Mathematik Realschule Bayern · Klasse 5 · Lernbereich 5 „Umfang und Flächeninhalt ebener Figuren“ (LehrplanPLUS) · BY
Umfang und Flächeninhalt ebener Figuren
Wenn du um ein Grundstück herumgehst, legst du eine bestimmte Strecke zurück – das ist der Umfang. Wenn du eine Tischplatte mit Lack bestreichst, bedeckst du eine bestimmte Fläche – das ist der Flächeninhalt. Beides sind ganz unterschiedliche Dinge, auch wenn sie oft in derselben Aufgabe vorkommen. Auf dieser Seite lernst du, wie du den Umfang und den Flächeninhalt von Rechtecken, Quadraten und zusammengesetzten Figuren bestimmst.
Wozu brauchst du das?
Immer dann, wenn du eine Randlänge oder eine Fläche brauchst: wie viel Zaun du für ein Grundstück kaufen musst · wie viel Randleiste um eine Tischplatte passt · wie viele Fliesen oder wie viel Teppichboden für ein Zimmer nötig sind · wie groß eine Holzplatte sein muss, damit ein Zuschnitt darauf passt · wie viel Farbe für eine Wand benötigt wird. Im Holzwerk Brandl in Rosenheim brauchen die Tischler beides täglich: den Umfang, um Kanten zu leimen, und den Flächeninhalt, um Platten zuzuschneiden.
Inhalt dieser Seite
- Der Umfang von Rechteck und Quadrat
- Der Umfang beliebiger Vielecke
- Flächeninhalt durch Auszaehlen von Kästchen
- Der Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat – die Formel
- Flächeneinheiten umrechnen
- Zusammengesetzte Figuren zerlegen
- Das Wichtigste in Kürze
1. Der Umfang von Rechteck und Quadrat
Der Umfang einer Figur ist die Länge ihres gesamten Randes – also der Weg, den du zurücklegst, wenn du einmal ganz außen herumgehst und wieder am Startpunkt ankommst. Bei einem Rechteck gibt es zwei gleich lange Längsseiten (Länge \( a \)) und zwei gleich lange Querseiten (Breite \( b \)). Du addierst also alle vier Seiten, oder kürzer:
Beim Quadrat sind alle vier Seiten gleich lang. Nennst du die Seitenlänge \( a \), dann gilt:
Die Pfeile zeigen den Rundweg: erst die Länge, dann die Breite, dann wieder Länge und Breite.
Beispiel – Eine Regalbrett-Zeichnung im Holzwerk Brandl zeigt ein Rechteck mit \( a = 7\ \text{cm} \) und \( b = 4\ \text{cm} \). Wie lang ist die Umleimerkante, die einmal ganz herum geklebt werden muss?
| Formel | \( U = 2 \cdot (a + b) \) |
| einsetzen | \( U = 2 \cdot (7\ \text{cm} + 4\ \text{cm}) \) |
| berechnen | \( U = 2 \cdot 11\ \text{cm} = 22\ \text{cm} \) |
| Ergebnis | \( U = 22\ \text{cm} \) |
Probe: \( 7\ \text{cm} + 7\ \text{cm} + 4\ \text{cm} + 4\ \text{cm} = 22\ \text{cm} \) ✓.
Merke: Der Umfang eines Rechtecks ist \( U = 2 \cdot (a + b) \), der Umfang eines Quadrats ist \( U = 4 \cdot a \). Der Umfang wird in Längeneinheiten angegeben (z. B. cm, m), niemals in cm² oder m².
2. Der Umfang beliebiger Vielecke
Hat eine Figur mehr als vier Ecken oder ungleiche Seiten, gibt es keine kurze Formel. Dann gilt einfach: Alle Seitenlängen addieren. Achte darauf, dass du wirklich jede Seite genau einmal zählst und keine vergisst.
