Elektrisches Feld und Kondensator

Elektrische Ladungen üben Kräfte aufeinander aus – ohne sich zu berühren. Die Physik beschreibt das mit dem elektrischen Feld: Jede Ladung erzeugt um sich ein Feld, und das Feld übt auf andere Ladungen Kräfte aus. Diese Seite führt vom Feldlinienbild über Feldstärke, Coulombkraft und Spannung zum Plattenkondensator als Ladungs- und Energiespeicher – der Stoff des Lernbereichs „Klassische Felder“ und ein Dauerbrenner im Pflichtteil.

Inhaltsverzeichnis

  1. Feldlinienbilder lesen und zeichnen
  2. Die elektrische Feldstärke
  3. Die Coulombkraft
  4. Homogenes Feld, Spannung und Potenzial
  5. Bewegung geladener Körper im homogenen Feld
  6. Der Plattenkondensator: Kapazität
  7. Energie im Kondensator, Dielektrikum, Bauformen
  8. Laden und Entladen: die Entladekurve
  9. Prüfungsbeispiel 1: Feldlinienbild deuten (2025 Pflichtteil)
  10. Prüfungsbeispiel 2: Coulombkraft (2021 W2)
  11. Prüfungsbeispiel 3: Kondensator als Füllstandssensor (2023 W3)
  12. Typische Prüfungsfehler
  13. Auf einen Blick

1. Feldlinienbilder lesen und zeichnen

Feldlinien machen das Feld sichtbar (im Versuch mit Grießkörnern in Öl). Regeln, die in jeder Prüfungsaufgabe abgefragt werden:

Regel Bedeutung
Richtung von + nach −; Pfeilspitze = Richtung der Kraft auf eine positive Probeladung
Dichte je dichter die Linien, desto größer die Feldstärke
Kreuzungsfrei Feldlinien schneiden sich nie (sonst wäre die Kraftrichtung nicht eindeutig)
Leiteroberfläche Feldlinien stehen senkrecht auf Leiteroberflächen
Superposition mehrere Ladungen: Felder addieren sich vektoriell (Dipol, Vierpol)
homogen parallele, gleich dichte Linien → überall gleiche Feldstärke (Plattenkondensator)
+Punktladung (radial, E ~ 1/r²)+−Dipol: von + nach −+−Plattenkondensator: homogen, E = U/dd
💡 Kraft auf eine Probeladung: positive Ladung → in Feldlinienrichtung, negative Ladung → gegen die Feldlinienrichtung. Das ist der Schlüssel für Aufgaben wie 2025 P 6.

2. Die elektrische Feldstärke

Die Feldstärke ist definiert über die Kraft auf eine (kleine, positive) Probeladung q:

Elektrische Feldstärke

Definition \( \vec E=\dfrac{\vec F}{q}\qquad[E]=\tfrac{\text{N}}{\text{C}}=\tfrac{\text{V}}{\text{m}} \)
Kraft auf eine Ladung im Feld \( \vec F=q\cdot\vec E \)
Feld einer Punktladung Q (Coulombfeld, radial) \( E=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\dfrac{Q}{r^{2}} \)
elektrische Feldkonstante \( \varepsilon_0=8{,}854\cdot 10^{-12}\ \tfrac{\text{As}}{\text{Vm}} \)

3. Die Coulombkraft

Zwei Punktladungen Q₁ und Q₂ im Abstand r ziehen sich an (ungleichnamig) oder stoßen sich ab (gleichnamig). Die Kraft nimmt – wie die Gravitation – mit dem Quadrat des Abstands ab:

Coulomb’sches Gesetz

Coulombkraft \( F=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}\cdot\dfrac{Q_1\cdot Q_2}{r^{2}} \)
Vergleich Gravitation \( F_G=G\cdot\dfrac{m_1 m_2}{r^{2}}\quad\text{(gleiche Struktur, nur anziehend)} \)

ε_r (Permittivitätszahl) berücksichtigt das Medium: Luft/Vakuum ε_r = 1, Wasser ≈ 80 (schwächt die Kraft). Elementarladung e = 1,602·10⁻¹⁹ C.

