Mechanische Wellen, Interferenz und stehende Wellen

Eine Welle entsteht, wenn ein Erreger schwingt und die Schwingung an Nachbarn weitergibt: Jeder Punkt des Mediums schwingt um seine Ruhelage, nur die Schwingungsform (und Energie) breitet sich aus – kein Stoff wird transportiert. Diese Seite führt von Längs-/Querwelle, Wellenlänge und Wellengleichung über Beugung und Interferenz am Doppelspalt bis zur stehenden Welle und den Eigenschwingungen (Saite, Orgelpfeife, Kundt’sche Röhre) – mit den Prüfungsaufgaben 2025 und 2026.

Inhaltsverzeichnis

  1. Längs- und Querwelle, Wellenfront
  2. Wellenlänge, Ausbreitungsgeschwindigkeit, Phase
  3. Die Wellengleichung und Momentanbilder
  4. Beugung: Elementarwellen und das Huygens’sche Prinzip
  5. Interferenz am Doppelspalt: der Gangunterschied
  6. Stehende Wellen: Knoten und Bäuche
  7. Eigenschwingungen: Saite, Rohr, Kundt’sche Röhre
  8. Prüfungsbeispiel 1: Seilwelle (2026 Pflichtteil)
  9. Prüfungsbeispiel 2: Kundt’sche Röhre (2025 Pflichtteil)
  10. Prüfungsbeispiel 3: Doppelspalt im Wellenbecken (2024 W3)
  11. Typische Prüfungsfehler
  12. Auf einen Blick

1. Längs- und Querwelle, Wellenfront

Wellenart Schwingungsrichtung Beispiele
Querwelle (Transversalwelle) senkrecht zur Ausbreitungsrichtung Seilwelle, Wasserwelle (näherungsweise), Licht
Längswelle (Longitudinalwelle) parallel zur Ausbreitungsrichtung (Verdichtungen/Verdünnungen) Schall, Federwurm (Slinky) gestoßen

Eine Wellenfront verbindet alle Punkte gleicher Phase (z. B. alle Wellenberge). Ein punktförmiger Erreger erzeugt Kreiswellen (Wasserwanne), ein langer Erreger (Balken) ebene Wellen.

2. Wellenlänge, Ausbreitungsgeschwindigkeit, Phase

Grundgleichung der Wellen

Wellenlänge \( \lambda=\text{Abstand zweier benachbarter Punkte gleicher Phase (Berg zu Berg)} \)
Ausbreitungsgeschwindigkeit \( c=\lambda\cdot f=\dfrac{\lambda}{T} \)
Zeit für eine Wellenlänge \( \text{In einer Periode } T \text{ wandert die Welle genau um } \lambda \)
xyλ (Berg zu Berg)WellenbergWellentalAusbreitung cPunkte im Abstand λ schwingen gleichphasig, im Abstand λ/2 gegenphasig
💡 Phase im Raum: Punkte im Abstand λ schwingen gleichphasig, im Abstand λ/2 gegenphasig. Die Frequenz einer Welle ist die des Erregers – die Wellenlänge ergibt sich aus dem Medium (c).

3. Die Wellengleichung und Momentanbilder

Die Wellengleichung beschreibt die Elongation jedes Ortes x zu jeder Zeit t. Sie enthält die Schwingung (t/T) und die räumliche Verschiebung (x/λ):

Fortschreitende harmonische Welle (Erreger bei x = 0 startet in der Ruhelage nach oben, Ausbreitung in +x)

Wellengleichung \( y(x,t)=\hat y\cdot\sin\!\left[2\pi\left(\dfrac{t}{T}-\dfrac{x}{\lambda}\right)\right] \)
Schwingung am festen Ort x₀ \( y(t)=\hat y\cdot\sin\!\left[2\pi\left(\dfrac{t}{T}-\dfrac{x_0}{\lambda}\right)\right] \)
Momentanbild zur festen Zeit t₀ \( y(x)=\hat y\cdot\sin\!\left[2\pi\left(\dfrac{t_0}{T}-\dfrac{x}{\lambda}\right)\right] \)
Aufgabe So gehst du vor
Momentanbild zeichnen Wie weit ist die Welle gekommen? Front bei x = c·t. Wo ist der Erreger gerade (Phase t/T)? Von dort rückwärts die Sinuskurve mit λ bis zur Front; dahinter noch Ruhe.
Zeitverlauf an einem Ort Der Punkt x₀ beginnt erst zu schwingen, wenn die Front ihn erreicht (t = x₀/c), dann mit derselben Frequenz wie der Erreger – um x₀/c verzögert.
Vorzeichen prüfen Das Minus vor x/λ gehört zur Ausbreitung in +x-Richtung. Bei Start nach unten: −ŷ oder Phasenverschiebung.
💡 Zeigerdiagramm für Wellen: Jeder Ort hat seinen Zeiger; entlang der Welle dreht sich die Phase pro λ um 360° (2π). So entscheidest du gleich-/gegenphasig und liest Momentanbilder ab.

