Mathematik · Mittelschule Bayern · Klasse 9 · M-Zug · Lernbereich 7: Gleichungen · LehrplanPLUS
Gleichungssysteme, Bruchgleichungen und reinquadratische Gleichungen
Dieser Lernbereich ist der größte Unterschied zwischen M-Zug und Regelklasse – und zugleich die wichtigste Vorbereitung auf M10. Du bekommst hier drei neue Gleichungstypen, mit denen Du im nächsten Schuljahr Geraden, Parabeln und Schnittpunkte berechnest. Ohne diesen Stoff wird die Abschlussprüfung der 10. Klasse schwer.
Darum geht es in diesem Lernbereich
- Komplexe Gleichungen aus Sachaufgaben
- Klammern und mehrfach auftretende Variable
- Lineare Gleichungen mit Brüchen
- Formeln nach einer Größe umstellen
- Mischungsaufgaben
- Gleichungen mit zwei Variablen
- Einfache lineare Gleichungssysteme
- Bruchgleichungen mit Variable im Nenner
- Der Definitionsbereich bei Bruchgleichungen
- Reinquadratische Gleichungen
- Die Lösungsmenge reinquadratischer Gleichungen
Du bist an einer anderen Schulart? Dasselbe Thema gibt es auf dem jeweiligen Niveau auch für Realschule Klasse 8 · Wirtschaftsschule Klasse 9. In der Regelklasse ist dieser Lernbereich kürzer: Mittelschule R9.
Achtung, hier trennen sich die Wege. Diese Seite ist für den M-Zug. Die fett gedruckten Punkte oben sind zusätzlicher Stoff, den es in der Regelklasse nicht gibt. Die gemeinsamen Grundlagen findest Du ausführlich auf der Regelklassen-Seite – hier liegt der Schwerpunkt auf dem Neuen.
1. Gleichungen mit zwei Variablen
Merke: eine Gleichung, unendlich viele Lösungen
Eine Gleichung wie \( x + y = 50 \) hat keine einzelne Lösung. Jedes Zahlenpaar, das die Gleichung erfüllt, ist eine Lösung: \( (10\,|\,40) \), \( (25\,|\,25) \), \( (0\,|\,50) \) und unendlich viele weitere.
Erst eine zweite Gleichung legt ein bestimmtes Paar fest. Zwei Gleichungen mit denselben zwei Variablen nennt man ein lineares Gleichungssystem.
2. Gleichungssysteme lösen
Merke: drei Verfahren, ein Ziel
- Einsetzungsverfahren: Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen und den Ausdruck in die andere einsetzen.
- Gleichsetzungsverfahren: Beide Gleichungen nach derselben Variablen auflösen und gleichsetzen.
- Additionsverfahren: Die Gleichungen so addieren oder subtrahieren, dass eine Variable wegfällt.
Die Lösung ist ein Zahlenpaar: \( \mathbb{IL} = \{(20\,|\,30)\} \). Ein einzelner Wert ist keine vollständige Antwort.
Beispiel: Fahrräder und Autos
Auf einem Parkplatz stehen 50 Fahrzeuge – Fahrräder und Autos. Zusammen haben sie 160 Räder. Wie viele sind es von jeder Sorte?
Ansatz: \( x \) = Anzahl der Fahrräder, \( y \) = Anzahl der Autos.
| I: \( x + y = 50 \) | Anzahl der Fahrzeuge |
| II: \( 2x + 4y = 160 \) | Anzahl der Räder |
| I nach \( y \): \( y = 50 – x \) | in II einsetzen |
| \( 2x + 4(50 – x) = 160 \) | Klammer auflösen |
| \( 2x + 200 – 4x = 160 \) | zusammenfassen |
| \( -2x = -40 \) | \( |:(-2) \) |
| \( x = 20 \) | in \( y = 50 – x \) einsetzen |
| \( y = 30 \) | \( \mathbb{IL} = \{(20\,|\,30)\} \) |
Probe in beiden Gleichungen: \( 20 + 30 = 50 \) und \( 2 \cdot 20 + 4 \cdot 30 = 40 + 120 = 160 \) – stimmt.
Antwort: Es sind 20 Fahrräder und 30 Autos. Die Probe muss beide Gleichungen erfüllen – eine allein genügt nicht.
3. Bruchgleichungen und der Definitionsbereich
Merke: zuerst der Definitionsbereich, dann die Rechnung
Steht die Variable im Nenner, musst Du prüfen, welche Werte den Nenner null machen würden. Durch null darf man nicht teilen – diese Werte sind ausgeschlossen.
\( \dfrac{6}{x-2} = 3 \qquad \)
\( \qquad x – 2 \neq 0 \qquad \)
\( \qquad \mathbb{ID} = \mathbb{IR} \setminus \{2\} \)
Der Definitionsbereich gehört zur Lösung. Wer ihn nicht angibt, verliert in der Prüfung Punkte – auch bei richtigem Ergebnis.
Beispiel: Bruchgleichung in vier Schritten
Löse \( \dfrac{6}{x-2} = 3 \).
