Mathematik · Mittelschule Bayern · Klasse 9 · Regelklasse · Lernbereich 7: Gleichungen · LehrplanPLUS
Gleichungen und Formeln umstellen – sicher durch den Quali
Dieser Lernbereich ist Prüfungsstoff im Quali, und er kommt in jedem Jahrgang vor. Du löst Gleichungen mit Klammern und Brüchen, stellst Formeln nach einer gesuchten Größe um und prüfst am Ende, ob Dein Ergebnis zur Sachlage passt. Neue Verfahren gibt es keine – nur mehr Sorgfalt.
Darum geht es in diesem Lernbereich
Du bist an einer anderen Schulart? Dasselbe Thema gibt es auf dem jeweiligen Niveau auch für Realschule Klasse 7 · Wirtschaftsschule Klasse 7. Im M-Zug ist dieser Lernbereich deutlich umfangreicher: Mittelschule M9.
Achtung, hier trennen sich die Wege. Diese Seite ist für die Regelklasse und deckt genau den Quali-Stoff ab. Der M-Zug behandelt in diesem Lernbereich zusätzlich Gleichungen mit zwei Variablen, Gleichungssysteme, Bruchgleichungen und reinquadratische Gleichungen. Das brauchst Du für den Quali nicht – lass Dich davon nicht verunsichern.
1. Der Ablauf, der immer funktioniert
Merke: sechs Schritte
- Klammern auflösen
- Brüche beseitigen (mit dem Hauptnenner multiplizieren)
- Auf jeder Seite zusammenfassen
- Alle \( x \) auf eine Seite, alle Zahlen auf die andere
- Durch die Zahl vor \( x \) teilen
- Probe und Antwortsatz
Die Grundmenge ist hier immer \( \mathbb{IG} = \mathbb{IR} \). Die Lösung schreibst Du als Lösungsmenge: \( \mathbb{IL} = \{10\} \).
Beispiel: Klammern und Variable auf beiden Seiten
Löse \( 3 \cdot (2x – 4) – 2 \cdot (x + 5) = 18 \).
| \( 3(2x-4) – 2(x+5) = 18 \) | Klammern auflösen |
| \( 6x – 12 – 2x – 10 = 18 \) | zusammenfassen |
| \( 4x – 22 = 18 \) | \( |+22 \) |
| \( 4x = 40 \) | \( |:4 \) |
| \( x = 10 \) | \( \mathbb{IL} = \{10\} \) |
Probe: \( 3 \cdot 16 – 2 \cdot 15 = 48 – 30 = 18 \) – stimmt.
Aufgepasst beim Minus vor der Klammer: Aus \( -2 \cdot (x+5) \) wird \( -2x – 10 \), nicht \( -2x + 10 \).
2. Gleichungen mit Brüchen
Merke: Brüche zuerst wegschaffen
Multipliziere die ganze Gleichung mit dem Hauptnenner. Dann verschwinden alle Brüche auf einmal.
Oder rechne in Dezimalschreibweise weiter – bei Nennern wie 2, 4, 5 oder 10 ist das oft schneller. Beide Wege sind erlaubt; nimm den, der Dir liegt.
Beispiel: zwei Wege, ein Ergebnis
Löse \( \dfrac{x}{2} + \dfrac{3}{4} = 2 \).
Weg 1 – mit dem Hauptnenner 4 multiplizieren:
\( 2x + 3 = 8 \quad |-3 \)
\( 2x = 5 \quad |:2 \)
\( x = 2{,}5 \)
Weg 2 – in Dezimalschreibweise:
\( 0{,}5x + 0{,}75 = 2 \quad |-0{,}75 \)
\( 0{,}5x = 1{,}25 \quad |:0{,}5 \)
\( x = 2{,}5 \)
Probe: \( \frac{2{,}5}{2} + \frac{3}{4} = 1{,}25 + 0{,}75 = 2 \) – stimmt. \( \mathbb{IL} = \{2{,}5\} \)
Und noch eine: \( \dfrac{x+2}{3} = 5 \quad |\cdot 3 \quad \Rightarrow \quad x + 2 = 15 \quad \Rightarrow \quad x = 13 \). Der ganze Zähler wird mal 3 genommen, nicht nur das \( x \).
3. Formeln umstellen
Merke
Eine Formel ist nur eine Gleichung mit mehreren Buchstaben. Du formst sie genauso um wie eine Gleichung mit \( x \) – alles, was Du links machst, machst Du auch rechts.
