Gebrochen-rationale Funktionen – Kurvendiskussion und Anwendung
Mathematik FOS/BOS 13 · Bayern · Weitere Funktionen (Nichttechnik)
Mit den Eigenschaften aus dem vorigen Kapitel und der Quotientenregel lässt sich jetzt eine vollständige Kurvendiskussion gebrochen-rationaler Funktionen durchführen – und damit Anwendungsprobleme lösen.
1 Die Quotientenregel
Quotientenregel. Für \(f(x)=\dfrac{Z(x)}{N(x)}\):
\(f^{\prime}(x)=\dfrac{Z^{\prime}(x)\cdot N(x)-Z(x)\cdot N^{\prime}(x)}{\bigl(N(x)\bigr)^{2}}\)
Merksatz: „Nenner mal Ableitung des Zählers minus Zähler mal Ableitung des Nenners, geteilt durch Nenner zum Quadrat.“
Beispiel A. Leiten Sie \(f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x}\) ab.
| \(Z=x^{2}+1,\ N=x\Rightarrow Z^{\prime}=2x,\ N^{\prime}=1\) | |
| \(f^{\prime}(x)=\dfrac{2x\cdot x-(x^{2}+1)\cdot1}{x^{2}}=\dfrac{2x^{2}-x^{2}-1}{x^{2}}=\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}}\) |
2 Vollständige Kurvendiskussion
Stufe 3-4 · AusbauDas Schema am Beispiel \(f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x}\)
| \(N(x)=x=0\Rightarrow D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}\) | |
| \(f(-x)=-x-\tfrac1x=-f(x)\Rightarrow\) punktsymmetrisch zum Ursprung |
2. Nullstellen
| \(x^{2}+1=0\) hat keine reelle Lösung \(\Rightarrow\) keine Nullstellen |
3. Definitionslücke und Asymptoten
| \(x=0\): Zähler \(=1\neq0\Rightarrow\) Polstelle (Ordnung 1, VZW); senkrechte Asymptote \(x=0\) | |
| Polynomdivision: \(f(x)=x+\tfrac1x\Rightarrow\) schräge Asymptote \(y=x\) |
4. Extrempunkte (1. Ableitung)
| \(f^{\prime}(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}}=0\Rightarrow x^{2}=1\Rightarrow x=\pm1\) | |
| \(f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{2}{x^{3}}:\ f^{\prime\prime}(1)>0\Rightarrow TP(1\mid2)\), \(f^{\prime\prime}(-1)<0\Rightarrow HP(-1\mid-2)\) |
5. Wendepunkte
| \(f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{2}{x^{3}}\neq0\Rightarrow\) keine Wendepunkte |
6. Skizze
3 Anwendung: Betriebsoptimum (Stückkosten)
Stufe 4 · PrüfungMinimale Stückkosten
Beispiel B. Die Stückkosten (in GE je Mengeneinheit) sind \(k(x)=2x+\dfrac{50}{x}\) (mit \(x>0\), Stückzahl in ME). Bestimmen Sie das Betriebsoptimum (minimale Stückkosten).
| \(k^{\prime}(x)=2-\dfrac{50}{x^{2}}=0\Rightarrow x^{2}=25\Rightarrow x=5\) | \(x>0\) |
| \(k^{\prime\prime}(x)=\dfrac{100}{x^{3}}>0\Rightarrow\) Minimum | |
| \(k(5)=2\cdot5+\dfrac{50}{5}=10+10=20\) |
Antwort: Bei \(x=5\) ME sind die Stückkosten mit \(20\) GE/ME minimal (Betriebsoptimum).
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
In der Quotientenregel den Zähler vertauschen: \(Z\,N^{\prime}-Z^{\prime}\,N\).
✓ Richtig
Reihenfolge beachten: \(Z^{\prime}N-gh^{\prime}\) (Ableitung des Zählers zuerst), geteilt durch \(N^{2}\).
✗ Falsch
Extremstellen außerhalb der Definitionsmenge mitzählen.
✓ Richtig
Nur Stellen aus \(D_f\) betrachten – die Polstelle ist keine Extremstelle.
✗ Falsch
Bei \(f^{\prime}=\tfrac{Z}{N}=0\) auch den Nenner null setzen.
✓ Richtig
Ein Bruch ist null, wenn der Zähler null ist (und der Nenner nicht) – nur \(x^{2}-1=0\) lösen.
✗ Falsch
Die schräge Asymptote bei der Skizze weglassen.
✓ Richtig
Asymptoten immer einzeichnen – sie geben dem Graphen sein Gerüst.
Auf einen Blick
- Quotientenregel: \(f^{\prime}=\dfrac{Z^{\prime}N-ZN^{\prime}}{N^{2}}\).
- Kurvendiskussion: \(D_f\), Symmetrie, Nullstellen, Definitionslücken/Asymptoten, \(f^{\prime}\)/Extrema, \(f^{\prime\prime}\)/Wende, Skizze.
- Bruch \(=0\): nur wenn der Zähler null ist; Extrema nur in \(D_f\).
- Anwendung: z. B. minimale Stückkosten (Betriebsoptimum) über \(k^{\prime}(x)=0\).
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