4. Beugung: Elementarwellen und das Huygens’sche Prinzip

Huygens: Jeder Punkt einer Wellenfront ist Ausgangspunkt einer kreisförmigen Elementarwelle; die neue Wellenfront ist die Einhüllende aller Elementarwellen. Damit erklärt sich die Beugung an Hindernissen und Spalten:

Spaltbreite b im Vergleich zu λ Beobachtung (qualitativ)
b ≫ λ Welle läuft fast geradlinig durch, nur Randbereiche gebeugt
b ≈ λ deutliche Beugung: Welle breitet sich hinter dem Spalt fächerförmig aus
b ≪ λ Spalt wirkt wie Punktquelle: nahezu Kreiswelle (Halbkreise)

Schall (λ ≈ 0,2–10 m) wird an Türen stark gebeugt – man hört um die Ecke. Licht (λ ≈ 0,5 µm) nur an sehr feinen Spalten.

5. Interferenz am Doppelspalt: der Gangunterschied

Zwei kohärente Erreger (gleiche Frequenz, feste Phasenbeziehung – z. B. zwei Spalte M und N einer ebenen Welle) senden Kreiswellen aus, die sich überlagern (Superposition). Ob sich die Wellen in einem Punkt P verstärken oder auslöschen, entscheidet der Gangunterschied:

MNPs₁s₂Gangunterschied Δs = |s₂ − s₁|Δs = k·λ → Maximum · Δs = (k + ½)·λ → Minimum

Interferenzbedingungen (gleichphasige Erreger)

Gangunterschied \( \Delta s=|s_2-s_1| \)
konstruktive Interferenz (Maximum k-ter Ordnung) \( \Delta s=k\cdot\lambda\qquad k=0,1,2,\dots \)
destruktive Interferenz (Minimum k-ter Ordnung) \( \Delta s=\left(k+\tfrac12\right)\cdot\lambda=(2k+1)\cdot\dfrac{\lambda}{2} \)
Ordnung \( k=\dfrac{\Delta s}{\lambda}\ \text{(Maximum)}\qquad k=\dfrac{\Delta s}{\lambda}-\tfrac12\ \text{(Minimum)} \)
💡 Prüfungsroutine: s₁ und s₂ in der Zeichnung messen (Maßstab beachten!), Δs bilden, durch λ teilen. Ganzzahlig → Maximum, halbzahlig → Minimum. Auf der Mittelsenkrechten ist Δs = 0: Maximum 0. Ordnung. Das Zeigerdiagramm liefert dasselbe: Zeiger parallel → Verstärkung, entgegengesetzt → Auslöschung.

6. Stehende Wellen: Knoten und Bäuche

Überlagern sich zwei gegenläufige Wellen gleicher Frequenz und Amplitude (typisch: Welle und ihre Reflexion), entsteht eine stehende Welle: Sie wandert nicht mehr. An den Knoten ruht das Medium dauerhaft, an den Bäuchen schwingt es mit doppelter Amplitude.

