Gebrochen-rationale Funktionen – Eigenschaften und Asymptoten
Mathematik FOS/BOS 13 · Bayern · Weitere Funktionen (Nichttechnik)
Eine gebrochen-rationale Funktion ist ein Quotient zweier Polynome. Neu gegenüber ganzrationalen Funktionen sind die Definitionslücken und die Asymptoten – genau darum geht es hier.
1 Definition und Definitionsmenge
Gebrochen-rationale Funktion. \(f(x)=\dfrac{Z(x)}{N(x)}\) mit Zählerpolynom \(Z(x)\) und Nennerpolynom \(N(x)\), \(N(x)\not\equiv 0\).
- echt gebrochen-rational: Grad von \(Z\) kleiner als Grad von \(N\)
- unecht gebrochen-rational: Grad von \(Z\) größer oder gleich dem Grad von \(N\)
Die Definitionsmenge schließt die Nennernullstellen aus: \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{x\mid N(x)=0\}\).
Beispiel A. \(f(x)=\dfrac{x}{x^{2}-1}\).
| \(N(x)=x^{2}-1=0\Rightarrow x=\pm1\) | Nennernullstellen |
| \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;\,1\}\); Grad \(Z=1<2=\) Grad \(N\Rightarrow\) echt gebrochen-rational |
2 Arten von Definitionslücken
An einer Nennernullstelle \(x_0\) entscheidet der Zähler über die Art der Lücke:
Polstelle (Unendlichkeitsstelle)
Ist \(N(x_0)=0\), aber \(Z(x_0)\neq0\), liegt eine Polstelle vor: \(|f(x)|\to\infty\). Die Gerade \(x=x_0\) ist senkrechte Asymptote. Die Ordnung (Vielfachheit der Nennernullstelle) bestimmt das Verhalten:
- ungerade Ordnung → mit Vorzeichenwechsel (die beiden Äste laufen in entgegengesetzte Richtungen), z. B. \(\tfrac1x\)
- gerade Ordnung → ohne Vorzeichenwechsel (beide Äste laufen in dieselbe Richtung), z. B. \(\tfrac1{x^2}\)
Links \(f(x)=\tfrac1x\) (Polstelle mit VZW, Ordnung 1); rechts \(f(x)=\tfrac1{x^2}\) (Polstelle ohne VZW, Ordnung 2). Beide: senkrechte Asymptote \(x=0\), waagerechte \(y=0\).
Stetig behebbare (hebbare) Lücke
Haben Zähler und Nenner an \(x_0\) eine gemeinsame Nullstelle, lässt sich der Bruch kürzen. Dann ist \(x_0\) eine stetig behebbare Lücke – der Graph hat dort nur ein „Loch“, keine Polstelle.
Beispiel B. \(f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}\); \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\).
| \(f(x)=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\quad(x\neq1)\) | kürzen |
| \(\lim\limits_{x\to1}f(x)=2\Rightarrow\) Loch bei \((1\mid2)\) | keine Polstelle |
3 Verhalten im Unendlichen: waagerechte und schräge Asymptoten
Das Verhalten für \(x\to\pm\infty\) hängt vom Gradvergleich von Zähler und Nenner ab:
| Gradvergleich | Asymptote für \(x\to\pm\infty\) |
|---|---|
| Grad \(Z\) < Grad \(N\) | waagerechte Asymptote \(y=0\) |
| Grad \(Z\) = Grad \(N\) | waagerechte Asymptote \(y=\dfrac{\text{Leitkoeffizient von }Z}{\text{Leitkoeffizient von }N}\) |
| Grad \(Z\) = Grad \(N\) + 1 | schräge Asymptote (per Polynomdivision) |
| Grad \(Z\) \(\ge\) Grad \(N\) + 2 | keine Geraden-Asymptote (näherungsweise ganzrationaler Verlauf) |
Stufe 2-3 · hilfsmittelfreiWaagerechte Asymptote
Beispiel C. \(f(x)=\dfrac{2x^{2}+1}{x^{2}+1}\): Grad \(Z=\) Grad \(N=2\).
| waagerechte Asymptote \(y=\dfrac{2}{1}=2\) (Quotient der Leitkoeffizienten) |
Stufe 3-4 · AusbauSchräge Asymptote per Polynomdivision
Beispiel D. \(f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x}\): Grad \(Z=2=\) Grad \(N+1\).
Polynomdivision (gemischter Bruchterm)
| \((x^{2}+1):x=x+\dfrac{1}{x}\) | also \(f(x)=x+\tfrac1x\) |
Grenzverhalten
| für \(x\to\pm\infty\) gilt \(\tfrac1x\to0\Rightarrow f(x)\to x\) | schräge Asymptote \(y=x\) |
4 Nullstellen, Achsenschnittpunkte und Symmetrie
- Nullstellen: \(Z(x)=0\) und \(N(x)\neq0\) (Zähler null, aber keine gemeinsame Nullstelle mit dem Nenner).
- \(y\)-Achsenabschnitt: \(f(0)\) (falls \(0\in D_f\)).
- Symmetrie: \(f(-x)=f(x)\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse; \(f(-x)=-f(x)\) punktsymmetrisch zum Ursprung.
Beispiel E. \(f(x)=\dfrac{x}{x^{2}-1}\): Zähler \(x=0\Rightarrow\) Nullstelle bei \(x=0\); \(f(-x)=\dfrac{-x}{x^{2}-1}=-f(x)\Rightarrow\) punktsymmetrisch zum Ursprung.
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
Jede Nennernullstelle als Polstelle deuten.
✓ Richtig
Nur wenn der Zähler dort nicht null ist. Gemeinsame Nullstelle → kürzen → hebbare Lücke.
✗ Falsch
Bei jeder Polstelle einen Vorzeichenwechsel annehmen.
✓ Richtig
VZW nur bei ungerader Ordnung (\(\tfrac1x\)); bei gerader Ordnung (\(\tfrac1{x^2}\)) laufen beide Äste gleich.
✗ Falsch
Waagerechte Asymptote immer als \(y=0\).
✓ Richtig
Nur bei Grad \(Z<\) Grad \(N\). Bei gleichem Grad: \(y=\) Quotient der Leitkoeffizienten; bei Grad \(Z=\)Grad\(N+1\): schräge Asymptote.
✗ Falsch
Zählernullstellen ungeprüft als Nullstellen von \(f\) angeben.
✓ Richtig
Nur wenn dort \(N(x)\neq0\) – sonst ist es eine hebbare Lücke, keine Nullstelle.
Auf einen Blick
- Definitionsmenge: Nennernullstellen ausschließen.
- Definitionslücken: Polstelle (Zähler \(\neq0\)) mit/ohne VZW je Ordnung; hebbare Lücke (kürzbar).
- Asymptoten (\(x\to\pm\infty\)): Gradvergleich → waagerecht (\(y=0\) bzw. Leitkoeff.-Quotient) oder schräg (Polynomdivision).
- Nullstellen: \(Z=0\) und \(N\neq0\); Symmetrie wie gewohnt prüfen.
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