Mathematik Realschule Bayern · Klasse 8 · Lernbereich 7 „Daten und Zufall“ (LehrplanPLUS) · BY
Daten und Zufall: Zufallsexperimente und Häufigkeiten
Wenn du einen Würfel wirfst, ein Los ziehst oder im Holzwerk Brandl ein zufällig ausgewähltes Brett aus einer Charge prüfst, kennst du das Ergebnis vorher nicht. Trotzdem kannst du über solche Zufallsexperimente mathematisch sprechen: Du kannst alle möglichen Ergebnisse auflisten, du kannst zählen, wie oft ein bestimmtes Ereignis tatsächlich eintritt, und du kannst aus vielen Durchführungen sogar eine Einschätzung gewinnen, wie wahrscheinlich etwas ist. Genau darum geht es auf dieser Seite.
Diese Seite gilt unverändert für Mathematik I und Mathematik II/III. Die Kompetenzerwartung ist im LehrplanPLUS für beide Ausrichtungen wortgleich, auch die Stundenzahl ist mit 8 Std. identisch:
„Stellen die möglichen Ergebnisse von Zufallsexperimenten (z. B. mit Baumdiagrammen, Vierfeldertafeln) dar und verwenden dabei sachgerecht die Begriffe Ergebnis und Ereignis. Ermitteln absolute und relative Häufigkeiten von Ereignissen bei Zufallsexperimenten (z. B. zum Einschätzen von Gewinnchancen).“
Wozu brauchst du das?
Jede Qualitätskontrolle beruht darauf: Wie viele Bretter einer Charge sind fehlerhaft, und lohnt sich ein Blick auf den Lieferanten? Jede Kundenzufriedenheitsumfrage wertet Häufigkeiten aus, um zu sagen, wie gut ein Betrieb ankommt. Wetterdienste, Versicherungen und Meinungsforscher schätzen auf dieselbe Weise Wahrscheinlichkeiten: aus vielen beobachteten Fällen. Und jedes Mal, wenn du selbst würfelst oder ein Glücksrad drehst, nutzt du unbewusst genau die Begriffe, die du hier lernst.
Inhalt dieser Seite
- Zufallsexperiment und Ergebnismenge
- Absolute und relative Häufigkeit
- Häufigkeit als Schätzung für Wahrscheinlichkeit
- Einstufige Zufallsexperimente und erste Baumdiagramme
- Das Wichtigste in Kürze
1. Zufallsexperiment und Ergebnismenge
Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, dessen Ausgang du nicht sicher vorhersagen kannst, den du aber unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholen könntest – das Werfen eines Würfels, das Ziehen einer Kundenkarte, das Prüfen eines zufällig entnommenen Brettes. Jeder mögliche Ausgang heißt Ergebnis. Die Menge aller möglichen Ergebnisse nennst du Ergebnismenge und schreibst sie meist als \( \Omega \) (sprich: Omega).
Fasst du mehrere Ergebnisse zu einer Aussage zusammen, erhältst du ein Ereignis. Ein Ereignis ist also eine Teilmenge der Ergebnismenge.
Beispiel – Würfeln
Du wirfst einen normalen Spielwürfel und betrachtest die Augenzahl. Jede der sechs Zahlen ist ein Ergebnis, deshalb ist die Ergebnismenge
Das Ereignis „A: gerade Augenzahl“ fasst die Ergebnisse 2, 4 und 6 zusammen:
Grün umrandet: die drei Ergebnisse, die zum Ereignis A gehören.
Merke: Die Ergebnismenge \( \Omega \) enthält alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments, jedes davon genau einmal. Ein Ereignis ist eine Teilmenge von \( \Omega \) – es tritt ein, wenn eines der Ergebnisse eintritt, die zu ihm gehören.
