Physik Realschule Bayern › Mechanik › Jahrgangsstufe 10
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung und freier Fall
Physik · Realschule · Jahrgangsstufe 10 · Bayern · Teilbereich Mechanik
Im Lernbereich Mechanik der 10. Jahrgangsstufe beschreiben Lernende die gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Beschleunigung, Weg-Zeit-Gesetz und Bewegungsdiagrammen und behandeln den freien Fall als Sonderfall. Diese Gesetze gehören zu den am häufigsten geprüften Inhalten im Prüfungsteil Mechanik.
Wenn sich die Geschwindigkeit ändert
Ein Auto an der Ampel wird immer schneller, ein Ball beim Fallen ebenso. Hier ändert sich die Geschwindigkeit. Nimmt sie in gleichen Zeitabschnitten um gleich viel zu, spricht man von einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Wie schnell sich die Geschwindigkeit ändert, gibt die Beschleunigung \(a\) an:
\( a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t} \)
\(\Delta v\) ist die Geschwindigkeitsänderung, \(\Delta t\) die dafür nötige Zeit. Die Einheit ist \(\mathrm{\frac{m}{s^2}}\) (Meter pro Sekunde zum Quadrat). Eine Beschleunigung von \(2\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\) bedeutet: In jeder Sekunde nimmt die Geschwindigkeit um \(2\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) zu.
Beispiel 1: Beschleunigung aus dem t-v-Diagramm
Ein Auto fährt an. Das Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm ist eine steigende Gerade. Wie groß ist die Beschleunigung?
Bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist das t-v-Diagramm eine steigende Gerade. Die Beschleunigung liest man wie eine Steigung ab:
\( a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=\dfrac{6\,\mathrm{\frac{m}{s}}}{3\,\mathrm{s}}=2\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} \)
Antwort: Die Beschleunigung beträgt \(2\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\). In jeder Sekunde wird das Auto um \(2\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) schneller.
Merke: Bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung (Start aus der Ruhe) ist das t-v-Diagramm eine steigende Gerade. Das t-s-Diagramm ist eine nach oben gebogene Kurve (Parabel), weil der Körper in jeder Sekunde einen längeren Weg zurücklegt.
Der zurückgelegte Weg
Startet ein Körper aus der Ruhe und beschleunigt gleichmäßig, gilt für den zurückgelegten Weg nach der Zeit \(t\):
\( s=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot t^2 \)
Das \(t^2\) bedeutet: Doppelte Zeit ergibt den vierfachen Weg, dreifache Zeit den neunfachen. Deshalb wächst der Weg beim Beschleunigen immer schneller.
Beispiel 2: Weg beim Anfahren
Das Auto aus Beispiel 1 beschleunigt mit \(a=2\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\) aus dem Stand. Welchen Weg legt es in \(5\,\mathrm{s}\) zurück?
Gegeben: \(a=2\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\), \(t=5\,\mathrm{s}\)
Gesucht: Weg \(s\)
Formel: \(s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2\)
\( s=\dfrac{1}{2}\cdot 2\,\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}\cdot (5\,\mathrm{s})^2=\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 25\,\mathrm{m}=25\,\mathrm{m} \)
Antwort: Das Auto legt \(25\,\mathrm{m}\) zurück. Beim Rechnen erst \(t\) quadrieren, dann mit \(\frac{1}{2}a\) multiplizieren.
Beispiel 3: Zeit aus dem Weg
Wie lange braucht dasselbe Auto (\(a=2\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\)), um \(100\,\mathrm{m}\) zurückzulegen?
Gegeben: \(a=2\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\), \(s=100\,\mathrm{m}\)
Gesucht: Zeit \(t\)
Formel: \(s=\frac{1}{2}a t^2\) nach \(t\) auflösen: \(t=\sqrt{\frac{2s}{a}}\)
\( t=\sqrt{\dfrac{2\cdot 100\,\mathrm{m}}{2\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}}=\sqrt{100\,\mathrm{s^2}}=10\,\mathrm{s} \)
Antwort: Nach \(10\,\mathrm{s}\) hat das Auto \(100\,\mathrm{m}\) zurückgelegt. Zum Auflösen beide Seiten mit \(2\) multiplizieren, durch \(a\) teilen und die Wurzel ziehen.