Ziel: Die gesuchte Größe steht am Ende allein auf einer Seite, alles andere auf der anderen.
Beispiel: die wichtigsten Umstellungen für den Quali
| Formel | gesucht | umgestellt |
|---|---|---|
| \( A = \frac{1}{2} g h \) | \( h \) | \( h = \frac{2A}{g} \) |
| \( u = 2(a+b) \) | \( b \) | \( b = \frac{u}{2} – a \) |
| \( V = G \cdot h \) | \( G \) | \( G = \frac{V}{h} \) |
| \( V = \frac{1}{3} G h \) | \( h \) | \( h = \frac{3V}{G} \) |
| \( Z = \frac{K \cdot p}{100} \) | \( K \) | \( K = \frac{Z \cdot 100}{p} \) |
Zahlenprobe als Kontrolle: Setz einfache Werte ein. Bei \( A = 12 \) und \( g = 6 \) liefert \( h = \frac{2 \cdot 12}{6} = 4 \). Rückwärts: \( \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12 \). Passt.
4. Sach- und Mischungsaufgaben
Beispiel: Kaffee mischen
Eine Rösterei mischt zwei Sorten: eine zu \( 8\ \text{€/kg} \) und eine zu \( 12\ \text{€/kg} \). Es sollen 10 kg Mischung entstehen, die \( 9{,}20\ \text{€/kg} \) kostet. Wie viel wird von jeder Sorte gebraucht?
Schritt 1 – Variable festlegen: \( x \) = Kilogramm der teuren Sorte. Dann sind \( 10 – x \) Kilogramm von der billigen.
Schritt 2 – Gleichung über den Gesamtpreis:
\( 12x + 8 \cdot (10 – x) = 10 \cdot 9{,}20 \)
\( 12x + 80 – 8x = 92 \)
\( 4x = 12 \)
\( x = 3 \)
Antwort: Es werden 3 kg der teuren und 7 kg der billigen Sorte gebraucht. \( \mathbb{IL} = \{3\} \)
Probe: \( 3 \cdot 12\ \text{€} + 7 \cdot 8\ \text{€} = 36\ \text{€} + 56\ \text{€} = 92\ \text{€} \) für 10 kg, also \( 9{,}20\ \text{€/kg} \) – stimmt.
Beispiel: Formel einsetzen und rückwärts nutzen
Ein Zylinder fasst \( 1570\ \text{cm}^3 \) und ist 20 cm hoch. Wie groß ist sein Radius? (\( \pi \approx 3{,}14 \))
\( G = \dfrac{V}{h} = \dfrac{1570\ \text{cm}^3}{20\ \text{cm}} = 78{,}5\ \text{cm}^2 \)
\( r^2 = \dfrac{78{,}5\ \text{cm}^2}{3{,}14} = 25\ \text{cm}^2 \)
\( r = 5\ \text{cm} \)
Antwort: Der Radius beträgt 5 cm. Genau so sind die Aufgaben in Teil B gebaut: Formel umstellen, einsetzen, Einheit mitführen.
Merke: das Ergebnis im Sachkontext prüfen
Rechnerisch richtig ist nicht immer sinnvoll. Frag Dich jedes Mal:
- Ist das Ergebnis positiv, wo es positiv sein muss (Länge, Anzahl, Preis)?
- Ist eine ganze Zahl verlangt (Personen, Säcke, Fahrten)? Dann runden – bei Material immer auf.
- Passt die Größenordnung? Ein Zimmer mit 400 m² oder ein Stundenlohn von 3 € sollten Dich stutzig machen.
- Steht am Ende ein Antwortsatz mit Einheit?
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Typische Fehler
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So machst Du es richtig
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Die Formeln dieser Seite auf einen Blick
\( \mathbb{IG} = \mathbb{IR} \)
\( \mathbb{IL} = \{10\} \)
Schreib Dir diese Formeln heraus. In der Prüfung gibt es schon Punkte für die richtig hingeschriebene Formel – auch dann, wenn sich beim Rechnen ein Fehler einschleicht.
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Grundlage: LehrplanPLUS Bayern, Mittelschule, Jahrgangsstufe 9, Regelklasse, Lernbereich 7 „Gleichungen“ (Fachlehrplan Mathematik). Alle Rechenbeispiele sind eigene Aufgaben und maschinell gegengerechnet.