4. Homogenes Feld, Spannung und Potenzial

Zwischen den Platten eines Kondensators ist das Feld homogen. Verschiebt man eine Ladung q um die Strecke d längs der Feldlinien, verrichtet das Feld Arbeit – daraus folgt die Spannung als Energie pro Ladung (Potenzialdifferenz):

Homogenes Feld (Plattenabstand d, Spannung U)

Feldstärke \( E=\dfrac{U}{d} \)
Arbeit / Energie bei Verschiebung um d \( W=F\cdot d=q\,E\,d=q\cdot U \)
Spannung als Potenzialdifferenz \( U=\varphi_1-\varphi_2=\dfrac{W}{q}\qquad[U]=\tfrac{\text{J}}{\text{C}}=\text{V} \)
Lageenergie im Feld (Abstand x von der negativen Platte, positive Ladung) \( E_{\text{pot}}=q\,E\,x \)
💡 Analogie: Potenzial φ ↔ Höhe h, Spannung U ↔ Höhendifferenz, Feldstärke E ↔ Gefälle g. Lageenergie: m·g·h ↔ q·E·x. So lässt sich der Energiesatz übertragen.

5. Bewegung geladener Körper im homogenen Feld

Ein geladener Körper (Kugel, Staubteilchen, Elektron) erfährt im Feld die konstante Kraft F = q·E – genau wie ein Körper im Schwerefeld. Zwei Standardansätze:

Ansatz wann Rechnung
Energiesatz Geschwindigkeit nach Durchlaufen der Spannung U gesucht q·U = ½·m·v² → v = √(2qU/m)
Kräfteplan + Newton Beschleunigung, Bahn, Schweben gesucht F_el = q·E (parallel zu E), F_G = m·g; a = F_res/m; Schweben: q·E = m·g
Überlagerung Teilchen fliegt quer durchs Feld längs: gleichförmig; quer: beschleunigt mit a = qE/m → Parabel wie beim waagrechten Wurf

Beispiel: Ein Elektron (m = 9,11·10⁻³¹ kg, e = 1,602·10⁻¹⁹ C) durchläuft U = 200 V → v = √(2·1,602·10⁻¹⁹·200 / 9,11·10⁻³¹) ≈ 8,4·10⁶ m/s. Beim Millikan-Prinzip schwebt ein Öltröpfchen, wenn q·U/d = m·g.

6. Der Plattenkondensator: Kapazität

Ein Kondensator speichert Ladung (und Energie) im elektrischen Feld zwischen zwei Platten. Die Kapazität gibt an, wie viel Ladung er pro Volt aufnimmt:

Kapazität

Definition \( C=\dfrac{Q}{U}\qquad[C]=\tfrac{\text{As}}{\text{V}}=\text{F (Farad)} \)
Plattenkondensator (Fläche A, Abstand d) \( C=\varepsilon_0\,\varepsilon_r\,\dfrac{A}{d} \)
typische Größen \( 1\ \text{pF}=10^{-12}\ \text{F},\quad 1\ \text{nF}=10^{-9}\ \text{F},\quad 1\ \mu\text{F}=10^{-6}\ \text{F} \)
Größer wird C durch … Grund
größere Plattenfläche A mehr Platz für Ladung
kleineren Plattenabstand d stärkeres Feld bei gleicher Spannung
Dielektrikum (ε_r > 1) zwischen den Platten Isolator wird polarisiert und schwächt das Feld → bei gleicher Spannung passt mehr Ladung