2. Absolute und relative Häufigkeit
Führst du ein Zufallsexperiment mehrfach durch, kannst du zählen, wie oft ein Ereignis tatsächlich eingetreten ist. Diese reine Anzahl heißt absolute Häufigkeit \( H \). Sie sagt allein aber noch wenig aus – 14 fehlerhafte Bretter sind bei 200 geprüften Brettern etwas ganz anderes als bei 20 geprüften Brettern. Deshalb bildest du zusätzlich die relative Häufigkeit \( h \): den Anteil des Ereignisses an allen Durchführungen.
Dabei ist \( n \) die Gesamtzahl der Durchführungen. Die relative Häufigkeit gibst du als Bruch und als Dezimalzahl bzw. Prozentzahl an – erst das macht verschieden große Stichproben vergleichbar.
Beispiel 1 – Qualitätskontrolle im Holzwerk Brandl
Am Montag prüft das Holzwerk Brandl eine Charge von 200 Brettern. 14 davon sind fehlerhaft (Ausschuss).
| Anzahl Durchführungen | \( n = 200 \) |
| absolute Häufigkeit (Ausschuss) | \( H(\text{Ausschuss}) = 14 \) |
| relative Häufigkeit | \( h(\text{Ausschuss}) = \dfrac{14}{200} = \dfrac{7}{100} \) |
| als Dezimalzahl / Prozent | \( 0{,}07 = 7\ \% \) |
Probe: \( 14 : 200 = 0{,}07 \) ✓ und \( 0{,}07 \cdot 100\ \% = 7\ \% \) ✓. Auch das Gegenereignis „in Ordnung“ lässt sich sofort angeben: \( H(\text{i.\,O.}) = 200 – 14 = 186 \), also \( h(\text{i.\,O.}) = \dfrac{186}{200} = 0{,}93 = 93\ \% \). Zur Kontrolle: \( 7\ \% + 93\ \% = 100\ \% \) ✓ – die relativen Häufigkeiten aller Ergebnisse ergeben immer zusammen 100 %.
Beispiel 2 – erst die relative Häufigkeit macht den Vergleich fair
Am Dienstag prüft das Holzwerk eine größere Charge von 300 Brettern, davon sind 18 fehlerhaft. War der Dienstag besser oder schlechter als der Montag?
| Montag | \( H = 14,\; n = 200 \;\Rightarrow\; h = \dfrac{14}{200} = 0{,}07 = 7\ \% \) |
| Dienstag | \( H = 18,\; n = 300 \;\Rightarrow\; h = \dfrac{18}{300} = \dfrac{6}{100} = 0{,}06 = 6\ \% \) |
Am Dienstag wurden zwar mehr Bretter aussortiert (18 statt 14), aber bezogen auf die geprüfte Menge war der Ausschussanteil kleiner (6 % statt 7 %). Ein Vergleich der absoluten Häufigkeiten allein hätte in die Irre geführt – nur die relative Häufigkeit macht Tage mit unterschiedlich vielen Prüfungen vergleichbar.
Beispiel 3 – relative Häufigkeiten als Balkendiagramm
Das Holzwerk befragt 80 Kunden zu ihrer Zufriedenheit: 44 sind sehr zufrieden, 28 zufrieden, 8 unzufrieden.
| sehr zufrieden | \( H = 44 \;\Rightarrow\; h = \dfrac{44}{80} = 0{,}55 = 55\ \% \) |
| zufrieden | \( H = 28 \;\Rightarrow\; h = \dfrac{28}{80} = 0{,}35 = 35\ \% \) |
| unzufrieden | \( H = 8 \;\Rightarrow\; h = \dfrac{8}{80} = 0{,}10 = 10\ \% \) |
| Kontrollsumme | \( 55\ \% + 35\ \% + 10\ \% = 100\ \% \) |
Merke: Die absolute Häufigkeit \( H \) zählt, wie oft ein Ereignis eintritt. Die relative Häufigkeit \( h(A) = \dfrac{H(A)}{n} \) gibt den Anteil an allen \( n \) Durchführungen an – als Bruch, als Dezimalzahl und als Prozentzahl. Nur sie erlaubt einen fairen Vergleich bei unterschiedlich großen \( n \), und die relativen Häufigkeiten aller Ergebnisse summieren sich stets zu \( 1 \) bzw. \( 100\ \% \).
