Mathematik · Mittelschule Bayern · Klasse 9 · M-Zug · Lernbereich 8: Funktionale Zusammenhänge · LehrplanPLUS
Lineare Funktionen: \( y = mx + t \), Steigung und der Graph
In der Regelklasse werden Zusammenhänge beschrieben und abgelesen. Im M-Zug bekommst Du dafür eine Formel – die Funktionsgleichung. Damit rechnest Du jeden Wert aus, ohne zu zeichnen, und Du kannst zwischen Gleichung, Tabelle und Graph in jede Richtung wechseln. Das ist die direkte Vorbereitung auf die Geraden in M10.
Darum geht es in diesem Lernbereich
- Funktionale Abhängigkeit erkennen
- Proportionale und umgekehrt proportionale Zusammenhänge
- Wertetabellen und Graphen
- Fehlende Werte rechnerisch und zeichnerisch bestimmen
- Die lineare Funktionsgleichung \( y = mx + t \)
- Die Steigung eines linearen Graphen
- Die umgekehrt proportionale Funktionsgleichung \( y = \frac{k}{x} \)
- Funktionsgleichung, Tabelle und Graph vergleichen
Du bist an einer anderen Schulart? Dasselbe Thema gibt es auf dem jeweiligen Niveau auch für Realschule Klasse 8 · Wirtschaftsschule Klasse 9. In der Regelklasse wird ohne Funktionsgleichung gearbeitet: Mittelschule R9.
Achtung, hier trennen sich die Wege. Diese Seite ist für den M-Zug. Die fett gedruckten Punkte oben gibt es in der Regelklasse nicht. Die gemeinsamen Grundlagen – proportional, umgekehrt proportional, Tabellen lesen – findest Du ausführlich auf der Regelklassen-Seite.
1. Die Funktionsgleichung der Geraden
Merke: zwei Zahlen beschreiben die ganze Gerade
\( y = m \cdot x + t \)
- \( m \) ist die Steigung. Sie sagt, wie viel \( y \) zunimmt, wenn \( x \) um 1 wächst.
- \( t \) ist der \( y \)-Achsenabschnitt. Das ist der Startwert bei \( x = 0 \) – dort schneidet die Gerade die senkrechte Achse.
Sonderfall: Ist \( t = 0 \), geht die Gerade durch den Ursprung. Dann ist der Zusammenhang proportional, und \( m \) ist der Proportionalitätsfaktor.
Merke: die Steigung berechnen
\( m = \dfrac{\text{Zunahme in } y}{\text{Zunahme in } x} = \dfrac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \)
- \( m > 0 \): Die Gerade steigt von links nach rechts.
- \( m < 0 \): Die Gerade fällt.
- \( m = 0 \): Die Gerade verläuft waagrecht.
Beispiel: Gleichung aus zwei Punkten aufstellen
Eine Gerade verläuft durch \( P(2\,|\,5) \) und \( Q(6\,|\,13) \).
Schritt 1 – Steigung:
\( m = \dfrac{13 – 5}{6 – 2} = \dfrac{8}{4} = 2 \)
Schritt 2 – \( t \) bestimmen, indem Du einen der beiden Punkte einsetzt:
\( 5 = 2 \cdot 2 + t \)
\( 5 = 4 + t \)
\( t = 1 \)
\( y = 2x + 1 \)
Probe mit dem zweiten Punkt: \( 2 \cdot 6 + 1 = 13 \) – stimmt. Die Probe gehört immer mit dem anderen Punkt gemacht, sonst prüfst Du nichts.
2. Vom Sachkontext zur Gleichung
Beispiel: Taxitarif als Funktion
Ein Taxi verlangt \( 3{,}50\ \text{€} \) Grundgebühr und \( 1{,}20\ \text{€} \) je Kilometer.
Die Gleichung ablesen: Die Grundgebühr ist der Startwert, der Kilometerpreis die Steigung.
\( y = 1{,}2x + 3{,}5 \) (\( x \) in km, \( y \) in €)
a) Preis für 8 km:
\( y = 1{,}2 \cdot 8 + 3{,}5 = 9{,}6 + 3{,}5 = 13{,}1 \)
b) Wie weit für 20 €? Jetzt ist \( y \) gegeben und \( x \) gesucht:
\( 20 = 1{,}2x + 3{,}5 \quad |-3{,}5 \)
\( 16{,}5 = 1{,}2x \quad |:1{,}2 \)
\( x = 13{,}75 \)
Antwort: 8 km kosten \( 13{,}10\ \text{€} \); für 20 € kommst Du 13,75 km weit. Das ist der Vorteil der Gleichung: Sie funktioniert in beide Richtungen, ohne Zeichnung und ohne Dreisatz.
