Mathematik · Mittelschule Bayern · Klasse 10 · M-Zug · Lernbereich 1: Potenzen und Wurzeln · LehrplanPLUS
Potenzen, n-te Wurzeln und der Logarithmus
Drei Rechenarten, die zusammengehören: Das Potenzieren kennst Du, das Radizieren macht es rückgängig – und der Logarithmus beantwortet die dritte Frage: „Welcher Exponent gehört dazu?“ Ohne ihn kannst Du im nächsten Lernbereich nicht ausrechnen, wie lange ein Guthaben zum Verdoppeln braucht.
Darum geht es in diesem Lernbereich
- Potenz, Basis und Exponent
- Die Potenzgesetze herleiten
- Potenzen multiplizieren und dividieren
- Potenz von Potenzen
- Negative Exponenten
- Brüche in Potenzschreibweise
- Die n-te Wurzel
- Potenzieren und Radizieren als Umkehrung
- Wurzel- und Potenzschreibweise wechseln
- Potenzgesetze und Wurzelgesetze
- Der Logarithmus zum Bestimmen eines Exponenten
Du bist an einer anderen Schulart? Dasselbe Thema gibt es auf dem jeweiligen Niveau auch für Realschule Klasse 7 · Wirtschaftsschule Klasse 8.
1. Die Potenzgesetze
Merke: die fünf Gesetze
| gleiche Basis mal | \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) | \( 2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128 \) |
| gleiche Basis geteilt | \( a^m : a^n = a^{m-n} \) | \( 3^5 : 3^2 = 3^3 = 27 \) |
| Potenz von Potenz | \( \left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n} \) | \( \left(2^3\right)^2 = 2^6 = 64 \) |
| Exponent null | \( a^0 = 1 \) | \( 7^0 = 1 \) |
| negativer Exponent | \( a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \) | \( 5^{-2} = \dfrac{1}{25} = 0{,}04 \) |
Die Gesetze gelten nur bei gleicher Basis. \( 2^3 \cdot 3^4 \) lässt sich nicht zusammenfassen – da hilft nur ausrechnen.
Beispiel: warum \( a^0 = 1 \) gilt
Nach dem zweiten Gesetz ist \( 2^3 : 2^3 = 2^{3-3} = 2^0 \). Aber jede Zahl geteilt durch sich selbst ergibt 1 – also muss \( 2^0 = 1 \) sein.
Genauso beim negativen Exponenten:
\( 2^2 : 2^5 = 2^{-3} \) und \( \dfrac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \dfrac{1}{2^3} \)
Ein negativer Exponent bedeutet also Kehrwert, nicht negative Zahl. \( 5^{-2} \) ist positiv.
2. Die n-te Wurzel
Merke
\( \sqrt[n]{a} = b \) bedeutet \( b^n = a \) (für \( a \ge 0 \))
Die Zahl \( n \) heißt Wurzelexponent. Bei \( n = 2 \) schreibt man ihn nicht hin – das ist die gewohnte Quadratwurzel.
\( \sqrt[3]{27} = 3 \)
\( \sqrt[3]{125} = 5 \)
\( \sqrt[4]{16} = 2 \)
Und der Zusammenhang zu den Potenzen:
\( \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \)
\( \sqrt{a} = a^{0{,}5} \)
\( \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}} \)
Damit gelten für Wurzeln dieselben Gesetze wie für Potenzen – Du musst keine neuen lernen.
Beispiel: Schreibweisen wechseln
| Wurzelschreibweise | Potenzschreibweise | Wert |
|---|---|---|
| \( \sqrt{64} \) | \( 64^{\frac{1}{2}} \) | 8 |
| \( \sqrt[3]{64} \) | \( 64^{\frac{1}{3}} \) | 4 |
| \( \sqrt[6]{64} \) | \( 64^{\frac{1}{6}} \) | 2 |
Kontrolle: \( 8^2 = 64 \), \( 4^3 = 64 \), \( 2^6 = 64 \) – alle drei stimmen. Je größer der Wurzelexponent, desto kleiner das Ergebnis.
3. Der Logarithmus
Merke
\( \log_a b = x \) bedeutet \( a^x = b \)
Gesprochen: „Logarithmus von \( b \) zur Basis \( a \)“. Die Frage dahinter lautet immer: Womit muss ich \( a \) potenzieren, um \( b \) zu bekommen?
\( \log_2 32 = 5 \)
\( \log_{10} 1000 = 3 \)
\( \log_3 81 = 4 \)
Mit dem Taschenrechner geht jede Basis über diese Umrechnung:
\( \log_a b = \dfrac{\lg b}{\lg a} \)
\( \lg \) ist die Taste für den Zehnerlogarithmus. Beispiel: \( \log_2 500 = \frac{\lg 500}{\lg 2} \approx 8{,}97 \).
Beispiel: Exponenten bestimmen
a) \( 2^x = 32 \). Im Kopf: \( 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32 \), also \( x = 5 \).
b) \( 10^x = 1000 \) → \( x = 3 \), denn 1000 hat drei Nullen.
c) \( 3^x = 81 \) → \( x = 4 \).
d) Mit dem Taschenrechner: \( 1{,}03^x = 1{,}5 \)
\( x = \dfrac{\lg 1{,}5}{\lg 1{,}03} \approx 13{,}7 \)
Genau diese Rechnung brauchst Du im nächsten Lernbereich, um Wachstumsdauern zu bestimmen – etwa: Wie lange dauert es, bis ein Guthaben bei 3 % Zinsen auf das Anderthalbfache gewachsen ist? Antwort: knapp 14 Jahre.
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Typische Fehler
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So machst Du es richtig
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Die Formeln dieser Seite auf einen Blick
\( \sqrt[n]{a} = b \)
\( b^n = a \)
\( \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \)
\( \sqrt{a} = a^{0{,}5} \)
\( \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}} \)
\( \log_a b = x \)
\( a^x = b \)
\( \log_2 32 = 5 \)
Schreib Dir diese Formeln heraus. In der Prüfung gibt es schon Punkte für die richtig hingeschriebene Formel – auch dann, wenn sich beim Rechnen ein Fehler einschleicht.
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Grundlage: LehrplanPLUS Bayern, Mittelschule, Jahrgangsstufe 10, Mittlere-Reife-Klasse, Lernbereich 1 „Potenzen und Wurzeln“ (Fachlehrplan Mathematik). Alle Rechenbeispiele sind eigene Aufgaben und maschinell gegengerechnet.