Stehende Welle

Abstand benachbarter Knoten (oder Bäuche) \( d=\dfrac{\lambda}{2} \)
Abstand Knoten–Bauch \( \dfrac{\lambda}{4} \)
Reflexion am … Verhalten Folge
festen Ende (eingespannte Saite, geschlossenes Rohrende) Phasensprung um π (Berg wird Tal) dort immer ein Knoten
losen/offenen Ende (offenes Rohrende, frei hängendes Seil) kein Phasensprung dort immer ein Bauch

7. Eigenschwingungen: Saite, Rohr, Kundt’sche Röhre

Ein eindimensionaler Resonator (Saite, Luftsäule) schwingt nur bei bestimmten Eigenfrequenzen: Es müssen die Randbedingungen (Knoten/Bauch an den Enden) passen. Die tiefste ist die Grundschwingung (n = 1), die höheren heißen Oberschwingungen:

Bn = 1: ℓ = λ/2BBn = 2: ℓ = λBBBn = 3: ℓ = 3λ/2rot = Knoten K (feste Enden immer Knoten), B = Bauch; Knotenabstand λ/2

Eigenschwingungen (c = Ausbreitungsgeschwindigkeit im Medium)

Saite beidseitig fest / Rohr beidseitig offen \( \ell=n\cdot\dfrac{\lambda_n}{2}\quad\Rightarrow\quad f_n=n\cdot\dfrac{c}{2\ell}\qquad n=1,2,3,\dots \)
Rohr einseitig offen (geschlossen = Knoten, offen = Bauch) \( \ell=(2n-1)\cdot\dfrac{\lambda_n}{4}\quad\Rightarrow\quad f_n=(2n-1)\cdot\dfrac{c}{4\ell} \)
Zählweise \( n\text{-te Harmonische}=(n-1)\text{-te Oberschwingung} \)

Kundt’sche Röhre: Ein Lautsprecher regt in einem Glasrohr eine stehende Schallwelle an; Korkmehl sammelt sich an den Knoten und bildet an den Bäuchen Häufchen. Aus dem Abstand der Häufchen (λ/2) und der Frequenz folgt die Schallgeschwindigkeit c = λ·f. Dasselbe Prinzip steckt in Orgelpfeifen, Flöten und in störenden Vibrationen im Auto (Resonanz des Innenraums).

8. Prüfungsbeispiel 1: Seilwelle (2026 Pflichtteil)

📝 Abschlussprüfung 2026, P 2.0–3.x (adaptiert): Welle auf dem Gummiseil
Ein gespanntes Gummiseil (ℓ = 6,0 m) wird am Anfang (x₀ = 0) ab t₀ = 0 sinusförmig mit T = 0,20 s und ŷ = 10 mm bewegt (zunächst nach oben). Es entsteht eine nach rechts laufende Welle mit λ = 3,0 m. a) Ausbreitungsgeschwindigkeit? b) Schwingt der Seilpunkt bei x₁ = 1,5 m gleichphasig zum Seilanfang? c) Welche Bedingungen muss das Momentanbild zur Zeit t₄ = 0,20 s erfüllen? d) Später bildet sich auf dem beidseitig festen Seil eine stehende Welle mit λ = 3,0 m: Welche Harmonische ist das?

Lösung:

\( \begin{aligned} \textbf{a)}\quad c&=\dfrac{\lambda}{T}=\dfrac{3{,}0\ \text{m}}{0{,}20\ \text{s}}=15\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\\ \textbf{b)}\quad x_1&=1{,}5\ \text{m}=\dfrac{\lambda}{2}\;\Rightarrow\;\text{gegenphasig (Zeiger um }180^{\circ}\text{ gedreht)}\;\Rightarrow\;\text{Aussage falsch}\\ \textbf{d)}\quad \ell&=n\cdot\dfrac{\lambda}{2}\;\Rightarrow\;n=\dfrac{2\ell}{\lambda}=\dfrac{2\cdot 6{,}0\ \text{m}}{3{,}0\ \text{m}}=4\;\Rightarrow\;\text{4. Harmonische = 3. Oberschwingung (4 Bäuche, 5 Knoten)} \end{aligned} \)

c) t₄ = T: Der Seilanfang ist wieder in der Ruhelage und bewegt sich als Nächstes nach oben; die Welle ist c·t₄ = 3,0 m = λ weit gekommen, also genau eine Wellenlänge sichtbar; dahinter Ruhe. Nur das Momentanbild, das alle drei Kriterien erfüllt, ist richtig.

9. Prüfungsbeispiel 2: Kundt’sche Röhre (2025 Pflichtteil)

📝 Abschlussprüfung 2025, P 4 (adaptiert): Schallgeschwindigkeit mit der Kundt’schen Röhre
In einer Kundt’schen Röhre (Gesamtlänge L = 53,0 cm) ist ein Stempel um Δx = 5,0 cm hineingeschoben. Bei f = 1,98 kHz zeigen sich in der Luftsäule 5,5 Bäuche aus Korkmehl. Bestimmen Sie die Schallgeschwindigkeit c_L.