7. Energie im Kondensator, Dielektrikum, Bauformen

Energie des elektrischen Feldes im Kondensator

drei gleichwertige Formen \( E_{\text{el}}=\tfrac12\,C\,U^{2}=\tfrac12\,Q\,U=\dfrac{Q^{2}}{2C} \)
Herleitung \( \text{Fläche unter dem } Q\text{-}U\text{-Diagramm (Dreieck): } W=\tfrac12\,Q\,U \)
Bauform Besonderheit Einsatz
Plattenkondensator Grundform, einfach berechenbar Laborversuche, Sensoren (Füllstand, Abstand)
Drehkondensator Fläche A variabel → C einstellbar Abstimmung von Schwingkreisen (Radio)
Elektrolytkondensator sehr kleiner Abstand d durch Oxidschicht → große C; gepolt! Netzteile, Glättung
Superkondensator extrem große effektive Fläche → bis zu Tausende Farad Energiespeicher, Bremsenergie-Rückgewinnung

Beispiel Dimensionierung: Ein Kondensator soll bei U = 12 V die Energie 0,50 J speichern → C = 2E/U² = 1,0/144 ≈ 6,9 mF – nur als Elko oder Superkondensator realisierbar.

8. Laden und Entladen: die Entladekurve

Entlädt sich ein Kondensator über einen Widerstand R, fließt zunächst ein großer Strom, der mit sinkender Spannung abnimmt. Spannung, Ladung und Stromstärke fallen exponentiell ab:

Entladekurve eines Kondensators123450.30.60.81.1t in τ (τ = R·C)U / U₀

Entladung (qualitativ und Kenngröße)

Zeitkonstante \( \tau=R\cdot C \)
nach τ \( U\approx 0{,}37\cdot U_0\ (\text{auf } 1/e \text{ gefallen}),\ \text{nach } 5\tau\ \text{praktisch entladen} \)
Messidee (Praktikum) \( \text{Entladestrom messen, Fläche unter der } t\text{-}I\text{-Kurve}=Q\ \Rightarrow\ C=Q/U_0 \)

9. Prüfungsbeispiel 1: Feldlinienbild deuten (2025 Pflichtteil)

📝 Abschlussprüfung 2025, P 6.0–6.2 (adaptiert): vier geladene Kugeln
Ein Feldlinienbild zeigt das Feld um vier geladene Kugeln. In A sitzt eine negative Probeladung, die Kraft F_A auf sie zeigt nach rechts. a) Bestimme das Vorzeichen jeder Kugelladung und die Orientierung der Feldlinien. b) In B und C sitzen positive Probeladungen – zeichne die Kraftpfeile.

Lösung:

a) Die Kraft auf die negative Probeladung wirkt gegen die Feldrichtung. Zeigt F_A nach rechts, laufen die Feldlinien bei A nach links: Die Kugel links oben ist negativ (Feldlinien enden dort), rechts oben positiv. Da keine Feldlinien von den oberen zu den unteren Kugeln laufen, haben obere und untere jeweils gleiche Ladung (links unten −, rechts unten +). Pfeilspitzen: von + weg, zu − hin.

b) Positive Probeladungen: Kraft in Feldlinienrichtung, also tangential zur Feldlinie durch B bzw. C, weg von den positiven, hin zu den negativen Kugeln; Länge nach Liniendichte (dichter = größer).

10. Prüfungsbeispiel 2: Coulombkraft (2021 W2)

📝 Abschlussprüfung 2021, W2 1.4.0–1.5.1 (adaptiert): geladene Kugel auf der Luftkissenbahn
Eine Kugel mit q = 2,5·10⁻¹⁰ C auf einem Gleiter (m = 60 g, reibungsfrei) befindet sich r = 6,0 cm von einer ortsfesten, negativ geladenen Kugel Q_K entfernt. Beim Loslassen beträgt die Beschleunigung a₀ = 92·10⁻⁶ m/s² (Luft, ε_r = 1). Ermitteln Sie Q_K.