1. Definitionsbereich: \( x \neq 2 \), also \( \mathbb{ID} = \mathbb{IR} \setminus \{2\} \).
2. Mit dem Nenner multiplizieren:
\( 6 = 3 \cdot (x – 2) \)
3. Lösen:
\( 6 = 3x – 6 \quad |+6 \)
\( 12 = 3x \quad |:3 \)
\( x = 4 \)
4. Prüfen, ob die Lösung erlaubt ist: \( 4 \neq 2 \), also liegt sie im Definitionsbereich.
\( \mathbb{IL} = \{4\} \)
Probe: \( \frac{6}{4-2} = \frac{6}{2} = 3 \) – stimmt.
Wenn die Lösung nicht erlaubt ist
Betrachte \( \dfrac{x}{x-3} = \dfrac{3}{x-3} \) mit \( \mathbb{ID} = \mathbb{IR} \setminus \{3\} \). Multiplizieren mit \( x-3 \) ergibt \( x = 3 \).
Aber \( x = 3 \) ist ausgeschlossen – dort wäre der Nenner null. Also gibt es keine Lösung: \( \mathbb{IL} = \{\ \} \). Genau deshalb steht der Definitionsbereich vor der Rechnung und wird am Ende noch einmal geprüft.
Beispiel: zwei weitere Bruchgleichungen
a) \( \dfrac{12}{x} = 4 \), \( \mathbb{ID} = \mathbb{IR} \setminus \{0\} \)
\( 12 = 4x \)
\( x = 3 \qquad \mathbb{IL} = \{3\} \)
b) \( \dfrac{10}{x+1} = 2 \), \( \mathbb{ID} = \mathbb{IR} \setminus \{-1\} \)
\( 10 = 2 \cdot (x+1) \)
\( 10 = 2x + 2 \)
\( x = 4 \qquad \mathbb{IL} = \{4\} \)
Den ausgeschlossenen Wert findest Du, indem Du den Nenner gleich null setzt: \( x + 1 = 0 \) ergibt \( x = -1 \).
4. Reinquadratische Gleichungen
Merke: drei mögliche Lösungsmengen
Eine reinquadratische Gleichung enthält \( x^2 \), aber kein einzelnes \( x \). Du stellst sie nach \( x^2 \) um und ziehst die Wurzel – mit beiden Vorzeichen:
| Fall | Beispiel | Lösungsmenge |
|---|---|---|
| \( x^2 = \) positive Zahl | \( x^2 = 49 \) | \( \mathbb{IL} = \{-7;\,7\} \) – zwei Lösungen |
| \( x^2 = 0 \) | \( x^2 = 0 \) | \( \mathbb{IL} = \{0\} \) – eine Lösung |
| \( x^2 = \) negative Zahl | \( x^2 = -9 \) | \( \mathbb{IL} = \{\ \} \) – keine Lösung |
Der häufigste Fehler: nur die positive Wurzel angeben. Ein Quadrat ist bei \( +7 \) und bei \( -7 \) gleich 49 – beide gehören zur Lösungsmenge.
Beispiel: erst umstellen, dann Wurzel ziehen
a) \( 3x^2 – 27 = 0 \), \( \mathbb{IG} = \mathbb{IR} \)
\( 3x^2 = 27 \quad |:3 \)
\( x^2 = 9 \)
\( x = \pm 3 \qquad \mathbb{IL} = \{-3;\,3\} \)
b) \( 2x^2 + 18 = 0 \)
\( 2x^2 = -18 \quad |:2 \)
\( x^2 = -9 \qquad \mathbb{IL} = \{\ \} \)
Ein Quadrat ist nie negativ, also gibt es keine Lösung.
c) Mit Sachbezug: Ein Quadrat hat den Flächeninhalt \( 144\ \text{cm}^2 \). Wie lang ist eine Seite?
\( a^2 = 144 \quad \Rightarrow \quad a = \pm 12 \)
Rechnerisch gibt es zwei Lösungen – im Sachkontext nur eine, denn eine Länge ist nie negativ. Die Antwort lautet \( a = 12\ \text{cm} \). Diese Unterscheidung wird in der Prüfung erwartet.
Warum das für M10 wichtig ist
- Das Gleichungssystem brauchst Du, um den Schnittpunkt zweier Geraden zu berechnen.
- Die reinquadratische Gleichung brauchst Du, um Schnittpunkte mit der Normalparabel zu bestimmen.
- Den Definitionsbereich brauchst Du bei allen gebrochenen Zusammenhängen.
Wer diesen Lernbereich sicher beherrscht, hat in der 10. Klasse einen echten Vorsprung.
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Typische Fehler
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So machst Du es richtig
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Die Formeln dieser Seite auf einen Blick
\( \dfrac{6}{x-2} = 3 \)
\( \mathbb{ID} = \mathbb{IR} \setminus \{2\} \)
Schreib Dir diese Formeln heraus. In der Prüfung gibt es schon Punkte für die richtig hingeschriebene Formel – auch dann, wenn sich beim Rechnen ein Fehler einschleicht.
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Grundlage: LehrplanPLUS Bayern, Mittelschule, Jahrgangsstufe 9, Mittlere-Reife-Klasse, Lernbereich 7 „Gleichungen“ (Fachlehrplan Mathematik). Alle Rechenbeispiele sind eigene Aufgaben und maschinell gegengerechnet.