Weitere Integrationsverfahren
Mathematik FOS/BOS 13 · Bayern · Analysis (Technik)
Nicht jede Funktion lässt sich direkt aufleiten. Drei Verfahren helfen: Substitution, partielle Integration und Partialbruchzerlegung. Entscheidend ist, das passende Verfahren am Aufbau des Integranden zu erkennen.
1 Substitution
Lineare Substitution: \(\displaystyle\int f(ax+b)\,dx=\tfrac{1}{a}\,F(ax+b)+C\).
Allgemein: Setze \(u=g(x)\), \(du=g'(x)\,dx\). Besonders wichtig ist \(\displaystyle\int \frac{g'(x)}{g(x)}\,dx=\ln|g(x)|+C\).
Beispiele.
| \(\displaystyle\int e^{3x}\,dx=\tfrac{1}{3}e^{3x}+C\) | lineare Substitution |
| \(\displaystyle\int (2x+1)^{5}\,dx=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{(2x+1)^{6}}{6}+C=\tfrac{(2x+1)^{6}}{12}+C\) | lineare Substitution |
| \(\displaystyle\int 2x\,e^{x^{2}}\,dx=e^{x^{2}}+C\) | \(u=x^{2},\,du=2x\,dx\) |
| \(\displaystyle\int \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx=\ln(x^{2}+1)+C\) | \(\tfrac{g‘}{g}\)-Form |
2 Partielle Integration (Produktintegration)
Aus der Produktregel folgt:
\(\displaystyle\int u\cdot v’\,dx=u\cdot v-\int u’\cdot v\,dx\)
Ein Faktor wird \(u\) (wird abgeleitet), der andere \(v’\) (wird aufgeleitet). Wähle \(u\) so, dass \(u’\) einfacher wird.
Beispiel A. \(\displaystyle\int x\,e^{x}\,dx\)
| \(u=x,\;v’=e^{x}\Rightarrow u’=1,\;v=e^{x}\) | Wahl |
| \(\displaystyle =x\,e^{x}-\int 1\cdot e^{x}\,dx\) | Formel |
| \(=x\,e^{x}-e^{x}+C=(x-1)e^{x}+C\) | Ergebnis |
Beispiel B. \(\displaystyle\int \ln(x)\,dx\) (Trick: \(v’=1\))
| \(u=\ln x,\;v’=1\Rightarrow u’=\tfrac{1}{x},\;v=x\) | Wahl |
| \(\displaystyle =x\ln x-\int x\cdot\tfrac{1}{x}\,dx=x\ln x-\int 1\,dx\) | Formel |
| \(=x\ln x-x+C\) | Ergebnis |
3 Partialbruchzerlegung
Einen echt gebrochen-rationalen Term mit faktorisiertem Nenner zerlegt man in einfache Brüche, die man einzeln integriert (meist zu \(\ln\)-Termen).
Beispiel. \(\displaystyle\int \frac{1}{(x-1)(x+1)}\,dx\)
| \(\displaystyle\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}\) | Ansatz |
| \(1=A(x+1)+B(x-1)\) | auf Hauptnenner |
| \(x=1:\;1=2A\Rightarrow A=\tfrac12\); \(x=-1:\;1=-2B\Rightarrow B=-\tfrac12\) | Einsetzmethode |
| \(\displaystyle\int\!\Big(\tfrac{1/2}{x-1}-\tfrac{1/2}{x+1}\Big)dx=\tfrac12\ln|x-1|-\tfrac12\ln|x+1|+C\) | integrieren |
4 Welches Verfahren wann?
| Erkennungsmerkmal | Verfahren |
|---|---|
| innere Funktion, deren Ableitung (bis auf Faktor) als Faktor auftritt; \(f(ax+b)\) | Substitution |
| Produkt zweier Funktionen (z. B. \(x\cdot e^{x}\), \(x\cdot\sin x\), \(\ln x\)) | partielle Integration |
| echt gebrochen-rational mit faktorisierbarem Nenner | Partialbruchzerlegung |
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
Bei linearer Substitution den Faktor \(\tfrac{1}{a}\) vergessen.
✓ Richtig
\(\int e^{3x}dx=\tfrac{1}{3}e^{3x}\) – durch die innere Ableitung \(a\) teilen.
✗ Falsch
Bei partieller Integration \(u\) und \(v’\) ungünstig wählen.
✓ Richtig
\(u\) so wählen, dass \(u’\) einfacher wird (z. B. \(u=x\), nicht \(u=e^{x}\)).
✗ Falsch
Beim \(\ln\)-Term die Betragsstriche weglassen.
✓ Richtig
\(\int\tfrac{g‘}{g}dx=\ln|g(x)|+C\) – Betrag nicht vergessen.
Auf einen Blick
- Substitution: \(\int f(ax+b)dx=\tfrac1a F(ax+b)\); \(\int\tfrac{g‘}{g}dx=\ln|g|\).
- Partielle Integration: \(\int u\,v’=u\,v-\int u’\,v\) – \(u\) ableiten (einfacher), \(v’\) aufleiten.
- Partialbruch: Nenner faktorisieren, in einfache Brüche zerlegen, einzeln (zu \(\ln\)) integrieren.
- Merke: \(\int x\,e^{x}dx=(x-1)e^{x}\), \(\int\ln x\,dx=x\ln x-x\).
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