Mathematik · Mittelschule Bayern · Klasse 8 · Regelklasse und M-Zug · Lernbereich 5: Rauminhalt – Zylinder · LehrplanPLUS
Volumen des Zylinders – wie viel passt in Tonne, Dose und Rohr?
Wie viele Liter fasst die Regentonne? Wie viel Wasser steht in einem Rohr? Wie viel Beton braucht ein rundes Fundament? Die Antwort liefert dieselbe Formel, die Du in Klasse 7 für Prismen gelernt hast – nur ist die Grundfläche jetzt ein Kreis.
Darum geht es in diesem Lernbereich
Du bist an einer anderen Schulart? Dasselbe Thema gibt es auf dem jeweiligen Niveau auch für Realschule Klasse 9 · Wirtschaftsschule Klasse 10.
Regelklasse oder M-Zug? Dieser Lernbereich ist für beide Züge gleich. Diese Seite gilt für Dich, egal in welcher Klasse Du bist.
1. Dieselbe Formel wie beim Prisma
Merke
\( V = G \cdot h = r^2 \pi \cdot h \)
Der Zylinder ist ein Stapel aus lauter gleichen Kreisscheiben – genau wie das Prisma ein Stapel gleicher Vielecke ist. Deshalb gilt eine einzige Formel für beide Körper.
Reihenfolge: erst die Grundfläche \( G = r^2\pi \) ausrechnen, dann mal \( h \). Zwei getrennte Schritte, zwei getrennte Zeilen.
Beispiel: eine Dose
Eine Dose hat \( r = 5\ \text{cm} \) und \( h = 12\ \text{cm} \).
\( G = 25\ \text{cm}^2 \cdot 3{,}14 = 78{,}5\ \text{cm}^2 \)
\( V = 78{,}5\ \text{cm}^2 \cdot 12\ \text{cm} = 942\ \text{cm}^3 \)
Antwort: Die Dose fasst \( 942\ \text{cm}^3 \), also \( 0{,}942 \) Liter – knapp einen Liter. Dieselbe Dose brauchte in Lernbereich 4 genau \( 533{,}8\ \text{cm}^2 \) Blech. Volumen und Oberfläche sind zwei ganz verschiedene Fragen an denselben Körper.
2. Aufgaben aus dem Alltag und dem Betrieb
Beispiel: Regentonne
Eine Regentonne hat den Durchmesser \( 60\ \text{cm} \) und die Höhe \( 90\ \text{cm} \). Wie viele Liter fasst sie?
Zuerst der Radius: \( r = 30\ \text{cm} \).
\( G = 900\ \text{cm}^2 \cdot 3{,}14 = 2826\ \text{cm}^2 \)
\( V = 2826\ \text{cm}^2 \cdot 90\ \text{cm} = 254\,340\ \text{cm}^3 \)
\( 254\,340\ \text{cm}^3 : 1000 = 254{,}34\ \text{l} \)
Antwort: Die Tonne fasst rund 254 Liter. Randvoll wird sie nie gefüllt – bei 5 cm Abstand zum Rand wären es \( 2826 \cdot 85 = 240\,210\ \text{cm}^3 \), also gut 240 Liter.
Beispiel: Rohr als Hohlzylinder
Ein Rohr ist \( 100\ \text{cm} \) lang. Der Außenradius beträgt \( 6\ \text{cm} \), der Innenradius \( 5\ \text{cm} \). Wie viel Material steckt in der Rohrwand?
Die Grundfläche ist ein Kreisring – großer Kreis minus kleiner Kreis:
\( G = 3{,}14 \cdot \left(6^2 – 5^2\right)\ \text{cm}^2 = 3{,}14 \cdot 11\ \text{cm}^2 = 34{,}54\ \text{cm}^2 \)
\( V = 34{,}54\ \text{cm}^2 \cdot 100\ \text{cm} = 3454\ \text{cm}^3 \)
Antwort: Die Rohrwand hat ein Volumen von \( 3454\ \text{cm}^3 \). Achtung: Zuerst die Quadrate bilden, dann subtrahieren – \( (6-5)^2 \) wäre falsch.
Beispiel: Umkehraufgaben
a) Ein Zylinder hat \( V = 942\ \text{cm}^3 \) und die Grundfläche \( G = 78{,}5\ \text{cm}^2 \). Wie hoch ist er?
\( h = \dfrac{942\ \text{cm}^3}{78{,}5\ \text{cm}^2} = 12\ \text{cm} \)
b) Ein Zylinder fasst \( 942\ \text{cm}^3 \) und ist \( 12\ \text{cm} \) hoch. Wie groß ist sein Radius?
\( G = \dfrac{942\ \text{cm}^3}{12\ \text{cm}} = 78{,}5\ \text{cm}^2 \)
\( r^2 = \dfrac{78{,}5\ \text{cm}^2}{3{,}14} = 25\ \text{cm}^2 \)
\( r = 5\ \text{cm} \)
Drei Schritte rückwärts: durch \( h \), dann durch \( \pi \), dann die Wurzel. Die Einheiten begleiten Dich dabei: cm³ wird zu cm² wird zu cm.
Beispiel: zusammengesetzter Körper
Ein Silo besteht aus einem Zylinder (\( r = 2\ \text{m} \), \( h = 6\ \text{m} \)) auf einem quaderförmigen Sockel (\( 5\ \text{m} \times 5\ \text{m} \times 1\ \text{m} \)). Wie groß ist das Gesamtvolumen?
\( V_{\text{Zylinder}} = 4\ \text{m}^2 \cdot 3{,}14 \cdot 6\ \text{m} = 75{,}36\ \text{m}^3 \)
\( V_{\text{Sockel}} = 5 \cdot 5 \cdot 1\ \text{m}^3 = 25\ \text{m}^3 \)
\( V_{\text{gesamt}} = 75{,}36\ \text{m}^3 + 25\ \text{m}^3 = 100{,}36\ \text{m}^3 \)
Antwort: Das Silo hat ein Volumen von \( 100{,}36\ \text{m}^3 \). Bei Volumen werden die Teile immer addiert – anders als bei der Oberfläche, wo verdeckte Flächen wegfallen.
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Typische Fehler
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So machst Du es richtig
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Die Formeln dieser Seite auf einen Blick
\( V = G \cdot h = r^2 \pi \cdot h \)
Schreib Dir diese Formeln heraus. In der Prüfung gibt es schon Punkte für die richtig hingeschriebene Formel – auch dann, wenn sich beim Rechnen ein Fehler einschleicht.
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Grundlage: LehrplanPLUS Bayern, Mittelschule, Jahrgangsstufe 8, Lernbereich 5 „Rauminhalt – Zylinder“ (Fachlehrplan Mathematik, Regelklasse und Mittlere-Reife-Klasse). Alle Rechenbeispiele sind eigene Aufgaben und maschinell gegengerechnet.