3. Häufigkeit als Schätzung für Wahrscheinlichkeit
Wirfst du einen Würfel nur zehnmal, kann die relative Häufigkeit einer Sechs stark vom „erwarteten“ Wert abweichen – reiner Zufall. Wirfst du aber sehr oft, passiert etwas Bemerkenswertes: Die relative Häufigkeit schwankt immer weniger und nähert sich einem festen Wert an. Diese Beobachtung nennt man – noch ganz einfach beschrieben, ohne Formel – das empirische Gesetz der großen Zahlen. Je mehr Versuche du durchführst, desto besser eignet sich die relative Häufigkeit als Schätzung dafür, wie wahrscheinlich ein Ereignis ist.
Beispiel – wie oft fällt eine Sechs?
Eine Schulklasse wirft einen Würfel zunächst 10-mal, dann insgesamt 50-mal, dann insgesamt 200-mal und schließlich insgesamt 1000-mal und notiert jedes Mal, wie oft die Sechs bisher gefallen ist.
| Anzahl Würfe \( n \) | absolute Häufigkeit \( H \) | relative Häufigkeit \( h = H:n \) |
| 10 | 2 | \( 2 : 10 = 0{,}20 = 20{,}0\ \% \) |
| 50 | 9 | \( 9 : 50 = 0{,}18 = 18{,}0\ \% \) |
| 200 | 32 | \( 32 : 200 = 0{,}16 = 16{,}0\ \% \) |
| 1000 | 166 | \( 166 : 1000 = 0{,}166 = 16{,}6\ \% \) |
Die Balken nähern sich der grün gestrichelten Linie bei etwa 16,7 % – das entspricht \( \tfrac{1}{6} \), weil eine von sechs Augenzahlen die Sechs ist.
Wichtig: Es handelt sich nicht um sechs verschiedene Würfe, sondern um eine fortlaufende Versuchsreihe – nach 1000 Würfen sind die Ergebnisse der ersten 10 Würfe mit eingerechnet. Genau deshalb wird die Schwankung mit wachsendem \( n \) immer kleiner.
Merke: Je größer die Anzahl \( n \) der Durchführungen eines Zufallsexperiments, desto stabiler wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses. Sie nähert sich einem festen Wert an, den du dann als Schätzung für die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses verwenden kannst. Bei einer kleinen Versuchsanzahl darfst du aus der relativen Häufigkeit dagegen noch keine verlässliche Aussage ableiten.
4. Einstufige Zufallsexperimente und erste Baumdiagramme
Ein Zufallsexperiment, bei dem du nur eine Handlung durchführst – ein Wurf, eine Ziehung, eine Prüfung – heißt einstufiges Zufallsexperiment. Alle bisherigen Beispiele auf dieser Seite waren einstufig. Um die möglichen Ergebnisse übersichtlich darzustellen, kannst du neben der Mengenschreibweise auch ein Baumdiagramm zeichnen: Von einem Startpunkt aus führt für jedes mögliche Ergebnis genau ein Ast nach außen. An die Äste schreibst du die absolute (oder relative) Häufigkeit, mit der dieses Ergebnis tatsächlich aufgetreten ist.
Ein einstufiges Baumdiagramm hat also nur eine Verzweigungsebene. Erst in Klasse 10 lernst du mehrstufige Baumdiagramme kennen, bei denen mehrere solcher Stufen hintereinander folgen und an den Ästen Wahrscheinlichkeiten stehen, die du mit den Pfadregeln verrechnest. Hier geht es nur darum, dir das Werkzeug „Baumdiagramm“ als Darstellungsform der Ergebnismenge vertraut zu machen.
