Volumen von Rotationskörpern
Mathematik FOS/BOS 13 · Bayern · Analysis (Technik)
Dreht man die Fläche zwischen einem Graphen und der \(x\)-Achse um die \(x\)-Achse, entsteht ein Rotationskörper. Sein Volumen berechnet man mit der Integralrechnung: jede Dünnscheibe ist ein Kreiszylinder mit Radius \(f(x)\).
1 Rotation um die \(x\)-Achse
Jede Scheibe an der Stelle \(x\) ist ein Kreis mit Radius \(f(x)\), also Fläche \(\pi\,[f(x)]^{2}\). Aufsummiert (integriert) ergibt sich:
\(\displaystyle V=\pi\int_a^b \big[f(x)\big]^{2}\,dx\)
Wichtig: Erst \(f(x)\) quadrieren, dann integrieren – und den Faktor \(\pi\) nicht vergessen.
2 Beispiel: Paraboloid
Graph von \(f(x)=\sqrt{x}\) über \([0;4]\), rotiert um die \(x\)-Achse.
| \(\displaystyle V=\pi\int_0^4\big(\sqrt{x}\big)^{2}\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx\) | quadrieren |
| \(\displaystyle =\pi\Big[\tfrac{1}{2}x^{2}\Big]_0^4=\pi\cdot 8\) | integrieren, Grenzen einsetzen |
| \(V=8\pi\approx 25{,}13\) | Ergebnis (Volumeneinheiten) |
3 Beispiel: Kegel (Kontrolle mit Formel)
Graph von \(f(x)=\tfrac{1}{2}x\) über \([0;4]\) erzeugt einen Kegel (Radius \(2\), Höhe \(4\)).
| \(\displaystyle V=\pi\int_0^4\Big(\tfrac{1}{2}x\Big)^{2}dx=\pi\int_0^4\tfrac{1}{4}x^{2}\,dx\) | quadrieren |
| \(\displaystyle =\pi\Big[\tfrac{1}{12}x^{3}\Big]_0^4=\pi\cdot\tfrac{64}{12}=\tfrac{16}{3}\pi\) | integrieren |
Kontrolle mit der Kegelformel: \(V=\tfrac{1}{3}\pi r^{2}h=\tfrac{1}{3}\pi\cdot 4\cdot 4=\tfrac{16}{3}\pi\) ✓
4 Rotation um die \(y\)-Achse
Dreht man um die \(y\)-Achse, löst man \(y=f(x)\) nach \(x=g(y)\) auf (Umkehrfunktion) und integriert über \(y\):
\(\displaystyle V=\pi\int_c^d \big[g(y)\big]^{2}\,dy\)
Dabei sind \(c,d\) die \(y\)-Werte, die den Körper begrenzen.
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
\(V=\pi\int_a^b f(x)\,dx\) rechnen (nicht quadriert).
✓ Richtig
Der Radius geht quadriert ein: \(V=\pi\int_a^b [f(x)]^{2}\,dx\).
✗ Falsch
Den Faktor \(\pi\) vergessen.
✓ Richtig
\(\pi\) gehört zur Kreisfläche jeder Scheibe – immer davor schreiben.
✗ Falsch
Bei Rotation um die \(y\)-Achse weiter über \(x\) integrieren.
✓ Richtig
Erst \(x=g(y)\) bilden und über \(y\) (von \(c\) bis \(d\)) integrieren.
Auf einen Blick
- um die \(x\)-Achse: \(V=\pi\int_a^b [f(x)]^{2}\,dx\).
- um die \(y\)-Achse: \(V=\pi\int_c^d [g(y)]^{2}\,dy\) mit \(x=g(y)\).
- Ablauf: Radius \(=f(x)\) → quadrieren → integrieren → mit \(\pi\) multiplizieren.
- Merke: \(f(x)=\sqrt{x}\) auf \([0;4]\) gibt \(V=8\pi\).
✏️ Jetzt selbst üben – im Aufgabengenerator
Erstelle dir zu diesem Thema beliebig viele Übungsaufgaben mit vollständigem Lösungsweg – passend zu FOS/BOS Bayern und deiner Klasse. Kostenloses Konto erstellen und direkt testen.
Aufgaben erzeugen →🎮 Live-Quiz für die Klasse
Teste dein Wissen im interaktiven Quiz – mit Sofort-Erklärung nach jeder Frage. Für Lehrkräfte: eigenes Klassen-Quiz starten.
Live-Quiz entdecken →💡 Mehr auf lern.de
Entdecke weitere kostenlose Lernangebote für deine Schulart: