Mathematik Wirtschaftsschule Bayern · Klasse 8 · Lernbereich „Funktionaler Zusammenhang“ (LehrplanPLUS) · BY
Lineare Funktionen: Geraden verstehen und zeichnen
Eine lineare Funktion beschreibt eine Gerade. Sie erkennen an der Gleichung sofort, wie steil die Gerade verläuft und wo sie die y-Achse schneidet. Lineare Funktionen sind die Grundlage für die Parabeln in Klasse 9 und für Schnittpunkt-Aufgaben in der Prüfung.
- Die Funktionsgleichung y = mx + t
- Steigung m bestimmen
- Gerade zeichnen
- Gleichung aus zwei Punkten
- So wird es gebraucht
- Typische Fehler
1. Die Funktionsgleichung y = mx + t
Jede Gerade lässt sich schreiben als:
\( y = m\cdot x + t \)
\( m \) ist die Steigung (wie steil), \( t \) der y-Achsenabschnitt (wo die Gerade die y-Achse schneidet).
2. Steigung m bestimmen
Die Steigung gibt an, um wie viel \( y \) steigt, wenn \( x \) um 1 wächst. Aus zwei Punkten \( A(x_1\mid y_1) \) und \( B(x_2\mid y_2) \):
\( m = \dfrac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \)
Musterbeispiel
\( A(1\mid 2) \) und \( B(3\mid 6) \).
\( m = \dfrac{6 – 2}{3 – 1} = \dfrac{4}{2} = 2 \)
Gegenprobe: Von A nach B: x wächst um 2, y wächst um 4 → Steigung 2 ✓
3. Gerade zeichnen
Zwei Schritte genügen: y-Achsenabschnitt \( t \) einzeichnen, dann mit dem Steigungsdreieck weiter.
Punkt \( (0\mid t) \) auf der y-Achse markieren.
Von dort 1 nach rechts, dann \( m \) nach oben (bei \( m=2 \): 2 hoch). Zweiten Punkt markieren, verbinden.
4. Gleichung aus zwei Punkten aufstellen
Gegeben zwei Punkte – gesucht die Gleichung.
Musterbeispiel
\( A(0\mid 3) \), \( B(2\mid 7) \).
\( m = \dfrac{7-3}{2-0} = 2 \)
\( A \) liegt bei \( x=0 \), also \( t=3 \).
\( y = 2x + 3 \)
5. So wird es gebraucht
Lineare Funktionen beschreiben feste Kosten plus einen Preis pro Stück (Handytarif, Taxifahrt, Stromrechnung). In der Prüfung berechnen Sie damit Schnittpunkte – z. B. ab wann sich ein Tarif lohnt – oder Sie brauchen die Gerade beim Schnitt mit einer Parabel (Klasse 10).
6. Typische Fehler
✗ Falsch:
Bei der Steigung Zähler und Nenner vertauscht: \( \frac{x_2-x_1}{y_2-y_1} \).
✓ Richtig:
Steigung = \( \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \): y-Differenz oben, x-Differenz unten.
Tipp: Merksatz: „y zuerst“ – die Änderung in y steht im Zähler.
✗ Falsch:
\( t \) mit \( m \) verwechselt.
✓ Richtig:
\( t \) ist der y-Wert bei \( x=0 \) (Schnitt mit y-Achse), \( m \) die Steigung.
Tipp: In \( y=mx+t \): der Faktor bei x ist m, die Zahl allein ist t.
Weiterlernen
- Quadratische Funktionen (Klasse 9) – die nächste Funktionsart.
- Lineare Gleichungssysteme – zwei Geraden zum Schnitt bringen.
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