Beispiel – die Charge vom Montag als Baumdiagramm
Greife das Beispiel aus Kapitel 2 wieder auf: Von 200 geprüften Brettern waren 186 in Ordnung und 14 Ausschuss. Die Ergebnismenge dieses einstufigen Zufallsexperiments ist \( \Omega = \{\text{i.\,O.};\, \text{Ausschuss}\} \), im Baumdiagramm entsprechen die zwei Äste genau diesen zwei Ergebnissen.
An den Ästen stehen hier bewusst Häufigkeiten, keine Wahrscheinlichkeiten – die kommen erst in Klasse 9 dazu.
Probe: Die Summe der Häufigkeiten an allen Ästen einer Stufe ergibt wieder \( n \): \( 186 + 14 = 200 \) ✓, und die Summe der relativen Häufigkeiten ergibt \( 100\ \% \): \( 93\ \% + 7\ \% = 100\ \% \) ✓. Genauso ließe sich ein Baumdiagramm mit drei Ästen für die Kundenzufriedenheitsumfrage aus Kapitel 2 zeichnen („sehr zufrieden“, „zufrieden“, „unzufrieden“) – die Anzahl der Äste entspricht immer der Anzahl der Ergebnisse in \( \Omega \).
Merke: Ein einstufiges Zufallsexperiment besteht aus nur einer Durchführung. Im zugehörigen Baumdiagramm entspricht jeder Ast genau einem Ergebnis aus \( \Omega \); an die Äste schreibst du absolute oder relative Häufigkeiten. Die Summe aller Astbeschriftungen einer Stufe ergibt \( n \) bzw. \( 100\ \% \). Mehrere Stufen hintereinander und Wahrscheinlichkeiten an den Ästen folgen erst in Klasse 10.
5. Das Wichtigste in Kürze
Merke – die fünf Kernpunkte dieser Seite:
- Die Ergebnismenge \( \Omega \) enthält alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments; ein Ereignis ist eine Teilmenge davon.
- Die absolute Häufigkeit \( H \) zählt, die relative Häufigkeit \( h(A) = \dfrac{H(A)}{n} \) gibt den Anteil an – als Bruch, Dezimalzahl und Prozentzahl, und nur sie macht unterschiedlich große Versuchsreihen vergleichbar.
- Mit wachsendem \( n \) stabilisiert sich die relative Häufigkeit; du darfst sie dann als Schätzung für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses verwenden (empirisches Gesetz der großen Zahlen).
- In einem einstufigen Zufallsexperiment entspricht jeder Ast eines Baumdiagramms genau einem Ergebnis; die Astbeschriftungen einer Stufe summieren sich zu \( n \) bzw. \( 100\ \% \).
- Rechne jede relative Häufigkeit stets nach: \( H : n \), und prüfe, ob sich alle relativen Häufigkeiten eines Experiments zu \( 100\ \% \) aufsummieren.
6. So fragt die Abschlussprüfung
Häufigkeiten kommen in Prüfungsaufgaben fast immer als Tabelle aus einer Stichprobe: Du sollst relative Häufigkeiten berechnen, zwei Versuchsreihen vergleichen oder aus einer Stichprobe auf eine größere Menge hochrechnen. Drei typische Aufgabenformen aus der Qualitätskontrolle des Holzwerks Brandl:
Aufgabe 1 – Stichprobe auswerten und hochrechnen. Lena prüft in der Endkontrolle eine Stichprobe von \( n = 250 \) Regalbrettern. Bei 15 Brettern findet sie ein Astloch. a) Wie groß ist die relative Häufigkeit? b) Wie viele Bretter mit Astloch sind in einer Tagesproduktion von 1200 Brettern zu erwarten?