Lösung:

\( \begin{aligned} \text{2 Bäuche}&\;\hat{=}\;\lambda\quad\Rightarrow\quad 5{,}5\ \text{Bäuche}\;\hat{=}\;2{,}75\,\lambda=L-\Delta x\\ \lambda&=\dfrac{L-\Delta x}{2{,}75}=\dfrac{53{,}0\ \text{cm}-5{,}0\ \text{cm}}{2{,}75}=\dfrac{0{,}480\ \text{m}}{2{,}75}\approx 0{,}175\ \text{m}\\ c_L&=\lambda\cdot f=0{,}175\ \text{m}\cdot 1{,}98\cdot 10^{3}\ \text{Hz}\approx 346\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \end{aligned} \)

Der Literaturwert bei Raumtemperatur liegt bei etwa 343 m/s – die Messung passt.

10. Prüfungsbeispiel 3: Doppelspalt im Wellenbecken (2024 W3)

📝 Abschlussprüfung 2024, W3 2.0–2.2.2 (adaptiert): Wasserwelle am Doppelspalt
Ein Balken erzeugt eine sinusförmige Wasserwelle (c = 2,0 m/s). Zwei aufeinanderfolgende Wellenberge erreichen den Doppelspalt im Abstand Δt = 2,5 s; der Höhenunterschied Berg–Tal beträgt 1,20 m. Bei t₀ = 0 ist der Balken im oberen Umkehrpunkt. a) Wellenlänge? b) Wellengleichung links vom Doppelspalt. c) In einem Punkt misst man s₁ = 7,5 m und s₂ = 10,0 m: Interferenzart und Ordnung?

Lösung:

\( \begin{aligned} \textbf{a)}\quad T&=\Delta t=2{,}5\ \text{s},\qquad \lambda=c\cdot T=2{,}0\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 2{,}5\ \text{s}=5{,}0\ \text{m}\\ \textbf{b)}\quad \hat y&=\dfrac{1{,}20\ \text{m}}{2}=0{,}60\ \text{m};\ \text{Start im oberen Umkehrpunkt}\;\Rightarrow\;\text{Kosinus:}\quad y(x,t)=0{,}60\ \text{m}\cdot\cos\!\left[2\pi\left(\dfrac{t}{2{,}5\ \text{s}}-\dfrac{x}{5{,}0\ \text{m}}\right)\right]\\ \textbf{c)}\quad \Delta s&=10{,}0\ \text{m}-7{,}5\ \text{m}=2{,}5\ \text{m}=\dfrac{\lambda}{2}=\left(0+\tfrac12\right)\lambda\;\Rightarrow\;\text{destruktiv, Minimum 0. Ordnung} \end{aligned} \)

11. Typische Prüfungsfehler

✗ Falsch

Amplitude = Höhenunterschied Berg–Tal.

✓ Richtig

Die Amplitude ist die halbe Berg-Tal-Höhe.

✗ Falsch

Knotenabstand gleich λ gesetzt.

✓ Richtig

Benachbarte Knoten (und benachbarte Bäuche) haben den Abstand λ/2.

✗ Falsch

Gangunterschied in Kästchen angegeben, Maßstab vergessen.

✓ Richtig

Erst mit dem Maßstab in Meter umrechnen, dann Δs/λ bilden.

✗ Falsch

Beim einseitig offenen Rohr die Saitenformel verwendet.

✓ Richtig

Geschlossen = Knoten, offen = Bauch → ℓ = (2n−1)·λ/4, nur ungerade Harmonische.

12. Auf einen Blick

  • c = λ·f = λ/T; Wellengleichung y(x,t) = ŷ·sin[2π(t/T − x/λ)].
  • Abstand λ → gleichphasig, λ/2 → gegenphasig.
  • Doppelspalt: Δs = k·λ Maximum, Δs = (k+½)·λ Minimum.
  • Stehende Welle: Knotenabstand λ/2; festes Ende Knoten, offenes Ende Bauch.
  • Saite: f_n = n·c/(2ℓ) · einseitig offenes Rohr: f_n = (2n−1)·c/(4ℓ).

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