Der freie Fall
Lässt man einen Körper fallen, ist das ein Sonderfall der gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Die Beschleunigung ist dann der Ortsfaktor bzw. die Fallbeschleunigung:
\( a=g=9{,}81\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} \)
Ohne Luftwiderstand fallen alle Körper gleich schnell, egal ob Stein oder Feder. (In Luft wird eine Feder durch den Luftwiderstand gebremst; im Vakuum fallen beide gleich.) Für den Fall aus der Ruhe gilt:
\( s=\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot t^2\qquad v=g\cdot t \)
Beispiel 4: Fall vom Turm
Ein Stein fällt von einem Turm. Welche Strecke fällt er in \(2{,}0\,\mathrm{s}\), und wie schnell ist er dann? \(\left(g=9{,}81\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\right)\)
Gegeben: \(g=9{,}81\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\), \(t=2{,}0\,\mathrm{s}\)
Gesucht: Fallstrecke \(s\), Geschwindigkeit \(v\)
Formel: \(s=\frac{1}{2}g t^2\), \(v=g\cdot t\)
\( s=\dfrac{1}{2}\cdot 9{,}81\,\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}\cdot (2{,}0\,\mathrm{s})^2\approx 19{,}6\,\mathrm{m} \)
\( v=9{,}81\,\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}\cdot 2{,}0\,\mathrm{s}\approx 19{,}6\,\mathrm{\frac{m}{s}} \)
Antwort: Der Stein fällt \(19{,}6\,\mathrm{m}\) und ist dann \(19{,}6\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) (etwa \(71\,\mathrm{\frac{km}{h}}\)) schnell. Zufällig sind hier beide Zahlenwerte gleich; das ist aber kein allgemeiner Zusammenhang.
Beispiel 5: Bremsen als negative Beschleunigung
Ein Radfahrer bremst von \(8\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) in \(4\,\mathrm{s}\) bis zum Stillstand. Wie groß ist seine Bremsbeschleunigung?
Gegeben: \(\Delta v=0-8\,\mathrm{\frac{m}{s}}=-8\,\mathrm{\frac{m}{s}}\), \(\Delta t=4\,\mathrm{s}\)
Gesucht: Beschleunigung \(a\)
Formel: \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\)
\( a=\dfrac{-8\,\mathrm{\frac{m}{s}}}{4\,\mathrm{s}}=-2\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} \)
Antwort: Die Beschleunigung ist \(-2\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\). Das Minuszeichen bedeutet: Die Geschwindigkeit nimmt ab (Bremsen, Verzögerung). Im t-v-Diagramm ist das eine fallende Gerade.
Typische Fehler und Prüfungstipps
- \(t^2\) vergessen: In \(s=\frac{1}{2}at^2\) wird zuerst die Zeit quadriert. Bei doppelter Zeit vervierfacht sich der Weg.
- Diagramme verwechselt: Beschleunigt heißt: t-v-Diagramm = steigende Gerade, t-s-Diagramm = gebogene Parabel. Bei gleichförmig genau umgekehrt (t-s gerade, t-v waagrecht).
- Beschleunigung und Geschwindigkeit verwechselt: \(v\) in \(\mathrm{\frac{m}{s}}\) (wie schnell), \(a\) in \(\mathrm{\frac{m}{s^2}}\) (wie schnell ändert sich das Tempo).
- Bremsen ohne Vorzeichen: Beim Bremsen ist die Beschleunigung negativ (Verzögerung).
- Masse beim freien Fall: Ohne Luftwiderstand fallen alle Körper gleich schnell; die Masse spielt keine Rolle.
Üben: Aufgaben zur beschleunigten Bewegung
Der Aufgabengenerator erstellt Aufgaben zu Beschleunigung, Weg-Zeit-Gesetz, freiem Fall und Bremsvorgängen mit Bewegungsdiagrammen, mit Lösungsweg und als PDF druckbar.
Vorheriges Thema: Zeit-Weg-Diagramme und Geschwindigkeit
Nächstes Thema: Grundgleichung der Mechanik
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