Mathematik · Mittelschule Bayern · Klasse 10 · M-Zug · Lernbereich 2: Exponentialfunktion · LehrplanPLUS
Exponentielles Wachstum: Zinseszins, Bevölkerung und Zerfall
Bei linearem Wachstum kommt jedes Jahr dieselbe Menge dazu. Bei exponentiellem Wachstum derselbe Prozentsatz – und das macht auf Dauer einen gewaltigen Unterschied. Zinsen, Bevölkerungszahlen, radioaktiver Zerfall und die Ausbreitung von Krankheiten folgen alle diesem Muster.
Darum geht es in diesem Lernbereich
- Lineares und exponentielles Wachstum unterscheiden
- Die Exponentialfunktion aus Realsituationen
- Wertetabelle und Graph
- Der Term einer Exponentialfunktion
- Anfangswert, Wachstumsfaktor und Wachstumsrate
- Exponentielle Zunahme
- Exponentielle Abnahme
- Zinseszins als Exponentialmodell
- Bevölkerungsentwicklung
- Radioaktiver Zerfall
- Die Wachstumsdauer mit dem Logarithmus berechnen
- Plausibilitätskontrolle
Du bist an einer anderen Schulart? Dasselbe Thema gibt es auf dem jeweiligen Niveau auch für Realschule Klasse 10 · Wirtschaftsschule Klasse 10.
1. Linear oder exponentiell?
Merke: der Test an der Wertetabelle
| Wachstum | Test | Graph |
|---|---|---|
| linear | Die Differenz ist immer gleich | Gerade |
| exponentiell | Der Quotient ist immer gleich | gekrümmte Kurve, wird immer steiler |
Praktisch: Zieh benachbarte Werte voneinander ab und teile sie durcheinander. Bleibt eines von beiden konstant, weißt Du Bescheid.
Beispiel: 100 € auf zwei Arten
| Jahr | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| + 20 € | 100 | 120 | 140 | 160 | 200 |
| + 20 % | 100 | 120 | 144 | 172,80 | 248,83 |
Im ersten Jahr ist beides gleich. Danach zieht das exponentielle Wachstum davon, weil die 20 % jedes Jahr von einem größeren Betrag berechnet werden.
2. Der Funktionsterm
Merke
\( y = a \cdot b^{\,x} \)
- \( a \) ist der Anfangswert – der Bestand zum Zeitpunkt \( x = 0 \).
- \( b \) ist der Wachstumsfaktor – mit ihm wird pro Zeitschritt multipliziert.
- \( x \) ist die Anzahl der Zeitschritte (Jahre, Tage, Stunden).
So findest Du den Faktor aus der Wachstumsrate \( p \):
Zunahme um \( p\ \% \): \( b = 1 + \dfrac{p}{100} \) · Abnahme um \( p\ \% \): \( b = 1 – \dfrac{p}{100} \)
| + 3 % | \( b = 1{,}03 \) | − 12 % | \( b = 0{,}88 \) |
| + 20 % | \( b = 1{,}20 \) | Hälfte | \( b = 0{,}5 \) |
Kontrolle: \( b > 1 \) bedeutet Zunahme, \( 0 < b < 1 \) bedeutet Abnahme. Kommt bei einer Abnahme ein \( b \) über 1 heraus, hast Du Dich verrechnet.
3. Die drei Standardanwendungen
Beispiel: Zinseszins
2000 € werden mit 3 % verzinst, die Zinsen bleiben auf dem Konto. Wie hoch ist das Guthaben nach 4 Jahren?
\( y = 2000 \cdot 1{,}03^{\,4} \approx 2251{,}02 \)
Antwort: Nach 4 Jahren sind es rund \( 2251{,}02\ \text{€} \). Ohne Zinseszins wären es nur \( 2240\ \text{€} \).
Beispiel: Bevölkerungsentwicklung
Eine Stadt hat 50 000 Einwohner und wächst jährlich um 2 %. Wie viele sind es in 10 Jahren?
\( y = 50\,000 \cdot 1{,}02^{\,10} \approx 60\,950 \)
Antwort: Rund 60 950 Einwohner.
Plausibilitätskontrolle: 2 % von 50 000 sind 1000 pro Jahr, also mindestens 60 000 nach 10 Jahren – und wegen des Zinseszinseffekts etwas mehr. Das Ergebnis passt. Kämen 100 000 heraus, wäre etwas falsch.
Beispiel: radioaktiver Zerfall
Von einem Stoff sind 100 g vorhanden. Die Halbwertszeit beträgt 5 Jahre – nach jeweils 5 Jahren ist noch die Hälfte da.
| Jahre | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|
| Masse in g | 100 | 50 | 25 | 12,5 | 6,25 |
Hier zählt \( x \) die Halbwertszeiten, nicht die Jahre:
\( y = 100 \cdot 0{,}5^{\,x} \) mit \( x = 3 \) für 15 Jahre: \( 100 \cdot 0{,}125 = 12{,}5 \)
Wichtig: Der Stoff wird nie ganz null. Die Kurve nähert sich der waagrechten Achse an, erreicht sie aber nicht.
4. Die Wachstumsdauer berechnen
Merke: hier brauchst Du den Logarithmus
Ist \( x \) gesucht, steht die Unbekannte im Exponenten. Umstellen allein hilft nicht – Du musst logarithmieren.
\( a \cdot b^{\,x} = y \)
\( b^{\,x} = \dfrac{y}{a} \)
\( x = \dfrac{\lg \left(\frac{y}{a}\right)}{\lg b} \)
Beispiel: Wann sind aus 2000 € 3000 € geworden?
Zinssatz 3 %, also \( b = 1{,}03 \).
\( 2000 \cdot 1{,}03^{\,x} = 3000 \quad |:2000 \)
\( 1{,}03^{\,x} = 1{,}5 \)
\( x = \dfrac{\lg 1{,}5}{\lg 1{,}03} \approx 13{,}7 \)
Antwort: Nach rund 13,7 Jahren – da Zinsen jahresweise gutgeschrieben werden, also nach 14 Jahren. Bei solchen Aufgaben wird immer aufgerundet: Nach 13 Jahren ist die Marke noch nicht erreicht.
Probe: \( 2000 \cdot 1{,}03^{14} \approx 3025{,}18 \) – die 3000 € sind überschritten. Mit 13 Jahren wären es erst \( 2937{,}07\ \text{€} \).
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Typische Fehler
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So machst Du es richtig
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Die Formeln dieser Seite auf einen Blick
\( y = a \cdot b^{\,x} \)
\( b = 1 + \dfrac{p}{100} \)
\( b = 1 – \dfrac{p}{100} \)
\( a \cdot b^{\,x} = y \)
\( b^{\,x} = \dfrac{y}{a} \)
\( x = \dfrac{\lg \left(\frac{y}{a}\right)}{\lg b} \)
Schreib Dir diese Formeln heraus. In der Prüfung gibt es schon Punkte für die richtig hingeschriebene Formel – auch dann, wenn sich beim Rechnen ein Fehler einschleicht.
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Grundlage: LehrplanPLUS Bayern, Mittelschule, Jahrgangsstufe 10, Mittlere-Reife-Klasse, Lernbereich 2 „Exponentialfunktion“ (Fachlehrplan Mathematik). Alle Rechenbeispiele sind eigene Aufgaben und maschinell gegengerechnet.