Mathematik Wirtschaftsschule Bayern · Klasse 10 · Lernbereich „Raum und Form“ (LehrplanPLUS) · BY
Trigonometrie: Winkel und Seiten im Dreieck
Mit Sinus, Kosinus und Tangens berechnen Sie in rechtwinkligen Dreiecken fehlende Seiten und Winkel. In der Abschlussprüfung kommt das oft an technischen Skizzen vor – etwa an einem Bauteil, einer Rampe oder einem Dach.
- Sinus, Kosinus, Tangens
- Seite berechnen
- Winkel berechnen
- Steigung und Gefälle
- So fragt die Abschlussprüfung
- Typische Fehler
1. Sinus, Kosinus, Tangens
In einem rechtwinkligen Dreieck gelten für den Winkel \( \alpha \):
\( \sin\alpha=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \quad \cos\alpha=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} \quad \tan\alpha=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \)
2. Seite berechnen
Sind ein Winkel und eine Seite bekannt, berechnen Sie eine andere Seite.
Musterbeispiel
Gegeben: \( \alpha=30° \), Hypotenuse \( c=10\,\text{cm} \). Gesucht: Gegenkathete \( a \).
Gegenkathete + Hypotenuse → \( \sin \): \( \sin 30° = \dfrac{a}{10} \)
\( a = 10\cdot\sin 30° = 10\cdot 0,5 = 5\,\text{cm} \)
3. Winkel berechnen
Sind zwei Seiten bekannt, berechnen Sie den Winkel mit der Umkehrfunktion (\( \sin^{-1} \), \( \cos^{-1} \), \( \tan^{-1} \)).
Musterbeispiel
Gegenkathete \( a=3 \), Ankathete \( b=4 \). Gesucht: \( \alpha \).
Gegen + An → \( \tan \): \( \tan\alpha=\dfrac{3}{4}=0,75 \)
\( \alpha=\tan^{-1}(0,75)\approx 36,9° \)
4. Steigung und Gefälle
Die Steigung (oder das Gefälle) einer Strecke berechnen Sie über den Tangens:
\( \tan\varphi=\dfrac{\text{Höhenunterschied}}{\text{horizontale Entfernung}} \qquad \text{Gefälle in \%}=\tan\varphi\cdot 100 \)
5. So fragt die Abschlussprüfung
★ Prüfungsaufgabe 2025, Teil B (Original) – „Seifenkisten-Rennauto“
An einem Bauplan waren Winkel und Seiten eines Rennautos gegeben. Gesucht waren u. a. eine fehlende Länge (über Tangens) und ein Winkel im Dreieck (über Umkehrfunktion). Zusätzlich war zu prüfen, ob ein Gefälle unter der erlaubten Grenze von 8 % liegt – genau die Formel aus Abschnitt 4.
6. Typische Fehler
✗ Falsch:
Gegen- und Ankathete verwechselt (hängt vom betrachteten Winkel ab).
✓ Richtig:
Die Gegenkathete liegt gegenüber dem Winkel, die Ankathete am Winkel.
Tipp: Zuerst den Winkel markieren, dann Gegen-/Ankathete zuordnen.
✗ Falsch:
Taschenrechner im falschen Modus (Bogenmaß statt Grad).
✓ Richtig:
Vor der Prüfung auf DEG (Grad) stellen.
Tipp: Testen: \( \sin 30° \) muss 0,5 ergeben. Sonst Modus prüfen.
Weiterlernen
- Satz des Pythagoras – die Grundlage im rechtwinkligen Dreieck.
- Körpergeometrie – wo Trigonometrie an 3D-Figuren gebraucht wird.
✐ Jetzt selbst üben – im Aufgabengenerator
Berechnen Sie Seiten und Winkel mit Sinus, Kosinus und Tangens – mit Skizze und Lösungsweg, auf Abschlussprüfungsniveau der Wirtschaftsschule Klasse 10.