Beispiel – Um das L-förmige Grundstück des Holzwerks Brandl soll ein Zaun gezogen werden. Die Seiten sind (im Rundgang gemessen): 12 m, 5 m, 6 m, 3 m, 6 m, 8 m. Wie viele Meter Zaun werden benötigt?
| alle Seiten addieren | \( U = 12\,\text{m} + 5\,\text{m} + 6\,\text{m} + 3\,\text{m} + 6\,\text{m} + 8\,\text{m} \) |
| Ergebnis | \( U = 40\,\text{m} \) |
Antwort: Es werden 40 m Zaun benötigt.
Merke: Bei jedem Vieleck gilt: Der Umfang ist die Summe aller Seitenlängen. Zeichne dir bei längeren Aufgaben die Figur auf und häkle jede Seite ab, sobald du sie addiert hast – so vergisst du keine.
3. Flächeninhalt durch Auszählen von Kästchen
Der Flächeninhalt gibt an, wie groß die Fläche ist, die eine Figur bedeckt – nicht der Rand, sondern das Innere. Um ein Gefühl dafür zu bekommen, legst du über die Figur ein Raster aus gleich großen Kästchen und zählst, wie viele davon hineinpassen. Jedes Kästchen ist eine Einheitsfläche.
Ob du die Kästchen einzeln zählst oder Zeilen mal Spalten rechnest – das Ergebnis ist dasselbe.
Damit alle dasselbe meinen, braucht man genormte Einheiten. Ist die Seite eines Kästchens 1 cm lang, heißt die Fläche eines Kästchens ein Quadratzentimeter, geschrieben \( 1\ \text{cm}^2 \). Bei 1 m Seitenlänge heißt es \( 1\ \text{m}^2 \) (ein Quadratmeter). Im Bild oben besteht die Figur aus 15 Kästchen zu je \( 1\ \text{cm}^2 \), also ist ihr Flächeninhalt \( A = 15\ \text{cm}^2 \).
Merke: Der Flächeninhalt \( A \) einer Figur ist die Anzahl der genormten Einheitsflächen, die in sie hineinpassen. Er wird in Quadrateinheiten angegeben: \( \text{cm}^2 \), \( \text{m}^2 \) usw. – niemals in cm oder m allein.
4. Der Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat – die Formel
Beim Rechteck aus Kapitel 3 hattest du 5 Kästchen in einer Reihe (das entspricht der Länge \( a = 5\ \text{cm} \)) und 3 solcher Reihen (das entspricht der Breite \( b = 3\ \text{cm} \)). Die Gesamtzahl der Kästchen war \( 5 \cdot 3 = 15 \). Das Auszählen lässt sich also durch eine Multiplikation ersetzen:
Beim Quadrat ist \( a = b \), deshalb vereinfacht sich die Formel zu:
Beispiel 1 – Eine Tischplatte im Holzwerk Brandl ist \( a = 160\ \text{cm} \) lang und \( b = 80\ \text{cm} \) breit. Wie groß ist die Fläche, die lackiert werden muss?
| Formel | \( A = a \cdot b \) |
| einsetzen | \( A = 160\ \text{cm} \cdot 80\ \text{cm} \) |
| Ergebnis | \( A = 12\,800\ \text{cm}^2 \) |
Beispiel 2 – ein Quadrat
Ein quadratisches Regalbrett hat die Seitenlänge \( a = 30\ \text{cm} \). Wie groß ist seine Fläche?
| Formel | \( A = a^2 \) |
| einsetzen | \( A = (30\ \text{cm})^2 \) |
| Ergebnis | \( A = 900\ \text{cm}^2 \) |
Beispiel 3 – von der Fläche zur Seitenlänge (umgekehrt)
Ein rechteckiges Furnierstück hat den Flächeninhalt \( A = 96\ \text{cm}^2 \) und die Breite \( b = 8\ \text{cm} \). Wie lang ist es?
| Formel umstellen | \( a = A : b \) |
| einsetzen | \( a = 96\ \text{cm}^2 : 8\ \text{cm} \) |
| Ergebnis | \( a = 12\ \text{cm} \) |
Probe: \( 12\ \text{cm} \cdot 8\ \text{cm} = 96\ \text{cm}^2 \) ✓.
