Mathematik Realschule Bayern · Klasse 6 · Lernbereich 6 „Direkte Proportionalität“ (LehrplanPLUS) · BY

Direkte Proportionalität: quotientengleich, Dreisatz und Prozent

Das Holzwerk Brandl in Rosenheim verkauft Regalbretter, alle zum gleichen Stückpreis. Kaufst du mehr Bretter, zahlst du mehr – und zwar immer im gleichen Verhältnis. Genau solche Zuordnungen nennt man direkt proportional. Auf dieser Seite lernst du, woran du das erkennst, wie du mit dem Dreisatz fehlende Werte berechnest und wie dieselbe Idee bei der Prozentrechnung wieder auftaucht.

Inhalt dieser Seite

1. Zuordnungen darstellen
2. Direkt proportional: die Quotientengleichheit
3. Der Dreisatz: der Schluss auf die Einheit
4. Prozentrechnung mit dem Dreisatz
5. Das Wichtigste in Kürze

1. Zuordnungen darstellen

Eine Zuordnung ordnet jedem Wert einer Größe genau einen Wert einer anderen Größe zu. Im Holzwerk gehört zu jeder Anzahl gekaufter Bretter genau ein Gesamtpreis. Du kannst eine Zuordnung auf drei Arten darstellen: als Wertetabelle (Zahlen in zwei Zeilen untereinander), als Graph in einem Koordinatensystem (jedes Zahlenpaar wird zu einem Punkt) oder als Sprache („ein Brett kostet 7 €“).

Auch ein Füllgraph ist eine Zuordnung: Füllst du ein Gefäß mit Wasser, gehört zu jeder vergangenen Zeit genau eine Füllhöhe. Je nach Form des Gefäßes steigt die Füllhöhe gleichmäßig, langsamer oder schneller – die Zuordnung muss also nicht immer nach demselben Muster verlaufen. Genau das untersuchst du in den nächsten Abschnitten: Welche Zuordnungen folgen einem besonders einfachen, immer gleichen Muster?

2. Direkt proportional: die Quotientengleichheit

Im Holzwerk Brandl kostet jedes Regalbrett gleich viel. Eine Zuordnung heißt direkt proportional, wenn du bei jedem Zahlenpaar denselben Quotienten erhältst, wenn du den zugeordneten Wert durch den Ausgangswert teilst. Man sagt dazu auch: die Zuordnung ist quotientengleich. Diese feste Zahl heißt Proportionalitätsfaktor \( k \).

Musterbeispiel – die Tabelle prüfen

Zu 3 Regalbrettern gehören 21 €, zu 5 Brettern 35 €, zu 8 Brettern 56 € und zu 12 Brettern 84 €. Ist diese Zuordnung direkt proportional?

Alle vier Quotienten ergeben \( 7 \): \( 21 : 3 = 7 \), \( 35 : 5 = 7 \), \( 56 : 8 = 7 \), \( 84 : 12 = 7 \). Die Zuordnung ist also direkt proportional mit dem Proportionalitätsfaktor \( k = 7 \) € je Brett. Gleichbedeutend ist die Verhältnisgleichheit: Verdoppelst du die Anzahl der Bretter, verdoppelt sich auch der Preis (5 Bretter kosten 35 €, 10 Bretter kosten 70 €).

Zeichnest du die vier Zahlenpaare in ein Koordinatensystem, liegen sie alle auf einer Geraden durch den Nullpunkt. Weil es keine negative Brettanzahl geben kann, zeichnest du nur den Teil ab \( x = 0 \): eine Ursprungshalbgerade.

Tabelle und Graph zeigen also dasselbe: Immer wenn der Quotient \( y : x \) konstant bleibt, liegen die Punkte auf einer Ursprungshalbgeraden – und umgekehrt.

