Mathematik · Mittelschule Bayern · Klasse 8 · Regelklasse und M-Zug · Lernbereich 7: Gleichungen · LehrplanPLUS
Gleichungen mit Klammern und rationalen Zahlen lösen
In Klasse 7 hast Du die Äquivalenzumformung gelernt. Jetzt wird es anspruchsvoller: Klammern, negative Zahlen, Kommazahlen und Brüche in einer Gleichung – und die Variable steht auf beiden Seiten. Das Verfahren bleibt dasselbe, nur die Sorgfalt muss größer werden.
Darum geht es in diesem Lernbereich
- Gleichungen aus Alltagssituationen
- Terme mit rationalen Zahlen
- Klammerregeln
- Punkt vor Strich
- Rechengesetze anwenden
- Termwerte
- Gleichungen mit Klammern
- Die Variable auf beiden Seiten
- Äquivalenzumformungen
- Die Probe
- Fehleranalyse bei Gleichungen
- Rückwärts von der Lösung zur Ausgangsgleichung
- Terme mit mehreren Variablen · Bruch- und Dezimaldarstellung wechseln (nur M-Zug)
Du bist an einer anderen Schulart? Dasselbe Thema gibt es auf dem jeweiligen Niveau auch für Realschule Klasse 7 · Wirtschaftsschule Klasse 7.
Regelklasse oder M-Zug? Der Grundstoff ist für beide Züge gleich. Der M-Zug hat einen Abschnitt zusätzlich – er ist unten deutlich gekennzeichnet.
1. Die Klammerregeln
Merke: was vor der Klammer steht, entscheidet
| Plus vor der Klammer | \( a + (b – c) = a + b – c \) | Vorzeichen bleiben |
| Minus vor der Klammer | \( a – (b – c) = a – b + c \) | alle Vorzeichen drehen |
| Zahl vor der Klammer | \( a \cdot (b + c) = ab + ac \) | jedes Glied multiplizieren |
Der teuerste Fehler: Bei Minus vor der Klammer wird nur das erste Vorzeichen gedreht. \( 10 – (3 – 5) \) ist \( 10 – 3 + 5 = 12 \), nicht \( 10 – 3 – 5 = 2 \).
Beispiel: Terme vereinfachen
\( 2 \cdot (x + 3) – 3 \cdot (x – 1) = 2x + 6 – 3x + 3 = -x + 9 \)
\( 5a – (2a – 7) = 5a – 2a + 7 = 3a + 7 \)
Geh Klammer für Klammer vor und schreib jede Zwischenzeile auf. Wer zwei Schritte im Kopf macht, verliert ein Vorzeichen.
2. Gleichungen systematisch lösen
Merke: die feste Reihenfolge
- Klammern auflösen – auf beiden Seiten.
- Auf jeder Seite zusammenfassen.
- Alle \( x \) auf eine Seite bringen (am besten dorthin, wo mehr stehen).
- Alle Zahlen auf die andere Seite.
- Durch die Zahl vor \( x \) teilen.
- Probe mit der ursprünglichen Gleichung.
Jede Umformung wird rechts mit einem Strich notiert: \( |-2x \) oder \( |:3 \). Dafür gibt es in der Prüfung Punkte, auch wenn das Endergebnis nicht stimmt.
Beispiel: Gleichung mit zwei Klammern
Löse \( 2 \cdot (x + 3) – 3 \cdot (x – 1) = 4 \).
| \( 2(x+3) – 3(x-1) = 4 \) | Klammern auflösen |
| \( 2x + 6 – 3x + 3 = 4 \) | zusammenfassen |
| \( -x + 9 = 4 \) | \( |-9 \) |
| \( -x = -5 \) | \( |\cdot(-1) \) |
| \( x = 5 \) |
Probe: \( 2 \cdot 8 – 3 \cdot 4 = 16 – 12 = 4 \) – stimmt.
Beachte den vorletzten Schritt: Aus \( -x = -5 \) folgt \( x = 5 \). Vor dem \( x \) steht hier die Zahl \( -1 \), also wird durch \( -1 \) geteilt.
Beispiel: Variable auf beiden Seiten, mit Kommazahlen
| \( 4x – 7 = 2x + 9 \) | \( |-2x \) |
| \( 2x – 7 = 9 \) | \( |+7 \) |
| \( 2x = 16 \) | \( |:2 \) |
| \( x = 8 \) |
Probe: links \( 4 \cdot 8 – 7 = 25 \), rechts \( 2 \cdot 8 + 9 = 25 \) – stimmt.
Und mit Kommazahlen genauso:
\( 0{,}5x + 1{,}2 = 3{,}7 \quad |-1{,}2 \)
\( 0{,}5x = 2{,}5 \quad |:0{,}5 \)
\( x = 5 \)
3. Gleichungen aus Alltagssituationen
Beispiel: zwei Angebote vergleichen
Ein Fitnessstudio verlangt 25 € Anmeldegebühr und 19 € im Monat. Ein zweites verlangt keine Anmeldegebühr, aber 24 € im Monat. Nach wie vielen Monaten kosten beide gleich viel?
