Mechanische Schwingungen
Ein Körper schwingt, wenn er sich periodisch um eine Ruhelage hin- und herbewegt: Federpendel, Fadenpendel, Stoßdämpfer, Saite. Die wichtigste Form ist die harmonische Schwingung: Ihre Rückstellkraft ist proportional zur Auslenkung (lineares Kraftgesetz), ihr Zeitverlauf ist eine Sinuskurve. Diese Seite führt von den Grundgrößen über Zeigerdiagramm, Koordinatengleichungen und Pendelformeln bis zu Energie, Dämpfung und Resonanz – mit den Prüfungsaufgaben 2023 und 2026.
Inhaltsverzeichnis
- Grundgrößen einer Schwingung
- Harmonische Schwingung und lineares Kraftgesetz
- Das Zeigerdiagramm: vom Kreis zur Sinuskurve
- Koordinatengleichungen: y(t), v(t), a(t)
- Anfangsbedingungen: Sinus oder Kosinus?
- Federpendel, Fadenpendel, Flüssigkeitspendel
- Energie der Schwingung
- Dämpfung und Resonanz
- Prüfungsbeispiel 1: Waage in der Raumstation (2023 W2)
- Prüfungsbeispiel 2: Elongation zu einem Zeitpunkt (2026 Pflichtteil)
- Typische Prüfungsfehler
- Auf einen Blick
1. Grundgrößen einer Schwingung
| Größe | Zeichen | Einheit | Bedeutung |
|---|---|---|---|
| Elongation (Auslenkung) | y | m | momentaner Abstand von der Ruhelage (mit Vorzeichen) |
| Amplitude | ŷ (y_max) | m | größte Auslenkung |
| Periodendauer (Schwingungsdauer) | T | s | Zeit für eine volle Schwingung (hin und zurück) |
| Frequenz | f | Hz | Schwingungen pro Sekunde, f = 1/T |
| Kreisfrequenz | ω | 1/s | ω = 2πf = 2π/T (wie Winkelgeschwindigkeit des Zeigers) |
| Rückstellkraft | F | N | treibt den Körper zur Ruhelage zurück |
Grundgleichungen
| Periodendauer und Frequenz | \( T=\dfrac{1}{f},\qquad f=\dfrac{1}{T} \) |
| Kreisfrequenz | \( \omega=2\pi f=\dfrac{2\pi}{T} \) |
2. Harmonische Schwingung und lineares Kraftgesetz
Eine ungedämpfte Schwingung ist harmonisch, wenn eine der beiden gleichwertigen Bedingungen gilt – dann gilt automatisch auch die andere:
| Bedingung | Formulierung |
|---|---|
| lineares Kraftgesetz | Die Rückstellkraft ist proportional und entgegengesetzt zur Auslenkung: F = −D·y |
| Sinusverlauf | Die Elongation folgt einer Sinus-/Kosinusfunktion: y(t) = ŷ·sin(ωt + φ₀) |
Lineares Kraftgesetz und Richtgröße
| Rückstellkraft | \( F=-D\cdot y \) |
| Richtgröße (Federpendel: Federkonstante) | \( D=\dfrac{|F|}{|y|}\quad[D]=\tfrac{\text{N}}{\text{m}} \) |
| Zusammenhang mit der Kreisfrequenz | \( D=m\,\omega^{2}\quad\Rightarrow\quad\omega=\sqrt{\dfrac{D}{m}} \) |
3. Das Zeigerdiagramm: vom Kreis zur Sinuskurve
Ein Zeiger der Länge ŷ rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit ω. Seine Projektion auf die senkrechte Achse ist genau die Elongation der harmonischen Schwingung. Der Drehwinkel φ = ωt heißt Phase; φ₀ ist der Startwinkel (Phasenverschiebung).
4. Koordinatengleichungen: y(t), v(t), a(t)
Aus der Elongation folgen Geschwindigkeit und Beschleunigung (Ableitung = Steigung der jeweiligen Kurve):
Harmonische Schwingung (Start in der Ruhelage nach oben, φ₀ = 0)
| Elongation | \( y(t)=\hat y\cdot\sin(\omega t) \) |
| Geschwindigkeit | \( v(t)=\hat y\,\omega\cdot\cos(\omega t)\qquad v_{\max}=\hat y\,\omega \) |
| Beschleunigung | \( a(t)=-\hat y\,\omega^{2}\cdot\sin(\omega t)=-\omega^{2}\cdot y(t)\qquad a_{\max}=\hat y\,\omega^{2} \) |