Beispiel: zwei Tarife vergleichen
Anbieter A: \( y = 1{,}2x + 3{,}5 \). Anbieter B verlangt keine Grundgebühr, dafür \( 1{,}90\ \text{€} \) je Kilometer, also \( y = 1{,}9x \). Ab welcher Strecke ist A günstiger?
\( 1{,}2x + 3{,}5 = 1{,}9x \quad |-1{,}2x \)
\( 3{,}5 = 0{,}7x \quad |:0{,}7 \)
\( x = 5 \)
Antwort: Bei 5 km kosten beide gleich viel, nämlich \( 1{,}9 \cdot 5 = 9{,}50\ \text{€} \). Ab 5 km ist Anbieter A günstiger.
Zeichnerisch ist das der Schnittpunkt der beiden Geraden. Genau diese Aufgabe löst Du in M10 als Gleichungssystem – und hier liegt die Brücke zu Lernbereich 7.
3. Die umgekehrt proportionale Funktion
Merke
\( y = \dfrac{k}{x} \) mit \( k = x \cdot y \)
Den Faktor \( k \) findest Du, indem Du ein beliebiges Wertepaar multiplizierst. Der Graph heißt Hyperbel: Er nähert sich beiden Achsen an, berührt sie aber nie.
Definitionsbereich: \( x \neq 0 \), denn durch null darf man nicht teilen – genau wie bei den Bruchgleichungen in Lernbereich 7.
Beispiel: Maler auf der Baustelle
4 Maler brauchen 12 Tage. Stell die Funktionsgleichung auf und berechne die Zeit für 6 Maler.
\( k = 4 \cdot 12 = 48 \qquad y = \dfrac{48}{x} \)
\( y = \dfrac{48}{6} = 8 \)
Antwort: 6 Maler brauchen 8 Tage.
Und rückwärts: Wie viele Maler für 4 Tage? \( 4 = \frac{48}{x} \) ergibt \( x = 12 \) – also 12 Maler. Auch das ist eine Bruchgleichung.
4. Zwischen den drei Darstellungen wechseln
Merke: sechs Wege
| von → nach | so gehst Du vor |
|---|---|
| Gleichung → Tabelle | \( x \)-Werte einsetzen und ausrechnen |
| Tabelle → Graph | Punkte eintragen und verbinden |
| Graph → Gleichung | \( t \) an der \( y \)-Achse ablesen, \( m \) am Steigungsdreieck |
| Tabelle → Gleichung | \( m \) aus zwei Zeilen berechnen, dann \( t \) einsetzen |
| Gleichung → Graph | bei \( t \) beginnen, mit dem Steigungsdreieck weitergehen |
| Text → Gleichung | Startwert wird \( t \), Preis je Einheit wird \( m \) |
Zum Zeichnen genügen zwei Punkte – aber trag einen dritten zur Kontrolle ein. Liegt er nicht auf der Geraden, steckt ein Rechenfehler drin.
Beispiel: von der Tabelle zur Gleichung
| \( x \) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \( y \) | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
Steigung: Pro Schritt nach rechts wächst \( y \) um 2, also \( m = 2 \).
Achsenabschnitt: Bei \( x = 0 \) steht in der Tabelle \( y = 1 \), also \( t = 1 \).
\( y = 2x + 1 \)
Probe mit einer anderen Spalte: \( 2 \cdot 4 + 1 = 9 \) – stimmt. Steht \( x = 0 \) nicht in der Tabelle, berechnest Du \( t \), indem Du ein beliebiges Paar in \( y = mx + t \) einsetzt.
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Typische Fehler
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So machst Du es richtig
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Die Formeln dieser Seite auf einen Blick
\( y = m \cdot x + t \)
\( m = \dfrac{\text{Zunahme in } y}{\text{Zunahme in } x} = \dfrac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \)
\( y = \dfrac{k}{x} \)
\( k = x \cdot y \)
Schreib Dir diese Formeln heraus. In der Prüfung gibt es schon Punkte für die richtig hingeschriebene Formel – auch dann, wenn sich beim Rechnen ein Fehler einschleicht.
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Grundlage: LehrplanPLUS Bayern, Mittelschule, Jahrgangsstufe 9, Mittlere-Reife-Klasse, Lernbereich 8 „Funktionale Zusammenhänge“ (Fachlehrplan Mathematik). Alle Rechenbeispiele sind eigene Aufgaben und maschinell gegengerechnet.