Monate \( = m \):
\( 19m + 25 = 24m \quad |-19m \)
\( 25 = 5m \quad |:5 \quad \Rightarrow \quad m = 5 \)
Antwort: Nach 5 Monaten kosten beide gleich viel, nämlich \( 24 \cdot 5 = 120\ \text{€} \).
Und was heißt das? Wer länger als 5 Monate bleibt, fährt mit dem ersten Studio billiger – trotz Anmeldegebühr. Genau solche Vergleiche sind der Sinn dieser Aufgaben.
4. Fehler finden und rückwärts bauen
Beispiel: Wo steckt der Fehler?
| \( 8 – (3x – 5) = 1 \) | Klammer auflösen |
| \( 8 – 3x – 5 = 1 \) | hier ist der Fehler |
Begründung: Vor der Klammer steht ein Minus, also müssen beide Vorzeichen gedreht werden. Richtig ist \( 8 – 3x + 5 = 1 \).
Richtig zu Ende gerechnet:
\( 13 – 3x = 1 \quad |-13 \)
\( -3x = -12 \quad |:(-3) \)
\( x = 4 \)
Probe: \( 8 – (3 \cdot 4 – 5) = 8 – 7 = 1 \) – stimmt.
Beispiel: von der Lösung zur Gleichung
Baue eine Gleichung, die die Lösung \( x = 3 \) hat. Du gehst einfach rückwärts und machst auf beiden Seiten dasselbe:
| \( x = 3 \) | \( |\cdot 4 \) |
| \( 4x = 12 \) | \( |+5 \) |
| \( 4x + 5 = 17 \) | \( |+x \) |
| \( 5x + 5 = 17 + x \) |
Probe: links \( 5 \cdot 3 + 5 = 20 \), rechts \( 17 + 3 = 20 \) – stimmt. So verstehst Du, wie Aufgaben gebaut sind – und löst sie danach schneller.
Nur für den M-Zug: mehrere Variablen und Darstellungswechsel
Dieser Abschnitt gehört zum Lehrplan der Mittlere-Reife-Klasse M8. In der Regelklasse wird er nicht verlangt.
Beispiel: Terme mit mehreren Variablen
Zusammenfassen darfst Du nur, was dieselbe Variable hat:
\( 3a – 2b + 5a + 7b = 8a + 5b \)
\( 4 \cdot (2x + 3y) – 2 \cdot (x – y) = 8x + 12y – 2x + 2y = 6x + 14y \)
Anwendung: Ein Rechteck hat die Seiten \( a \) und \( b \). Sein Umfang ist \( u = 2a + 2b \). Wird \( a \) verdoppelt, ergibt sich \( u = 2 \cdot 2a + 2b = 4a + 2b \) – der Umfang wächst, aber nicht auf das Doppelte.
Termwert berechnen: Für \( a = 3 \) und \( b = 5 \) ist \( 8a + 5b = 24 + 25 = 49 \).
Beispiel: zwischen Bruch und Dezimalzahl wechseln
In einer Gleichung darfst Du jederzeit die Darstellung wechseln – nimm die, mit der Du schneller rechnest.
\( \dfrac{1}{2}x + 0{,}25 = 1{,}5 \)
Alles in Dezimalschreibweise:
\( 0{,}5x + 0{,}25 = 1{,}5 \quad |-0{,}25 \)
\( 0{,}5x = 1{,}25 \quad |:0{,}5 \)
\( x = 2{,}5 \)
Probe: \( 0{,}5 \cdot 2{,}5 + 0{,}25 = 1{,}25 + 0{,}25 = 1{,}5 \) – stimmt.
Faustregel: Bei Nennern wie 2, 4, 5, 10 ist die Dezimalform meist bequemer. Bei Nennern wie 3, 6, 7 bleibst Du besser beim Bruch – \( \frac{1}{3} \) lässt sich nicht exakt als Dezimalzahl schreiben.
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Typische Fehler
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So machst Du es richtig
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Die Formeln dieser Seite auf einen Blick
\( a + (b – c) = a + b – c \)
\( a – (b – c) = a – b + c \)
\( a \cdot (b + c) = ab + ac \)
Schreib Dir diese Formeln heraus. In der Prüfung gibt es schon Punkte für die richtig hingeschriebene Formel – auch dann, wenn sich beim Rechnen ein Fehler einschleicht.
✏️ Jetzt selbst üben – im Aufgabengenerator
Erzeuge Dir zu diesem Thema beliebig viele Übungsaufgaben mit vollständigem Lösungsweg – passend zur Mittelschule Bayern und Deiner Klasse.
Grundlage: LehrplanPLUS Bayern, Mittelschule, Jahrgangsstufe 8, Lernbereich 7 „Gleichungen“ (Fachlehrplan Mathematik, Regelklasse und Mittlere-Reife-Klasse). Alle Rechenbeispiele sind eigene Aufgaben und maschinell gegengerechnet.