Lösung:

\( \begin{aligned} F_C&=F_{\text{res}}=m\,a_0\quad\Rightarrow\quad\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\dfrac{|Q_K|\,q}{r^{2}}=m\,a_0\\ |Q_K|&=\dfrac{m\,a_0\cdot 4\pi\varepsilon_0\,r^{2}}{q}=\dfrac{0{,}060\ \text{kg}\cdot 92\cdot 10^{-6}\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^{2}}\cdot 4\pi\cdot 8{,}854\cdot 10^{-12}\ \tfrac{\text{As}}{\text{Vm}}\cdot(0{,}060\ \text{m})^{2}}{2{,}5\cdot 10^{-10}\ \text{C}}\approx 8{,}8\cdot 10^{-9}\ \text{C} \end{aligned} \)

Die Kugel ist negativ geladen: Q_K = −8,8·10⁻⁹ C. Typisches Muster: Coulombkraft = m·a (Newton) und nach der unbekannten Größe auflösen; alle Werte in SI-Einheiten.

11. Prüfungsbeispiel 3: Kondensator als Füllstandssensor (2023 W3)

📝 Abschlussprüfung 2023, W3 1.0–1.2.2 (adaptiert): Plattenkondensator im Flüssigkeitsbehälter
Ein Plattenkondensator mit quadratischen Platten (a = 50 cm, d = 10 cm) steht senkrecht in einem Behälter. Ohne Flüssigkeit (Luft, ε_r = 1,0) wird die Ladung Q₀ = 4,4 nC gemessen. b) Ermitteln Sie C₀ und die Ladespannung U₀. d) Bei U₀ = 0,20 kV und teilweiser Füllung speichert er Q₁ = 7,0 nC: Welche Energie steckt im Feld?

Lösung:

\( \begin{aligned} \textbf{b)}\quad C_0&=\varepsilon_0\,\varepsilon_r\,\dfrac{a^{2}}{d}=8{,}854\cdot 10^{-12}\ \tfrac{\text{As}}{\text{Vm}}\cdot\dfrac{(0{,}50\ \text{m})^{2}}{0{,}10\ \text{m}}\approx 22\ \text{pF}\\ U_0&=\dfrac{Q_0}{C_0}=\dfrac{4{,}4\cdot 10^{-9}\ \text{C}}{22\cdot 10^{-12}\ \text{F}}\approx 2{,}0\cdot 10^{2}\ \text{V}=0{,}20\ \text{kV}\\ \textbf{d)}\quad W_{\text{el},1}&=\tfrac12\,Q_1\,U_0=\tfrac12\cdot 7{,}0\cdot 10^{-9}\ \text{C}\cdot 200\ \text{V}=7{,}0\cdot 10^{-7}\ \text{J}=0{,}70\ \mu\text{J} \end{aligned} \)

Mit Flüssigkeit zwischen den Platten (ε_r > 1) steigt C bei gleichem U – die gemessene Ladung zeigt die Füllhöhe an. Genau so arbeiten kapazitive Füllstands- und Touch-Sensoren.

12. Typische Prüfungsfehler

✗ Falsch

Kraft auf eine negative Ladung in Feldlinienrichtung gezeichnet.

✓ Richtig

Negative Ladung: Kraft gegen die Feldlinien. Feldlinien geben die Kraft auf positive Ladungen an.

✗ Falsch

cm, g und nC direkt in die Formeln eingesetzt.

✓ Richtig

Alles in SI: m, kg, C (1 nC = 10⁻⁹ C, 1 pF = 10⁻¹² F).

✗ Falsch

E = U/d auch im Feld einer Punktladung verwendet.

✓ Richtig

E = U/d gilt nur im homogenen Feld. Punktladung: E = Q/(4πε₀r²).

✗ Falsch

Energie als W = C·U² (ohne ½).

✓ Richtig

W = ½·C·U² – die Spannung wächst beim Laden von 0 auf U (Dreiecksfläche).

13. Auf einen Blick

  • Feldlinien: + → −, Dichte = Stärke, kreuzungsfrei; Kraft auf + in Linienrichtung.
  • E = F/q; Punktladung E = Q/(4πε₀r²); Coulomb F = Q₁Q₂/(4πε₀ε_r r²).
  • Homogen: E = U/d, W = q·U, Energiesatz q·U = ½mv².
  • Kondensator: C = Q/U = ε₀ε_r·A/d; W = ½CU² = ½QU.
  • Entladung: exponentiell, τ = R·C.

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