Merke: Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist \( A = a \cdot b \), der eines Quadrats \( A = a^2 \). Kennst du \( A \) und eine Seite, erhältst du die andere Seite durch Division: \( a = A : b \) bzw. \( b = A : a \).
5. Flächeneinheiten umrechnen
Bei Längen rechnest du zum Beispiel \( 1\ \text{m} = 100\ \text{cm} \) um – der Umrechnungsfaktor ist 100. Bei Flächen ist das anders, weil eine Fläche zwei Richtungen hat. Ein Quadrat mit 1 m Seitenlänge hat auch \( 100\ \text{cm} \) Seitenlänge. Sein Flächeninhalt ist einerseits \( 1\ \text{m}^2 \), andererseits \( 100\ \text{cm} \cdot 100\ \text{cm} = 10\,000\ \text{cm}^2 \). Der Umrechnungsfaktor wird also quadriert:
| Längeneinheit | \( 1\ \text{m} = 100\ \text{cm} \) |
| Flächeneinheit | \( 1\ \text{m}^2 = 100 \cdot 100\ \text{cm}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2 \) |
Beispiel – Ein Werkstattraum hat einen Flächeninhalt von \( A = 3\ \text{m}^2 \). Wie viel ist das in \( \text{cm}^2 \)?
| Umrechnungsfaktor | \( 1\ \text{m}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2 \) |
| also | \( 3\ \text{m}^2 = 3 \cdot 10\,000\ \text{cm}^2 \) |
| Ergebnis | \( 3\ \text{m}^2 = 30\,000\ \text{cm}^2 \) |
Merke: Beim Umrechnen von Flächeneinheiten wird der Längen-Umrechnungsfaktor quadriert: \( 1\ \text{m}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2 \) (nicht 100!). Rechne im Zweifel über die Seitenlängen nach, so wie oben.
6. Zusammengesetzte Figuren zerlegen
Viele Figuren im Alltag sind keine reinen Rechtecke – ein L-förmiger Grundriss, ein Regal mit Nische, ein Zuschnitt mit Absatz. Der Trick ist immer derselbe: Du zerlegst die Figur in mehrere Rechtecke (oder Quadrate), berechnest jede Teilfläche einzeln und addierst die Ergebnisse.
Beispiel – Ein L-förmiges Regalbrett aus dem Holzwerk Brandl setzt sich aus zwei Rechtecken zusammen: Rechteck 1 mit \( 60\ \text{cm} \times 40\ \text{cm} \) und Rechteck 2 mit \( 30\ \text{cm} \times 20\ \text{cm} \). Wie groß ist die Gesamtfläche?
| Fläche Rechteck 1 | \( A_1 = 60\ \text{cm} \cdot 40\ \text{cm} = 2\,400\ \text{cm}^2 \) |
| Fläche Rechteck 2 | \( A_2 = 30\ \text{cm} \cdot 20\ \text{cm} = 600\ \text{cm}^2 \) |
| Gesamtfläche | \( A = A_1 + A_2 = 2\,400\ \text{cm}^2 + 600\ \text{cm}^2 \) |
| Ergebnis | \( A = 3\,000\ \text{cm}^2 \) |
Antwort: Das L-förmige Regalbrett hat eine Fläche von 3.000 cm².
Wichtig: Es gibt oft mehrere richtige Zerlegungen – du könntest dieselbe Figur auch anders in zwei Rechtecke schneiden. Solange jedes Teilstück genau einmal gezählt wird, kommt am Ende dasselbe Ergebnis heraus.
Merke: Zusammengesetzte Figuren zerlegst du in Rechtecke bzw. Quadrate. Du berechnest jede Teilfläche einzeln mit \( A = a \cdot b \) und addierst am Schluss alle Teilflächen zur Gesamtfläche.
