
\( 3\ \text{m}^2 = 3 \cdot 10\,000\ \text{cm}^2 = 30\,000\ \text{cm}^2 \)
\( 450\ \text{cm}^2 = 450 : 100\ \text{dm}^2 = 4{,}5\ \text{dm}^2 \)
\( 2\ \text{ha} = 2 \cdot 10\,000\ \text{m}^2 = 20\,000\ \text{m}^2 \)
Richtungsprobe: Von der großen zur kleinen Einheit wird die Zahl größer (mal 100), von der kleinen zur großen kleiner (durch 100).
4. Zusammengesetzte Flächen
Viele Flächen im Alltag sind keine einfachen Rechtecke. Du zerlegst sie dann in Rechtecke – oder Du ergänzt zu einem großen Rechteck und ziehst das fehlende Stück ab. Beide Wege führen zum selben Ergebnis.
Beispiel: beide Wege, dasselbe Ergebnis
Die L-förmige Fläche oben ist insgesamt 8 cm breit und 6 cm hoch. Unten rechts fehlt ein Stück von 4 cm mal 4 cm.
Weg 1 – zerlegen:
\( A_1 = 8\ \text{cm} \cdot 2\ \text{cm} = 16\ \text{cm}^2 \)
\( A_2 = 4\ \text{cm} \cdot 4\ \text{cm} = 16\ \text{cm}^2 \)
\( A = 16\ \text{cm}^2 + 16\ \text{cm}^2 = 32\ \text{cm}^2 \)
Weg 2 – ergänzen und abziehen:
\( A = 8\ \text{cm} \cdot 6\ \text{cm} – 4\ \text{cm} \cdot 4\ \text{cm} = 48\ \text{cm}^2 – 16\ \text{cm}^2 = 32\ \text{cm}^2 \)
Beide Wege ergeben 32 cm². Such Dir den aus, der Dir leichter fällt – und benutz den anderen als Probe.
5. Sachaufgaben
Beispiel: Laminat für das Zimmer
Ein Zimmer ist \( 4{,}5\ \text{m} \) lang und \( 3\ \text{m} \) breit. Laminat kostet \( 18\ \text{€} \) pro Quadratmeter. Wie teuer wird der Boden?
\( A = 4{,}5\ \text{m} \cdot 3\ \text{m} = 13{,}5\ \text{m}^2 \)
\( 13{,}5 \cdot 18\ \text{€} = 243\ \text{€} \)
Antwort: Der Boden kostet 243 €.
Beispiel: Fliesen zählen
Eine Wand ist \( 2\ \text{m} \) hoch und \( 3\ \text{m} \) breit. Eine Fliese ist quadratisch mit \( 20\ \text{cm} \) Seitenlänge. Wie viele Fliesen werden gebraucht?
Erst alles in dieselbe Einheit – hier in Zentimeter:
\( A_{\text{Wand}} = 200\ \text{cm} \cdot 300\ \text{cm} = 60\,000\ \text{cm}^2 \)
\( A_{\text{Fliese}} = 20\ \text{cm} \cdot 20\ \text{cm} = 400\ \text{cm}^2 \)
\( 60\,000 : 400 = 150 \)
Antwort: Es werden 150 Fliesen gebraucht. In der Praxis kauft man ein paar mehr – wegen Verschnitt und Bruch.
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Typische Fehler
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So machst Du es richtig
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Die Formeln dieser Seite auf einen Blick
\( A = a \cdot b \)
\( A = a \cdot a \)
Schreib Dir diese Formeln heraus. In der Prüfung gibt es schon Punkte für die richtig hingeschriebene Formel – auch dann, wenn sich beim Rechnen ein Fehler einschleicht.
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Erzeuge Dir zu diesem Thema beliebig viele Übungsaufgaben mit vollständigem Lösungsweg – passend zur Mittelschule Bayern und Deiner Klasse.
Grundlage: LehrplanPLUS Bayern, Mittelschule, Jahrgangsstufe 5, Lernbereich 4 „Flächeninhalt – Rechtecke“ (Fachlehrplan Mathematik). Alle Rechenbeispiele sind eigene Aufgaben und maschinell gegengerechnet.