| Ansatz | \( h(A) = \dfrac{H(A)}{n} \) |
| einsetzen | \( h(A) = \dfrac{15}{250} = \dfrac{3}{50} \) |
| a) relative Häufigkeit | \( h(A) = 0{,}06 = 6\ \% \) |
| b) hochrechnen | \( 0{,}06 \cdot 1200 = 72 \) |
Gegenprobe: Rückwärts gerechnet ergibt \( 0{,}06 \cdot 250 = 15 \) ✓ und \( 72 : 1200 = 0{,}06 \) ✓. Größenordnung geprüft: 1200 ist knapp das Fünffache von 250, und 72 ist knapp das Fünffache von 15 ✓. Antwort: Die relative Häufigkeit beträgt 6 %. In einer Tagesproduktion von 1200 Brettern sind rund 72 Bretter mit Astloch zu erwarten. Wichtig für den Antwortsatz: „zu erwarten“ – es ist eine Schätzung aus der Stichprobe, keine sichere Zahl.
Aufgabe 2 – zwei Versuchsreihen vergleichen. Zwei Zuschnittmaschinen werden überprüft. Bei Maschine A sind von 500 geprüften Zuschnitten 40 fehlerhaft, bei Maschine B von 300 geprüften Zuschnitten 27. Jonas sagt: „Maschine A ist schlechter, sie hatte mehr Fehler.“ Hat er recht?
| Maschine | geprüft \( n \) | fehlerhaft \( H \) | relative Häufigkeit \( h = H : n \) |
|---|---|---|---|
| A | 500 | 40 | \( 40 : 500 = 0{,}08 = 8\ \% \) |
| B | 300 | 27 | \( 27 : 300 = 0{,}09 = 9\ \% \) |
Gegenprobe: \( 0{,}08 \cdot 500 = 40 \) ✓ und \( 0{,}09 \cdot 300 = 27 \) ✓. Antwort: Nein, Jonas hat nicht recht. Maschine A hat zwar die größere absolute Häufigkeit (40 gegen 27), aber die kleinere relative Häufigkeit (8 % gegen 9 %). Weil bei A viel mehr Zuschnitte geprüft wurden, sind nur die relativen Häufigkeiten vergleichbar – und danach arbeitet Maschine B ungenauer. Genau dieser Vergleich ist der Kern solcher Prüfungsaufgaben: Die absolute Zahl allein sagt nichts.
Aufgabe 3 – Ergebnismenge, Ereignis und Häufigkeit. Merve beurteilt bei einer Warenprobe die Oberfläche von \( n = 200 \) Tischplatten. Sie verwendet die Kategorien \( \Omega = \{\text{einwandfrei};\ \text{leichte Kratzer};\ \text{Astloch};\ \text{Ausschuss}\} \) und zählt: 152 einwandfrei, 24 mit leichten Kratzern, 16 mit Astloch, 8 Ausschuss. Das Ereignis \( E \) „Platte ist nachbearbeitbar“ umfasst die Kategorien „leichte Kratzer“ und „Astloch“. Bestimme \( H(E) \) und \( h(E) \).
| Ereignis als Teilmenge | \( E = \{\text{leichte Kratzer};\ \text{Astloch}\} \subseteq \Omega \) |
| absolute Häufigkeiten addieren | \( H(E) = 24 + 16 = 40 \) |
| relative Häufigkeit | \( h(E) = \dfrac{40}{200} = 0{,}20 = 20\ \% \) |
Gegenprobe: Die Kategorien müssen die gesamte Stichprobe erfassen: \( 152 + 24 + 16 + 8 = 200 \) ✓. Und die relativen Häufigkeiten aller vier Kategorien müssen zusammen 1 ergeben: \( 0{,}76 + 0{,}12 + 0{,}08 + 0{,}04 = 1{,}00 \) ✓. Antwort: 40 Platten sind nachbearbeitbar, das entspricht einer relativen Häufigkeit von 0,20 bzw. 20 %. Ein Ereignis fasst also mehrere Ergebnisse zusammen – deshalb werden zuerst die absoluten Häufigkeiten addiert und erst danach durch \( n \) geteilt.
