Mathematik · Mittelschule Bayern · Klasse 9 · Regelklasse und M-Zug · Lernbereich 1: Prozent- und Zinsrechnung · LehrplanPLUS
Zinsrechnung: Jahres-, Monats- und Tageszinsen
Geld auf dem Sparbuch bringt Zinsen. Ein Kredit kostet Zinsen. Der Dispo auf dem Girokonto kostet besonders viel. Zinsrechnung ist nichts anderes als Prozentrechnung – mit einer Zeitangabe dazu. Dieses Thema kommt in jeder Abschlussprüfung vor, im Quali wie im mittleren Schulabschluss.
Darum geht es in diesem Lernbereich
- Kapital, Zinsen und Zinssatz
- Jahreszinsen
- Die Grundaufgaben der Zinsrechnung
- Zinseszins
- Die Zeit als Größe der Zinsrechnung
- Monatszinsen
- Tageszinsen
- Vom Monatszins zum Jahreszins
- Der effektive Jahreszins
- Der funktionale Zusammenhang Zeit und Zinsen
- Prozent- und Zinsdiagramme
- Berufs- und Verbraucheraufgaben
Du bist an einer anderen Schulart? Dasselbe Thema gibt es auf dem jeweiligen Niveau auch für Realschule Klasse 7 · Wirtschaftsschule Klasse 8.
Regelklasse oder M-Zug? Dieser Lernbereich ist für beide Züge gleich. Diese Seite gilt für Dich, egal in welcher Klasse Du bist – und sie ist Quali-Stoff.
1. Die Grundformel
Merke: dieselben drei Größen wie bei Prozent, nur mit neuen Namen
| Kapital \( K \) | das angelegte oder geliehene Geld | = Grundwert |
| Zinssatz \( p\ \% \) | wie viel Prozent es pro Jahr bringt | = Prozentsatz |
| Zinsen \( Z \) | der Betrag in Euro | = Prozentwert |
\( Z = K \cdot \dfrac{p}{100} \) (für ein ganzes Jahr)
\( K = \dfrac{Z \cdot 100}{p} \qquad p = \dfrac{Z \cdot 100}{K} \)
Wichtig: Der Zinssatz gilt immer pro Jahr, auch wenn es nicht dabeisteht.
2. Wenn es nicht ein ganzes Jahr ist
Merke: der Zeitanteil
\( Z_{\text{Monate}} = Z_{\text{Jahr}} \cdot \dfrac{m}{12} \)
\( Z_{\text{Tage}} = Z_{\text{Jahr}} \cdot \dfrac{t}{360} \)
In der Zinsrechnung gilt das Bankjahr: 360 Tage, jeder Monat mit 30 Tagen. Das vereinfacht die Rechnung – und ist in der Prüfung so verlangt.
Zwei Schritte, immer in dieser Reihenfolge: erst die Jahreszinsen, dann den Anteil. Wer beides zusammenzieht, verrechnet sich.
Beispiel: ein Sparbuch
Herr Aydin legt 4500 € zu 2,4 % an.
Jahreszinsen: \( Z = 4500\ \text{€} \cdot \dfrac{2{,}4}{100} = 108\ \text{€} \)
für 8 Monate: \( 108\ \text{€} \cdot \dfrac{8}{12} = 72\ \text{€} \)
für 90 Tage: \( 108\ \text{€} \cdot \dfrac{90}{360} = 27\ \text{€} \)
Kontrolle: 90 Tage sind ein Vierteljahr, also muss ein Viertel von 108 € herauskommen. Passt.
Beispiel: die Umkehraufgaben
a) Zinssatz gesucht. 5000 € bringen im Jahr 150 € Zinsen.
\( p = \dfrac{150 \cdot 100}{5000} = 3 \)
Der Zinssatz beträgt 3 %.
b) Kapital gesucht. Bei 1,5 % gibt es im Jahr 90 € Zinsen.
\( K = \dfrac{90 \cdot 100}{1{,}5} = 6000 \)
Angelegt sind 6000 €.
c) Vom Monatszins zum Jahreszins. In 3 Monaten fallen 15 € Zinsen an.
\( 15\ \text{€} \cdot \dfrac{12}{3} = 60\ \text{€} \) pro Jahr
Erst auf das ganze Jahr hochrechnen – danach kannst Du mit der Grundformel weiterarbeiten.
