Mathematik · Mittelschule Bayern · Klasse 8 · Regelklasse und M-Zug · Lernbereich 6: Zufallsexperimente · LehrplanPLUS
Zufallsexperimente: relative Häufigkeit und das Gesetz der großen Zahl
Warum gewinnt die Bank auf Dauer immer? Warum sagt eine Wettervorhersage „30 % Regenwahrscheinlichkeit“? In diesem Lernbereich lernst Du den Unterschied zwischen dem, was Du erwartest, und dem, was beim Ausprobieren tatsächlich herauskommt – und warum sich beides bei vielen Versuchen annähert.
Darum geht es in diesem Lernbereich
Du bist an einer anderen Schulart? Dasselbe Thema gibt es auf dem jeweiligen Niveau auch für Realschule Klasse 8 · Wirtschaftsschule Klasse 6.
Regelklasse oder M-Zug? Dieser Lernbereich ist für beide Züge gleich. Diese Seite gilt für Dich, egal in welcher Klasse Du bist.
1. Was ein Zufallsexperiment ist
Merke
Ein Zufallsexperiment erfüllt drei Bedingungen:
- Es lässt sich beliebig oft wiederholen.
- Alle möglichen Ergebnisse sind vorher bekannt.
- Welches Ergebnis eintritt, ist nicht vorhersagbar.
Würfeln, Münzwurf, Glücksrad, Ziehen aus einer Urne – alles Zufallsexperimente. Das Ergebnis eines Fußballspiels dagegen nicht: Es lässt sich nicht unter gleichen Bedingungen wiederholen.
Merke: das Laplace-Experiment
Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, spricht man von einem Laplace-Experiment. Dann gilt:
\( P(E) = \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}} \)
Ein fairer Würfel ist ein Laplace-Experiment, ein gezinkter nicht. Ein Glücksrad mit gleich großen Feldern ist eines, mit unterschiedlich großen nicht.
2. Relative Häufigkeit
Merke: der Unterschied zur absoluten Häufigkeit
Die absolute Häufigkeit ist die reine Anzahl. Die relative Häufigkeit setzt sie ins Verhältnis zur Gesamtzahl der Versuche:
relative Häufigkeit \( = \dfrac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Anzahl der Versuche}} \)
Sie liegt immer zwischen 0 und 1 und lässt sich als Bruch, Dezimalzahl oder Prozentwert angeben. Nur so kannst Du Versuchsreihen unterschiedlicher Länge vergleichen.
Beispiel: zwei Versuchsreihen vergleichen
Klasse A wirft eine Reiszwecke 200-mal, sie landet 37-mal auf dem Kopf. Klasse B wirft 50-mal, davon 12-mal Kopf. Welche Klasse hatte den höheren Anteil?
Klasse A: \( \dfrac{37}{200} = 0{,}185 = 18{,}5\ \% \)
Klasse B: \( \dfrac{12}{50} = 0{,}24 = 24\ \% \)
Antwort: Klasse B hatte den höheren Anteil – obwohl sie weniger Treffer hatte. Genau dafür braucht man die relative Häufigkeit. Der Wert von Klasse A ist allerdings verlässlicher, weil er auf viermal so vielen Versuchen beruht.
3. Das Gesetz der großen Zahl
Merke
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark. Bei vielen Versuchen pendelt sie sich immer näher am theoretischen Wert ein. Das ist das Gesetz der großen Zahl.
Beim Würfeln ist \( P(6) = \frac{1}{6} \approx 0{,}167 \). Nach 10 Würfen kann alles Mögliche herauskommen; nach 1000 Würfen liegt der Anteil fast sicher nahe bei 16,7 %.
Aber Achtung: Der Würfel hat kein Gedächtnis. Wenn fünfmal keine 6 kam, ist sie beim nächsten Wurf nicht wahrscheinlicher. Diese Fehlannahme kostet Menschen im Spielsalon viel Geld.
Beispiel: Erwartung und Wirklichkeit
Ein Würfel wird 600-mal geworfen. Wie viele Sechsen sind zu erwarten?
\( 600 \cdot \dfrac{1}{6} = 100 \)
Antwort: Etwa 100 Sechsen. Werden es 94 oder 108, ist das völlig normal. Kämen 300 Sechsen heraus, wäre der Würfel mit großer Sicherheit gezinkt.
Der erwartete Wert ist also eine Prognose, keine Garantie.
4. Gewinnchancen einschätzen
Beispiel: Glücksrad auf dem Schulfest
Ein Glücksrad hat 8 gleich große Felder, 3 davon sind rot (Gewinn).
\( P(\text{Gewinn}) = \dfrac{3}{8} = 0{,}375 = 37{,}5\ \% \)
\( P(\text{kein Gewinn}) = 1 – 0{,}375 = 0{,}625 = 62{,}5\ \% \)
Bei 200 Drehungen sind rund \( 200 \cdot 0{,}375 = 75 \) Gewinne zu erwarten.
Kostet eine Drehung 1 € und der Preis hat einen Wert von 2 €, nimmt der Stand 200 € ein und gibt Preise im Wert von 150 € aus. Genau so rechnen Betreiber von Glücksspielen – nur mit deutlich größerem Abstand.
Beispiel: Bedingungen vergleichen
In Urne A liegen 3 rote und 5 blaue Kugeln, in Urne B 6 rote und 10 blaue. Bei welcher Urne ist die Chance auf Rot größer?
Urne A: \( \dfrac{3}{8} = 0{,}375 \qquad \) Urne B: \( \dfrac{6}{16} = \dfrac{3}{8} = 0{,}375 \)
Antwort: Die Chance ist bei beiden gleich groß. Nicht die Anzahl entscheidet, sondern das Verhältnis – Urne B enthält einfach von allem doppelt so viel.
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Typische Fehler
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So machst Du es richtig
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Die Formeln dieser Seite auf einen Blick
\( P(E) = \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}} \)
Schreib Dir diese Formeln heraus. In der Prüfung gibt es schon Punkte für die richtig hingeschriebene Formel – auch dann, wenn sich beim Rechnen ein Fehler einschleicht.
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Grundlage: LehrplanPLUS Bayern, Mittelschule, Jahrgangsstufe 8, Lernbereich 6 „Zufallsexperimente“ (Fachlehrplan Mathematik, Regelklasse und Mittlere-Reife-Klasse). Alle Rechenbeispiele sind eigene Aufgaben und maschinell gegengerechnet.