Physik Realschule Bayern › Energie › Jahrgangsstufe 9
Mischungsgesetz
Physik · Realschule · Jahrgangsstufe 9 · Bayern · Teilbereich Energie
Im Lernbereich Wärmelehre der 9. Jahrgangsstufe wenden Lernende den Energieerhaltungssatz auf Mischungsvorgänge an: Die abgegebene Wärme des wärmeren Körpers ist gleich der aufgenommenen des kälteren. Mit dem Mischungsgesetz berechnen sie Mischtemperaturen und bestimmen Wärmekapazitäten.
Was beim Mischen passiert
Gießt man heißes und kaltes Wasser zusammen, stellt sich eine gemeinsame Mischtemperatur ein, die zwischen beiden Anfangstemperaturen liegt. Dabei gibt der wärmere Körper Wärme ab, der kältere nimmt sie auf. Nach dem Energieerhaltungssatz gilt (ohne Verluste an das Gefäß und die Umgebung):
\( W_{\mathrm{ab}}=W_{\mathrm{auf}} \)
Die vom warmen Körper abgegebene Wärme ist genauso groß wie die vom kalten Körper aufgenommene. Mit dem Erwärmungsgesetz \(W_{\mathrm{th}}=c\cdot m\cdot\Delta\vartheta\) wird daraus das Mischungsgesetz:
\( c_1\cdot m_1\cdot(\vartheta_1-\vartheta_{\mathrm{m}})=c_2\cdot m_2\cdot(\vartheta_{\mathrm{m}}-\vartheta_2) \)
Dabei ist \(\vartheta_{\mathrm{m}}\) die gesuchte Mischtemperatur, \(\vartheta_1\) die höhere und \(\vartheta_2\) die niedrigere Anfangstemperatur. Beim Mischen gleicher Stoffe (etwa Wasser mit Wasser) kürzt sich \(c\) heraus.
Beispiel 1: Heißes und kaltes Wasser mischen
\(1{,}0\,\mathrm{kg}\) Wasser mit \(80\,^\circ\mathrm{C}\) wird mit \(2{,}0\,\mathrm{kg}\) Wasser mit \(20\,^\circ\mathrm{C}\) gemischt. Welche Mischtemperatur stellt sich ein?
Gegeben: \(m_1=1{,}0\,\mathrm{kg}\), \(\vartheta_1=80\,^\circ\mathrm{C}\); \(m_2=2{,}0\,\mathrm{kg}\), \(\vartheta_2=20\,^\circ\mathrm{C}\); gleicher Stoff
Gesucht: Mischtemperatur \(\vartheta_{\mathrm{m}}\)
Formel: \(m_1(\vartheta_1-\vartheta_{\mathrm{m}})=m_2(\vartheta_{\mathrm{m}}-\vartheta_2)\)
Weil beide Male Wasser gemischt wird, kürzt sich \(c\). Nach \(\vartheta_{\mathrm{m}}\) aufgelöst ergibt sich der mit den Massen gewichtete Mittelwert:
\( \vartheta_{\mathrm{m}}=\dfrac{m_1\vartheta_1+m_2\vartheta_2}{m_1+m_2}=\dfrac{1{,}0\cdot 80+2{,}0\cdot 20}{1{,}0+2{,}0}\,^\circ\mathrm{C}=40\,^\circ\mathrm{C} \)
Antwort: Die Mischtemperatur beträgt \(40\,^\circ\mathrm{C}\). Sie liegt näher an der Temperatur der größeren Wassermenge. Kontrolle: Das heiße Wasser gibt \(1{,}0\cdot(80-40)=40\) ab, das kalte nimmt \(2{,}0\cdot(40-20)=40\) auf.
Beispiel 2: Wie viel kaltes Wasser zum Abkühlen?
In einer Badewanne sind \(80\,\mathrm{L}\) Wasser mit \(45\,^\circ\mathrm{C}\). Wie viel Wasser mit \(15\,^\circ\mathrm{C}\) muss man zugeben, um auf \(37\,^\circ\mathrm{C}\) zu kommen? (\(1\,\mathrm{L}\) Wasser hat \(1\,\mathrm{kg}\).)