3. Der Dreisatz: der Schluss auf die Einheit

Mit dem Dreisatz berechnest du bei einer direkt proportionalen Zuordnung einen fehlenden Wert. Der Trick: Du rechnest immer zuerst auf eine einzige Einheit herunter („was gehört zu einem Stück?“) und danach auf die gesuchte Anzahl hoch.

Musterbeispiel

Für 5 Gartenbänke braucht das Holzwerk Brandl 40 Schrauben. Wie viele Schrauben braucht es für 13 Gartenbänke?

Du teilst zuerst beide Seiten durch 5, um auf eine Bank zu kommen: \( 40 : 5 = 8 \), also braucht eine Bank 8 Schrauben. Dann multiplizierst du beide Seiten mit 13: \( 8 \cdot 13 = 104 \). Probe (Quotientengleichheit): \( 40 : 5 = 8 \) und \( 104 : 13 = 8 \) – derselbe Proportionalitätsfaktor, also stimmt die Rechnung. Antwort: Für 13 Gartenbänke braucht das Holzwerk 104 Schrauben.

Denselben Wert liefert die Verhältnisgleichung, bei der du die Gleichheit der Quotienten direkt hinschreibst: \( \dfrac{x}{13} = \dfrac{5}{40} \) wäre unhandlich – günstiger ist \( \dfrac{40}{5} = \dfrac{y}{13} \), also \( y = \dfrac{40 \cdot 13}{5} = \dfrac{520}{5} = 104 \). Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis.

4. Prozentrechnung mit dem Dreisatz

Auch die Prozentrechnung ist eine direkt proportionale Zuordnung: Der Grundwert \( G \) entspricht immer \( 100\,\% \), und der Prozentwert \( W \) ist der Teil davon, der zum Prozentsatz \( p\,\% \) gehört. Du kannst also denselben Dreisatz verwenden wie eben – nur heißen die Spalten jetzt Prozent und Euro (oder eine andere Einheit).

Musterbeispiel 1 – den Prozentwert berechnen

Ein Schreibtisch im Holzwerk Brandl kostet 340 €. Zum Ausverkauf gibt es 20 % Rabatt. Wie viel Euro sind das?

Probe: \( 68 : 20 = 3{,}40 \) und \( 340 : 100 = 3{,}40 \) – derselbe Wert je Prozent ✓. Antwort: Der Rabatt beträgt 68 €.

Musterbeispiel 2 – den Grundwert berechnen

In einer Lieferung Holzschrauben sind 12 % Aktion, das sind 60 kg. Wie viel wiegt die gesamte Lieferung?

Probe: \( 500 : 100 = 5 \) und \( 60 : 12 = 5 \) ✓. Antwort: Die gesamte Lieferung wiegt 500 kg.

Musterbeispiel 3 – den Prozentsatz berechnen

Von 25 bearbeiteten Aufträgen wurden 8 beanstandet. Wie viel Prozent sind das?

Probe: \( 32 : 8 = 4 \) und \( 100 : 25 = 4 \) ✓. Antwort: 32 % der Aufträge wurden beanstandet.

5. Das Wichtigste in Kürze

6. So fragt die Abschlussprüfung

Direkte Proportionalität und Dreisatz stehen selten unter eigener Überschrift in der Prüfung – sie sind das Rechenwerkzeug, mit dem du Sachaufgaben aus Preis, Menge, Zeit oder Prozent löst. Drei typische Formen aus dem Holzwerk-Kontext:

Aufgabe 1 – Proportionalitätsfaktor und Dreisatz. Für 7 zugeschnittene Regalbretter berechnet das Holzwerk Brandl 63 €. Lena braucht 15 Bretter. Bestimme zuerst den Proportionalitätsfaktor \( k \) und dann den Preis für 15 Bretter.

