Physik Realschule Bayern › Materie › Jahrgangsstufe 10
Aktivität, Halbwertszeit und Zerfallsgesetz
Physik · Realschule · Jahrgangsstufe 10 · Bayern · Teilbereich Materie
Im Lernbereich Atom- und Kernphysik der 10. Jahrgangsstufe berechnen Lernende die Aktivität eines Präparats, deuten die Halbwertszeit und wenden das Zerfallsgesetz auf Aktivität, Masse und Kernzahl an. Die Halbwertszeit erklärt die Altersbestimmung und ist ein Kernthema des Prüfungsteils Materie.
Die Aktivität
In einem radioaktiven Präparat zerfallen ständig Kerne. Wie viele davon pro Zeit zerfallen, gibt die Aktivität \(A\) an: die Anzahl der Zerfälle \(n\) geteilt durch die Zeit \(t\):
\( A=\dfrac{n}{t} \)
Die Einheit ist das Becquerel: \(1\,\mathrm{Bq}=1\,\frac{1}{\mathrm{s}}\), also ein Zerfall pro Sekunde. Je mehr radioaktive Kerne vorhanden sind, desto größer die Aktivität. Weil die Kerne nach und nach zerfallen, nimmt die Aktivität mit der Zeit ab.
Beispiel 1: Aktivität bestimmen
Ein Geiger-Müller-Zähler registriert in \(1\) Minute \(3000\) Zerfälle. Wie groß ist die Aktivität?
Gegeben: \(n=3000\), \(t=1\,\mathrm{min}=60\,\mathrm{s}\)
Gesucht: Aktivität \(A\)
Formel: \(A=\frac{n}{t}\)
\( A=\dfrac{3000}{60\,\mathrm{s}}=50\,\mathrm{\tfrac{1}{s}}=50\,\mathrm{Bq} \)
Antwort: Die Aktivität beträgt \(50\,\mathrm{Bq}\). Die Zeit muss dafür in Sekunden eingesetzt werden.
Die Halbwertszeit
Merke: Die Halbwertszeit \(T\) ist die Zeit, nach der die Hälfte der ursprünglich vorhandenen radioaktiven Kerne zerfallen ist. Nach einer Halbwertszeit ist noch die Hälfte übrig, nach zweien ein Viertel, nach dreien ein Achtel und so weiter.
Jedes radioaktive Isotop hat seine eigene, feste Halbwertszeit. Sie reicht von Sekundenbruchteilen bis zu Milliarden von Jahren. Das Abklingen verläuft immer nach demselben Muster: In jeder weiteren Halbwertszeit halbiert sich der Rest.
Beispiel 2: Abklingen im Diagramm
Ein Präparat hat die Halbwertszeit \(T=8\,\mathrm{Tage}\) und anfangs \(800\,\mathrm{mg}\) radioaktives Material. Wie viel ist nach \(8\), \(16\) und \(24\) Tagen übrig?
| Zeit | Halbwertszeiten | Rest |
| 0 Tage | 0 | 800 mg |
| 8 Tage | 1 | 400 mg |
| 16 Tage | 2 | 200 mg |
| 24 Tage | 3 | 100 mg |
Antwort: Nach \(8\), \(16\) und \(24\) Tagen sind noch \(400\), \(200\) bzw. \(100\,\mathrm{mg}\) übrig. Die Kurve wird immer flacher, erreicht aber nie ganz die Null.
Das Zerfallsgesetz
Das Abklingen beschreibt das Zerfallsgesetz. Es gilt gleichermaßen für die Aktivität \(A\), die Masse \(m\) und die Anzahl \(N\) der radioaktiven Kerne:
\( A(t)=A_0\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}} \)
Dabei ist \(A_0\) der Anfangswert, \(T\) die Halbwertszeit und \(t\) die vergangene Zeit. Der Exponent \(\frac{t}{T}\) zählt, wie viele Halbwertszeiten vergangen sind. Dasselbe gilt mit \(m\) statt \(A\) und mit \(N\) statt \(A\).
Beispiel 3: Zerfallsgesetz anwenden
Ein Präparat hat die Halbwertszeit \(T=8\,\mathrm{Tage}\) und anfangs die Aktivität \(A_0=800\,\mathrm{Bq}\). Wie groß ist die Aktivität nach \(24\) Tagen?
Gegeben: \(A_0=800\,\mathrm{Bq}\), \(T=8\,\mathrm{Tage}\), \(t=24\,\mathrm{Tage}\)
Gesucht: \(A(t)\)
Formel: \(A(t)=A_0\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}\)
Schritt 1 – Anzahl der Halbwertszeiten:
\( \dfrac{t}{T}=\dfrac{24\,\mathrm{Tage}}{8\,\mathrm{Tage}}=3 \)
Schritt 2 – einsetzen:
\( A(24\,\mathrm{Tage})=800\,\mathrm{Bq}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}=800\,\mathrm{Bq}\cdot\dfrac{1}{8}=100\,\mathrm{Bq} \)
Antwort: Nach \(24\) Tagen beträgt die Aktivität \(100\,\mathrm{Bq}\). Weil \(24\) Tage genau \(3\) Halbwertszeiten sind, ist noch \(\frac{1}{8}\) übrig.
Beispiel 4: Wie alt ist der Fund? (Radiokarbon)
In einem Fund ist noch \(\frac{1}{4}\) des ursprünglichen \(^{14}\mathrm{C}\) vorhanden. Die Halbwertszeit von \(^{14}\mathrm{C}\) beträgt rund \(5730\,\mathrm{Jahre}\). Wie alt ist der Fund ungefähr?
Gegeben: Rest \(=\frac{1}{4}=\left(\frac{1}{2}\right)^2\), \(T=5730\,\mathrm{Jahre}\)
Gesucht: Alter \(t\)
Formel: \(\frac{1}{4}\) entspricht \(2\) Halbwertszeiten
Ein Viertel bedeutet: zweimal halbiert, also \(2\) Halbwertszeiten vergangen.
\( t=2\cdot T=2\cdot 5730\,\mathrm{Jahre}=11\,460\,\mathrm{Jahre} \)
Antwort: Der Fund ist etwa \(11\,460\,\mathrm{Jahre}\) alt. Aus dem noch vorhandenen \(^{14}\mathrm{C}\)-Anteil lässt sich das Alter von organischem Material bestimmen (Radiokarbonmethode).
Typische Fehler und Prüfungstipps
- Aktivität bleibt gleich: Nein, sie nimmt mit der Zeit ab, weil immer weniger Kerne übrig sind.
- Nach zwei Halbwertszeiten alles weg: Falsch. Nach zwei HWZ ist noch ein Viertel übrig, nach drei ein Achtel. Es wird nie ganz null.
- Zeit nicht in Sekunden: Für Becquerel muss die Zeit bei der Aktivität in Sekunden stehen.
- Exponent falsch: Im Zerfallsgesetz ist der Exponent \(\frac{t}{T}\) (vergangene Zeit geteilt durch Halbwertszeit).
- Halbwertszeit und Lebensdauer verwechselt: Die Halbwertszeit ist nicht die Zeit bis alles zerfallen ist, sondern bis die Hälfte zerfallen ist.
Üben: Aufgaben zur Halbwertszeit
Der Aufgabengenerator erstellt Aufgaben zur Aktivität, zur Halbwertszeit und zum Zerfallsgesetz, auch mit Diagrammen, mit Lösungsweg und als PDF druckbar.
Vorheriges Thema: Zerfallsgleichungen und Z-A-Diagramm
Nächstes Thema: Massendefekt, Kernspaltung und Kernfusion
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