Gegeben: \(m_1=80\,\mathrm{kg}\), \(\vartheta_1=45\,^\circ\mathrm{C}\), \(\vartheta_2=15\,^\circ\mathrm{C}\), \(\vartheta_{\mathrm{m}}=37\,^\circ\mathrm{C}\)
Gesucht: Masse \(m_2\) des kalten Wassers
Formel: \(m_1(\vartheta_1-\vartheta_{\mathrm{m}})=m_2(\vartheta_{\mathrm{m}}-\vartheta_2)\)
\( m_2=\dfrac{m_1(\vartheta_1-\vartheta_{\mathrm{m}})}{\vartheta_{\mathrm{m}}-\vartheta_2}=\dfrac{80\,\mathrm{kg}\cdot(45-37)}{37-15}=\dfrac{640}{22}\,\mathrm{kg}\approx 29\,\mathrm{kg} \)
Antwort: Man muss etwa \(29\,\mathrm{L}\) kaltes Wasser zugeben.
Beispiel 3: Spezifische Wärmekapazität bestimmen
Ein \(200\,\mathrm{g}\) schweres Metallstück von \(100\,^\circ\mathrm{C}\) wird in \(0{,}50\,\mathrm{kg}\) Wasser von \(18\,^\circ\mathrm{C}\) gelegt. Die Mischtemperatur beträgt \(21{,}2\,^\circ\mathrm{C}\). Welche Wärmekapazität hat das Metall? \(\left(c_{\mathrm{W}}=4{,}182\,\mathrm{\frac{kJ}{kg\cdot K}}\right)\)
Gegeben: Metall: \(m_1=0{,}20\,\mathrm{kg}\), \(\vartheta_1=100\,^\circ\mathrm{C}\); Wasser: \(m_2=0{,}50\,\mathrm{kg}\), \(\vartheta_2=18\,^\circ\mathrm{C}\); \(\vartheta_{\mathrm{m}}=21{,}2\,^\circ\mathrm{C}\)
Gesucht: \(c_{\mathrm{Metall}}\)
Formel: \(c_1 m_1(\vartheta_1-\vartheta_{\mathrm{m}})=c_2 m_2(\vartheta_{\mathrm{m}}-\vartheta_2)\)
\( c_1=\dfrac{c_2\,m_2(\vartheta_{\mathrm{m}}-\vartheta_2)}{m_1(\vartheta_1-\vartheta_{\mathrm{m}})}=\dfrac{4{,}182\cdot 0{,}50\cdot(21{,}2-18)}{0{,}20\cdot(100-21{,}2)} \)
\( c_1=\dfrac{6{,}69\,\mathrm{kJ}}{15{,}76\,\mathrm{kg\cdot K}}\approx 0{,}42\,\mathrm{\tfrac{kJ}{kg\cdot K}} \)
Antwort: Die Wärmekapazität beträgt etwa \(0{,}42\,\mathrm{\frac{kJ}{kg\cdot K}}\); das passt zu Eisen. So lässt sich im Mischungsversuch die Wärmekapazität eines Stoffs messen.
Typische Fehler und Prüfungstipps
- Einfacher Mittelwert bei verschiedenen Massen: Die Mischtemperatur ist der mit den Massen (und Wärmekapazitäten) gewichtete Mittelwert, nicht der einfache Durchschnitt.
- Falsche Vorzeichen: Beim warmen Körper \(\vartheta_1-\vartheta_{\mathrm{m}}\), beim kalten \(\vartheta_{\mathrm{m}}-\vartheta_2\), damit beide Seiten positiv sind.
- \(c\) vergessen: Nur bei gleichem Stoff kürzt sich \(c\). Bei verschiedenen Stoffen (Metall und Wasser) muss \(c\) stehen bleiben.
- Masse und Volumen: Bei Wasser ist \(1\,\mathrm{L}\) gleich \(1\,\mathrm{kg}\); bei anderen Stoffen über die Dichte umrechnen.
- Verluste ignoriert, dann gewundert: In der Realität nimmt auch das Gefäß Wärme auf; die gemessene Mischtemperatur ist dann etwas niedriger als berechnet.
Üben: Aufgaben zum Mischungsgesetz
Der Aufgabengenerator erstellt Aufgaben zur Mischtemperatur, zu gesuchten Massen und zur Bestimmung von Wärmekapazitäten, mit Lösungsweg und als PDF druckbar.
Vorheriges Thema: Spezifische Wärmekapazität
Nächstes Thema: Schmelz- und Verdampfungsenergie
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