Gegenprobe: \( 135 : 15 = 9 \) – derselbe Faktor wie \( 63 : 7 = 9 \) ✓. Zweite Kontrolle über die Größenordnung: 15 Bretter sind mehr als doppelt so viele wie 7, also muss der Preis zwischen 126 € (\( = 2 \cdot 63 \)) und 189 € (\( = 3 \cdot 63 \)) liegen – 135 € passt ✓. Antwort: 15 Bretter kosten 135 €.

Aufgabe 2 – ist die Zuordnung überhaupt proportional? Herr Sailer legt Jonas zwei Tabellen vor. Tabelle A: Zuschnittzeit für Tischplatten – 4 Platten in 20 min, 6 Platten in 30 min, 10 Platten in 50 min. Tabelle B: Lieferkosten – 2 Paletten für 30 €, 4 Paletten für 50 €. Welche Zuordnung ist direkt proportional?

Gegenprobe: Bei B verdoppelt sich die Anzahl von 2 auf 4, der Preis müsste dann von 30 € auf 60 € steigen – er steigt aber nur auf 50 € ✓. Grund: In B steckt eine feste Grundgebühr, der Graph geht deshalb nicht durch den Ursprung. Antwort: Nur die Zuschnittzeit (Tabelle A) ist direkt proportional mit \( k = 5\ \text{min} \) je Platte.

Aufgabe 3 – Prozentwert über den Dreisatz. Ein Massivholztisch kostet regulär 840 €. Auf der Hausmesse gibt Katharina Brandl 15 % Rabatt. Wie hoch ist der Rabatt in Euro und was zahlt Merves Familie?

Gegenprobe: \( 126 : 840 = 0{,}15 \), also genau \( 15\,\% \) ✓. Zweite Kontrolle: \( 10\,\% \) von 840 € sind 84 €, die Hälfte davon (\( 5\,\% \)) sind 42 € – zusammen \( 84 + 42 = 126 \) ✓. Antwort: Der Rabatt beträgt 126 €, zu zahlen sind 714 €.

7. Typische Fehler – und wie du die Punkte rettest

• Dreisatz auf eine nicht proportionale Zuordnung angewendet. Ursache: Es wird sofort gerechnet, ohne zu prüfen, ob die Quotienten \( y:x \) gleich sind. Vermeidung: Bilde bei einer Tabelle immer zuerst zwei Quotienten – erst wenn sie übereinstimmen, darfst du den Dreisatz benutzen.
• Grundgebühr übersehen. Ursache: Eine feste Pauschale lässt den Graphen neben dem Ursprung starten – die Zuordnung ist dann nicht proportional, sieht aber „linear genug“ aus. Vermeidung: Frage dich, was bei \( x = 0 \) passiert. Kostet es dann schon Geld, ist die Zuordnung nicht direkt proportional.
• Quotient falsch herum gebildet. Ursache: Statt \( k = y : x \) wird \( x : y \) gerechnet, der Faktor wird zum Kehrwert. Vermeidung: Sprich den Faktor immer mit Einheit aus – „9 Euro je Brett“ zeigt sofort, welche Größe oben stehen muss.
• Zwischenschritt „auf 1“ gerundet. Ursache: Der Wert je Einheit ist eine unrunde Zahl und wird vorzeitig gerundet, das Endergebnis stimmt dann nicht mehr. Vermeidung: Runde erst im letzten Schritt – oder rechne gleich mit dem Bruch weiter.
• Prozentwert mit Endpreis verwechselt. Ursache: Die 126 € Rabatt werden als zu zahlender Betrag angegeben. Vermeidung: Lies genau, ob der Anteil oder der verminderte Grundwert gefragt ist – bei Rabatt und Skonto folgt fast immer noch eine Subtraktion.
• Graph als vollständige Gerade gezeichnet. Ursache: Die Halbgerade wird über den Ursprung hinaus in den negativen Bereich verlängert. Vermeidung: Bei Sachaufgaben sind Anzahl, Länge und Preis nicht negativ – zeichne nur die Ursprungshalbgerade im ersten Feld.

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