7. Das Wichtigste in Kürze
| Umfang Rechteck | \( U = 2 \cdot (a + b) \) |
| Umfang Quadrat | \( U = 4 \cdot a \) |
| Umfang Vieleck | Summe aller Seiten |
| Flächeninhalt Rechteck | \( A = a \cdot b \) |
| Flächeninhalt Quadrat | \( A = a^2 \) |
| Einheiten | Umfang in cm, m · Fläche in cm², m² (\( 1\ \text{m}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2 \)) |
| Zusammengesetzte Figuren | in Rechtecke zerlegen, Teilflächen addieren |
8. So fragt die Abschlussprüfung
Bis zur Abschlussprüfung ist es noch weit – aber die Aufgabenform beginnt genau hier: Ein Text beschreibt ein Werkstück, du musst selbst entscheiden, ob Umfang oder Flächeninhalt gefragt ist, und die Einheiten sauber führen. Drei Aufgaben aus der Möbelmanufaktur Holzwerk Brandl e.K. in Rosenheim:
Aufgabe 1 – Kantenband und Fläche einer Tischplatte. Eine rechteckige Tischplatte ist 1,20 m lang und 80 cm breit. Lena soll das Kantenband für den Rand bestellen und zusätzlich angeben, wie groß die zu lackierende Fläche ist.
Erster Schritt immer: gleiche Einheit. \( 1{,}20\ \text{m} = 120\ \text{cm} \), die Breite ist 80 cm.
| Umfang – Ansatz | \( u = 2 \cdot (a + b) \) |
| einsetzen | \( u = 2 \cdot (120\ \text{cm} + 80\ \text{cm}) = 2 \cdot 200\ \text{cm} \) |
| Umfang | \( u = 400\ \text{cm} = 4{,}00\ \text{m} \) |
| Fläche – Ansatz | \( A = a \cdot b \) |
| einsetzen | \( A = 120\ \text{cm} \cdot 80\ \text{cm} \) |
| Flächeninhalt | \( A = 9600\ \text{cm}^2 = 96\ \text{dm}^2 \) |
Gegenprobe: Rechne den Umfang als Summe aller vier Seiten: \( 120 + 80 + 120 + 80 = 400 \) ✓. Und die Fläche in Dezimetern: \( 12\ \text{dm} \cdot 8\ \text{dm} = 96\ \text{dm}^2 \) ✓ – das passt zu 9 600 cm², weil \( 1\ \text{dm}^2 = 100\ \text{cm}^2 \). Antwort: Lena bestellt 4,00 m Kantenband; zu lackieren sind 9 600 cm², also 96 dm².
Aufgabe 2 – zusammengesetzte Figur: ein L-förmiges Regalbrett. Aus einem Brett von 60 cm × 40 cm sägt Jonas in einer Ecke ein Quadrat mit der Seitenlänge 20 cm heraus, damit das Brett um einen Pfosten herumpasst. Welchen Flächeninhalt hat das fertige Brett?
| großes Rechteck | \( A_1 = 60\ \text{cm} \cdot 40\ \text{cm} = 2400\ \text{cm}^2 \) |
| herausgesägtes Quadrat | \( A_2 = 20\ \text{cm} \cdot 20\ \text{cm} = 400\ \text{cm}^2 \) |
| Ergebnisfläche | \( A = 2400\ \text{cm}^2 – 400\ \text{cm}^2 = 2000\ \text{cm}^2 \) |
Gegenprobe über den anderen Weg – Zerlegen statt Ergänzen: Der obere Streifen ist 60 cm × 20 cm \( = 1200\ \text{cm}^2 \), der untere Rest 40 cm × 20 cm \( = 800\ \text{cm}^2 \). Zusammen \( 1200 + 800 = 2000\ \text{cm}^2 \) ✓. Antwort: Das L-förmige Brett hat 2 000 cm², das sind 20 dm².