3. Zinseszins
Merke
Bleibt das Geld mehrere Jahre liegen, bekommst Du im zweiten Jahr auch Zinsen auf die Zinsen des ersten Jahres. Das heißt Zinseszins.
\( K_n = K_0 \cdot q^{\,n} \) mit \( q = 1 + \dfrac{p}{100} \)
\( K_0 \) ist das Startkapital, \( n \) die Anzahl der Jahre. Bei 3 % ist \( q = 1{,}03 \) – nicht 3 und nicht 0,03.
Beispiel: vier Jahre anlegen
2000 € werden 4 Jahre lang mit 3 % verzinst, die Zinsen bleiben auf dem Konto.
\( K_4 = 2000\ \text{€} \cdot 1{,}03^{\,4} \approx 2251{,}02\ \text{€} \)
Zum Vergleich ohne Zinseszins: \( 2000\ \text{€} + 4 \cdot 60\ \text{€} = 2240\ \text{€} \).
Der Unterschied von 11,02 € sind genau die Zinsen auf die Zinsen. Über 20 oder 30 Jahre wird daraus ein sehr großer Betrag – das ist der Grund, warum sich frühes Sparen lohnt und warum Schulden so schnell wachsen.
4. Der effektive Jahreszins
Beispiel: was ein Kredit wirklich kostet
Ein Kredit über 1000 € wird nach einem Jahr mit 1080 € zurückgezahlt. Wie hoch ist der effektive Jahreszins?
\( Z = 1080\ \text{€} – 1000\ \text{€} = 80\ \text{€} \)
\( p = \dfrac{80 \cdot 100}{1000} = 8 \)
Antwort: Der effektive Jahreszins beträgt 8 %.
Der effektive Jahreszins enthält alle Kosten – auch Gebühren. Deshalb ist er beim Vergleich von Angeboten die einzige Zahl, auf die es ankommt. Bei einem „Null-Prozent-Angebot“ mit 39 € Bearbeitungsgebühr ist er eben nicht null.
Worauf Du als Verbraucher achten solltest
Ein Dispokredit kostet oft 10 % und mehr im Jahr. Bei 500 € Dispo über ein halbes Jahr sind das \( 500 \cdot 0{,}10 \cdot \frac{6}{12} = 25\ \text{€} \) – für nichts. Ratenzahlung beim Onlinekauf funktioniert genauso: Was „nur 9,90 € im Monat“ heißt, ist am Ende oft deutlich teurer als der Barpreis. Rechne es aus, bevor Du unterschreibst.
5. Zeit und Zinsen als Zusammenhang
Merke
Ohne Zinseszins sind Zeit und Zinsen proportional: doppelte Laufzeit bedeutet doppelte Zinsen. Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung – bei null Monaten gibt es null Zinsen.
Mit Zinseszins ist das anders: Dann wächst das Kapital von Jahr zu Jahr schneller, der Graph biegt nach oben. Diesen Unterschied solltest Du benennen können – er wird in Teil A gern gefragt.
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Typische Fehler
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So machst Du es richtig
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Die Formeln dieser Seite auf einen Blick
\( Z = K \cdot \dfrac{p}{100} \)
\( K = \dfrac{Z \cdot 100}{p} \)
\( p = \dfrac{Z \cdot 100}{K} \)
\( K_n = K_0 \cdot q^{\,n} \)
\( q = 1 + \dfrac{p}{100} \)
Schreib Dir diese Formeln heraus. In der Prüfung gibt es schon Punkte für die richtig hingeschriebene Formel – auch dann, wenn sich beim Rechnen ein Fehler einschleicht.
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Erzeuge Dir zu diesem Thema beliebig viele Übungsaufgaben mit vollständigem Lösungsweg – passend zur Mittelschule Bayern und Deiner Klasse.
Grundlage: LehrplanPLUS Bayern, Mittelschule, Jahrgangsstufe 9, Lernbereich 1 „Prozent- und Zinsrechnung“ (Fachlehrplan Mathematik, Regelklasse und Mittlere-Reife-Klasse). Alle Rechenbeispiele sind eigene Aufgaben und maschinell gegengerechnet.