Terme vereinfachen und lineare Gleichungen lösen

Darum geht es in diesem Lernbereich

1. Terme aus Sachsituationen aufstellen
2. Variable und Termwert
3. Terme vereinfachen
4. Das Kommutativgesetz
5. Das Assoziativgesetz
6. Das Distributivgesetz
7. Gleichungen aus Sachsituationen
8. Der Gleichungsbegriff
9. Das Balkenwaagenmodell
10. Äquivalenzumformungen
11. Lineare Gleichungen der Form \( ax + b = c \)
12. Die Probe
13. Fehler in Umformungen finden

Merke

Ein Term ist ein Rechenausdruck mit Zahlen und Variablen – ohne Gleichheitszeichen. Setzt Du für die Variable eine Zahl ein, erhältst Du den Termwert.

Zusammenfassen darfst Du nur, was zusammengehört: \( a \) mit \( a \), \( b \) mit \( b \), Zahlen mit Zahlen. \( 3a + 4b \) lässt sich nicht weiter vereinfachen.

\( 5a + 3b – 2a + 7b = 3a + 10b \)

Merkbild: Äpfel und Birnen kannst Du nicht zusammenzählen – aber Äpfel mit Äpfeln schon.

Merke: die drei Rechengesetze

Achtung: Vertauschen und Umklammern gelten nur bei Plus und Mal – nicht bei Minus und Geteilt.

Beispiel: Terme aus einer Sachsituation

Ein Handwerker berechnet 45 € Anfahrt und 38 € je Arbeitsstunde. Die Stundenzahl nennst Du \( x \).

Rechnungsbetrag: \( 38x + 45 \)

Termwert bei 3 Stunden:

\( 38 \cdot 3 + 45 = 114 + 45 = 159 \)

Antwort: Bei 3 Stunden kostet es 159 €.

Beispiel: ausmultiplizieren und zusammenfassen

\( 4 \cdot (2x + 3) = 8x + 12 \)

Wichtig: Die Zahl vor der Klammer wird mit jedem Glied in der Klammer multipliziert – nicht nur mit dem ersten.

Merke: was erlaubt ist

Bei einer Äquivalenzumformung machst Du auf beiden Seiten dasselbe. Die Lösung ändert sich dadurch nicht:

• auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren
• beide Seiten mit derselben Zahl multiplizieren oder durch sie dividieren – aber niemals durch 0

Was Du tust, schreibst Du rechts mit einem senkrechten Strich dazu: \( |-7 \) oder \( |:3 \). Das ist keine Formsache – in der Prüfung gibt es dafür Punkte.

Beispiel a: die Grundform \( ax + b = c \)

Probe: \( 3 \cdot 5 + 7 = 15 + 7 = 22 \) – stimmt.

Reihenfolge: Zuerst die Zahl wegschaffen, die nicht bei \( x \) steht. Erst danach durch die Zahl vor \( x \) teilen.

Beispiel b: \( x \) steht auf beiden Seiten

Probe: links \( 5 \cdot 5 – 8 = 17 \), rechts \( 2 \cdot 5 + 7 = 17 \) – stimmt.

Beispiel c: mit Klammer

Probe: \( 3 \cdot (9 – 2) + 4 = 21 + 4 = 25 \) – stimmt.

Beispiel: Handytarif

Ein Tarif kostet 8,00 € Grundgebühr im Monat und 0,10 € je Gesprächsminute. Die Rechnung beträgt 14,50 €. Wie viele Minuten wurden telefoniert?

Schritt 1 – Variable festlegen: \( m \) = Anzahl der Minuten.

Schritt 2 – Gleichung aufstellen:

\( 0{,}10 \cdot m + 8 = 14{,}50 \)

Schritt 3 – lösen:

Antwort: Es wurden 65 Minuten telefoniert.

Probe: \( 0{,}10 \cdot 65 + 8 = 6{,}50 + 8 = 14{,}50 \) – stimmt.

Beispiel: Zahlenrätsel mit zwei Größen

Zwei Geschwister sind zusammen 33 Jahre alt. Der Bruder ist doppelt so alt wie die Schwester. Wie alt sind beide?

Schritt 1 – Variable festlegen: Schwester \( = x \), Bruder \( = 2x \).

Schritt 2 – Gleichung aufstellen und lösen:

Antwort: Die Schwester ist 11 Jahre alt, der Bruder 22. Probe: \( 11 + 22 = 33 \) – stimmt, und der Bruder ist tatsächlich doppelt so alt.

Prüfe immer, ob Dein Ergebnis zur Sachlage passt. Käme hier 10,67 heraus, wäre etwas falsch: Halbe Menschen, negative Längen oder krumme Jahresangaben sind ein Warnsignal.

Beispiel: Wo steckt der Fehler?

Begründung: Beim Teilen durch 4 muss die ganze linke Seite geteilt werden, also auch die 6. Richtig wäre \( x + 1{,}5 = 7{,}5 \).

Besser: zuerst die 6 wegschaffen, dann teilen:

Probe: \( 4 \cdot 6 + 6 = 30 \) – stimmt.

Die Formeln dieser Seite auf einen Blick

Schreib Dir diese Formeln heraus. In der Prüfung gibt es schon Punkte für die richtig hingeschriebene Formel – auch dann, wenn sich beim Rechnen ein Fehler einschleicht.

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