7. Typische Fehler – und wie du die Punkte rettest
- Versuchsreihen über die absolute Häufigkeit verglichen. Ursache: Die größere Zahl fehlerhafter Stücke wirkt automatisch schlechter, obwohl unterschiedlich viele Stücke geprüft wurden. Vermeidung: Sobald zwei Reihen unterschiedliche \( n \) haben, rechne beide auf die relative Häufigkeit um und vergleiche erst dann. Schreibe \( n \) in der Antwort ausdrücklich mit dazu.
- Bruch verdreht: \( n : H \) statt \( H : n \). Ursache: Beim Eintippen in den Rechner wird die größere Zahl zuerst genommen. Vermeidung: Die relative Häufigkeit ist ein Anteil, sie liegt immer zwischen 0 und 1. Kommt bei dir ein Wert größer als 1 heraus (etwa 16,7 statt 0,06), hast du geteilt statt geteilt zu werden – dreh den Bruch um.
- Prozentzahl und Dezimalzahl vermischt. Ursache: Beim Hochrechnen wird mit „6“ statt mit „0,06“ multipliziert, das Ergebnis ist dann um den Faktor 100 zu groß. Vermeidung: \( 6\ \% = \dfrac{6}{100} = 0{,}06 \). Beim Rechnen immer die Dezimalform verwenden, das Prozentzeichen erst im Antwortsatz.
- Relative Häufigkeit mit Wahrscheinlichkeit gleichgesetzt. Ursache: Aus „6 % Astlöcher in der Stichprobe“ wird „die Wahrscheinlichkeit ist 6 %“. Vermeidung: Die relative Häufigkeit ist ein gemessenes Ergebnis und darf nur als Schätzung für die Wahrscheinlichkeit dienen – und das auch nur bei großem \( n \). Formuliere entsprechend vorsichtig: „etwa“, „zu erwarten“, „näherungsweise“.
- Das Gesetz der großen Zahlen als Ausgleichsregel missverstanden. Ursache: Der Gedanke „dreimal Ausschuss hintereinander, jetzt muss ein gutes Stück kommen“. Vermeidung: Das Gesetz sagt nur, dass sich die relative Häufigkeit bei vielen Versuchen stabilisiert. Der einzelne nächste Versuch weiß nichts von den vorherigen – es gibt keinen Ausgleichszwang.
- Ergebnis und Ereignis verwechselt. Ursache: \( E \) wird als ein einzelnes Ergebnis behandelt, obwohl es mehrere Kategorien zusammenfasst. Vermeidung: Schreibe das Ereignis erst als Menge hin, zähle die enthaltenen Ergebnisse und addiere deren absolute Häufigkeiten. Erst der letzte Schritt ist die Division durch \( n \).
- Ergebnismenge unvollständig aufgeschrieben. Ursache: Eine Kategorie wird vergessen, weil sie in der Stichprobe selten vorkommt. Vermeidung: Kontrolliere mit der Summenprobe – die absoluten Häufigkeiten aller Ergebnisse müssen genau \( n \) ergeben, die relativen genau 1 bzw. 100 %. Stimmt die Summe nicht, fehlt ein Ergebnis in \( \Omega \).
Weiterlernen
- Auswertung von Daten – Kenngrößen und der kritische Blick auf Diagramme, das Vorwissen zu dieser Seite.
- Laplace-Wahrscheinlichkeit – hier wird aus der geschätzten Häufigkeit eine berechnete Wahrscheinlichkeit \( P(E) \).
- Mehrstufige Zufallsexperimente und Pfadregeln – der nächste Schritt: Baumdiagramme mit mehreren Stufen und Wahrscheinlichkeiten an den Ästen.
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