| Rückstellkraft | \( F(t)=m\cdot a(t)=-m\,\omega^{2}\,y(t)=-D\,y(t) \) |
| Ort | y | v | a / F |
|---|---|---|---|
| Ruhelage (y = 0) | 0 | maximal (ŷω) | 0 |
| Umkehrpunkt (y = ±ŷ) | ±ŷ | 0 | maximal (ŷω²), zur Ruhelage gerichtet |
5. Anfangsbedingungen: Sinus oder Kosinus?
Die Gleichung hängt davon ab, wo der Körper bei t = 0 startet. In der Prüfung steht das im Text („zunächst nach oben“, „aus der maximalen Auslenkung losgelassen“):
| Start bei t = 0 | Gleichung | Zeiger bei t = 0 |
|---|---|---|
| in der Ruhelage, Bewegung in positive Richtung | y = ŷ·sin(ωt) | waagrecht rechts (φ₀ = 0) |
| in der Ruhelage, Bewegung in negative Richtung | y = −ŷ·sin(ωt) | waagrecht links (φ₀ = π) |
| in der maximalen positiven Auslenkung (losgelassen) | y = ŷ·cos(ωt) | senkrecht oben (φ₀ = π/2) |
| in der maximalen negativen Auslenkung | y = −ŷ·cos(ωt) | senkrecht unten |
6. Federpendel, Fadenpendel, Flüssigkeitspendel
Setzt man die Rückstellkraft des jeweiligen Pendels mit F = −D·y gleich, erhält man die Richtgröße und daraus die Periodendauer T = 2π/ω = 2π·√(m/D):
Periodendauern
| Federpendel (Masse m, Federkonstante D) | \( T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{D}} \) |
| Fadenpendel (Länge ℓ, kleine Auslenkung) | \( T=2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}} \) |
| Flüssigkeitspendel (U-Rohr, Gesamtlänge L der Flüssigkeitssäule) | \( T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{2g}} \) |
| Pendel | T hängt ab von | T hängt NICHT ab von | Richtgröße |
|---|---|---|---|
| Federpendel | m (größer → langsamer), D (härter → schneller) | Amplitude, g | D = Federkonstante |
| Fadenpendel | ℓ (länger → langsamer), g | Masse, Amplitude (klein) | D = m·g/ℓ |
| Flüssigkeitspendel | L, g | Masse, Querschnitt | D = 2·ρ·g·A |
7. Energie der Schwingung
Bei der Schwingung wandeln sich Spannenergie (bzw. Lageenergie) und Bewegungsenergie ständig ineinander um. Ohne Dämpfung bleibt die Summe konstant:
Energie der harmonischen Schwingung
| potenzielle Energie (Spannenergie) | \( E_{\text{pot}}=\tfrac12\,D\,y^{2} \) |
| kinetische Energie | \( E_{\text{kin}}=\tfrac12\,m\,v^{2} \) |
| Gesamtenergie (konstant) | \( E_{\text{ges}}=\tfrac12\,D\,\hat y^{2}=\tfrac12\,m\,v_{\max}^{2} \) |
| Geschwindigkeit bei Elongation y | \( v=\omega\sqrt{\hat y^{2}-y^{2}} \) |
Die Gesamtenergie wächst mit dem Quadrat der Amplitude: doppelte Amplitude → vierfache Energie. In den Umkehrpunkten ist alles Spannenergie, in der Ruhelage alles Bewegungsenergie.
8. Dämpfung und Resonanz
| Begriff | Erklärung (qualitativ) | Beispiel |
|---|---|---|
| Dämpfung | Reibung entzieht dem Schwinger Energie: Die Amplitude nimmt mit der Zeit ab, die Frequenz bleibt (nahezu) gleich. | Stoßdämpfer im Auto: Schwingung soll schnell abklingen |
| erzwungene Schwingung | Ein Erreger zwingt dem System periodisch seine Frequenz auf. | Motor, der ein Bauteil rüttelt |
| Resonanz | Stimmt die Erregerfrequenz mit der Eigenfrequenz überein, wird die Amplitude besonders groß (bei schwacher Dämpfung sehr groß). | Saite anregen, Brücke im Gleichschritt, Vibrationen bei bestimmter Drehzahl |
| Gegenmaßnahmen | Dämpfung erhöhen, Eigenfrequenz verstimmen (Masse/Steifigkeit ändern), Resonanzdrehzahl meiden. | Schwingungstilger, Tilgermasse in Hochhäusern |
9. Prüfungsbeispiel 1: Waage in der Raumstation (2023 W2)
Lösung:
So wiegt man ohne Gewichtskraft: Die Periodendauer hängt nur von Masse und Richtgröße ab – nicht von g.
10. Prüfungsbeispiel 2: Elongation zu einem Zeitpunkt (2026 Pflichtteil)
Lösung:
t₃ = 0,10 s = T/2: Der Zeiger steht nach einer halben Periode links – der Seilanfang geht gerade durch die Ruhelage nach unten → wahr. Zwischen 0,05 s und 0,25 s durchläuft er die Ruhelage bei 0,10 s und 0,20 s, also genau zweimal. Rechner auf RAD!
11. Typische Prüfungsfehler
✗ Falsch
Taschenrechner im Gradmaß bei sin(ωt).
✓ Richtig
ωt ist im Bogenmaß → Modus RAD. Kontrolle: sin(1,2π) muss negativ sein.
✗ Falsch
„Im Umkehrpunkt ist die Geschwindigkeit maximal.“
✓ Richtig
Im Umkehrpunkt ist v = 0, aber a und F sind maximal. In der Ruhelage ist v maximal, a = 0.
✗ Falsch
Periodendauer des Fadenpendels von der Masse abhängig gemacht.
✓ Richtig
T = 2π√(ℓ/g) – keine Masse. Beim Federpendel dagegen T = 2π√(m/D).
✗ Falsch
Sinus verwendet, obwohl der Körper in der maximalen Auslenkung startet.
✓ Richtig
Start im Umkehrpunkt → Kosinus; Start in der Ruhelage → Sinus.
12. Auf einen Blick
- Harmonisch ⟺ F = −D·y ⟺ y(t) = ŷ·sin(ωt + φ₀), ω = 2π/T, D = mω².
- v(t) = ŷω·cos, a(t) = −ω²·y; v max in der Ruhelage, a max im Umkehrpunkt.
- Federpendel T = 2π√(m/D) · Fadenpendel T = 2π√(ℓ/g).
- Energie: E_ges = ½Dŷ² = ½mv_max², E_pot = ½Dy².
- Resonanz: Erregerfrequenz = Eigenfrequenz → große Amplitude; Dämpfung begrenzt sie.
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