Aufgabe 3 – rückwärts: von der Fläche zur Seitenlänge. Eine Palette bedeckt auf dem Werkstattboden 12 000 cm². Ihre Länge beträgt 120 cm. Wie breit ist sie, und wie lang ist ihr Umfang?
| Formel umstellen | \( A = a \cdot b \;\Rightarrow\; b = A : a \) |
| einsetzen | \( b = 12\,000\ \text{cm}^2 : 120\ \text{cm} \) |
| Breite | \( b = 100\ \text{cm} = 1{,}00\ \text{m} \) |
Gegenprobe: \( 120\ \text{cm} \cdot 100\ \text{cm} = 12\,000\ \text{cm}^2 \) ✓. Der Umfang ist dann \( u = 2 \cdot (120\ \text{cm} + 100\ \text{cm}) = 440\ \text{cm} = 4{,}40\ \text{m} \). Antwort: Die Palette ist 1,00 m breit, ihr Umfang beträgt 4,40 m. Und noch eine Kontrolle der Größenordnung: 12 000 cm² sind 1,2 m² – für eine Palette ein realistischer Wert.
9. Typische Fehler – und wie du die Punkte rettest
- Umfang und Flächeninhalt verwechselt. Ursache: Der Aufgabentext wird überflogen; „Rand“, „Zaun“ oder „Kantenband“ und „lackieren“ oder „Fliesen“ werden nicht unterschieden. Vermeidung: Frage dich, ob etwas drumherum läuft (Umfang, Einheit cm) oder etwas bedeckt wird (Fläche, Einheit cm²). Die Einheit im Ergebnis verrät dir sofort, ob du das Richtige gerechnet hast.
- Flächeneinheiten mit 10 statt mit 100 umgerechnet. Ursache: Die Umrechnungszahl der Längen wird auf Flächen übertragen, aus 9 600 cm² werden fälschlich 960 dm². Vermeidung: Bei Flächen ist die Umrechnungszahl immer 100 (außer bei Hektar und Ar). Stelle dir das Quadrat vor: 1 dm² ist ein Quadrat aus 10 × 10 = 100 Quadratzentimetern.
- Einheiten nicht vereinheitlicht. Ursache: Eine Seite steht in Metern, die andere in Zentimetern, und es wird sofort multipliziert – \( 1{,}20 \cdot 80 \) ergibt dann eine unbrauchbare Zahl. Vermeidung: Vor dem Einsetzen alle Längen in dieselbe Einheit umschreiben und diese Umrechnung als eigene Zeile hinschreiben.
- Bei zusammengesetzten Figuren fehlende Seitenlängen nicht ergänzt. Ursache: Es werden nur die im Bild angeschriebenen Maße verwendet, die kurzen Teilstücke bleiben unbekannt. Vermeidung: Trage die fehlenden Längen als Differenz benachbarter Maße in die Skizze ein, bevor du rechnest – und rechne die Fläche anschließend auf einem zweiten Weg (Zerlegen und Ergänzen) nach.
- Halbe Kästchen beim Auszählen ignoriert. Ursache: Bei schrägen Rändern werden nur die vollen Kästchen gezählt, die angeschnittenen fallen weg. Vermeidung: Zähle volle Kästchen und angeschnittene getrennt, fasse dann immer zwei halbe zu einem ganzen zusammen. So bekommst du auch bei Schrägen einen brauchbaren Wert.
- Ergebnis ohne Einheit oder ohne Antwortsatz. Ursache: Am Ende steht nur eine Zahl, z. B. „2000“. Vermeidung: Jede Maßzahl braucht ihre Einheit, und bei einer Sachaufgabe gehört ein voller Satz dazu, der die Frage des Textes beantwortet.
Weiterlernen
Umfang und Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat sind die Grundlage für Klasse 6, wenn Dreieck, Parallelogramm, Trapez, Drachenviereck und Raute dazukommen – deren Formeln werden alle auf den Flächeninhalt des Rechtecks zurückgeführt. Auch die Oberfläche von Quadern in Klasse 6 baut direkt auf \( A = a \cdot b \) auf. Übe deshalb besonders das saubere Zerlegen zusammengesetzter Figuren – diese Technik brauchst du in den nächsten Jahren immer wieder.
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