Skalar-, Vektor- und Spatprodukt
Mathematik FOS/BOS · Bayern · Analytische Geometrie
Drei Produkte von Vektoren – drei geometrische Werkzeuge: das Skalarprodukt liefert Winkel, das Vektorprodukt liefert Flächen (und Normalenvektoren), das Spatprodukt liefert Volumina.
1 Skalarprodukt – Winkel und Orthogonalität
Skalarprodukt (Ergebnis: eine Zahl):
\(\vec a\circ\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)
Anwendungen:
- Orthogonalität: \(\vec a\perp\vec b\ \Leftrightarrow\ \vec a\circ\vec b=0\)
- Betrag: \(|\vec a|=\sqrt{\vec a\circ\vec a}\)
- Winkel: \(\cos\varphi=\dfrac{\vec a\circ\vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}\)
Beispiel A (Orthogonalität, hilfsmittelfrei). Stehen \(\vec u=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec v=\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}\) senkrecht?
| \(\vec u\circ\vec v=1\cdot2+2\cdot1+2\cdot(-2)=2+2-4=0\) | ✓ ja, orthogonal |
Beispiel B (Winkel, mit Hilfsmittel). Winkel zwischen \(\vec a=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\) und \(\vec b=\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}\).
| \(\vec a\circ\vec b=0+8+3=11,\quad |\vec a|=3,\quad |\vec b|=5\) | |
| \(\cos\varphi=\dfrac{11}{3\cdot5}=\dfrac{11}{15}\ \Rightarrow\ \varphi\approx 42{,}8^\circ\) |
2 Vektorprodukt – Normalenvektor und Fläche
Vektorprodukt (Kreuzprodukt) (Ergebnis: ein Vektor, senkrecht auf \(\vec a\) und \(\vec b\)):
\(\vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{pmatrix}\)
Anwendungen: Normalenvektor einer Ebene; Flächeninhalt
\(A_{\text{Parallelogramm}}=|\vec{AB}\times\vec{AC}|\qquad A_{\triangle}=\tfrac12\,|\vec{AB}\times\vec{AC}|\)
Beispiel C. Flächeninhalt des Dreiecks mit \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\), \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}\).
| \(\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{pmatrix}2\cdot2-1\cdot1\\1\cdot(-2)-2\cdot2\\2\cdot1-2\cdot(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-6\\6\end{pmatrix}\) | |
| \(|\vec{AB}\times\vec{AC}|=\sqrt{3^2+(-6)^2+6^2}=\sqrt{81}=9\) | |
| \(A_{\triangle}=\tfrac12\cdot 9=4{,}5\ \text{[FE]}\) |
3 Spatprodukt – Volumen und lineare Abhängigkeit
Spatprodukt (gemischt, Ergebnis: eine Zahl): \(\vec a\circ(\vec b\times\vec c)\).
Anwendungen:
- Volumen: \(V_{\text{Spat}}=|\vec{AB}\circ(\vec{AC}\times\vec{AD})|\), \(\ V_{\text{Pyramide}}=\tfrac16\,|\vec{AB}\circ(\vec{AC}\times\vec{AD})|\)
- Lineare Abhängigkeit: Spatprodukt \(=0\ \Leftrightarrow\) die drei Vektoren sind komplanar (liegen in einer Ebene).
Beispiel D. Volumen der Pyramide mit \(A(1\mid1\mid1)\), \(B(-2\mid2\mid2)\), \(C(-2\mid4\mid1)\), \(D(0\mid2\mid3)\).
| \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix},\ \vec{AC}=\begin{pmatrix}-3\\3\\0\end{pmatrix},\ \vec{AD}=\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}\) | |
| \(\vec{AC}\times\vec{AD}=\begin{pmatrix}6\\6\\0\end{pmatrix}\) | |
| \(\vec{AB}\circ\begin{pmatrix}6\\6\\0\end{pmatrix}=-18+6+0=-12\) | |
| \(V_{\text{Pyramide}}=\tfrac16\cdot|-12|=2\ \text{[VE]}\) |
Die drei Produkte im Überblick
| Produkt | Ergebnis | Anwendung |
|---|---|---|
| Skalarprodukt \(\vec a\circ\vec b\) | Zahl | Winkel, Orthogonalität, Betrag |
| Vektorprodukt \(\vec a\times\vec b\) | Vektor (\(\perp\) beiden) | Normalenvektor, Flächeninhalt |
| Spatprodukt \(\vec a\circ(\vec b\times\vec c)\) | Zahl | Volumen, lineare Abhängigkeit |
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
Skalar- und Vektorprodukt verwechseln.
✓ Richtig
Skalarprodukt → Zahl; Vektorprodukt → Vektor. Das Spatprodukt ist wieder eine Zahl.
✗ Falsch
Beim Winkel das Teilen durch \(|\vec a|\cdot|\vec b|\) vergessen.
✓ Richtig
\(\cos\varphi=\dfrac{\vec a\circ\vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}\) – danach \(\cos^{-1}\).
✗ Falsch
Beim Dreieck den Faktor \(\tfrac12\) vergessen.
✓ Richtig
\(A_{\triangle}=\tfrac12|\vec{AB}\times\vec{AC}|\); ohne \(\tfrac12\) erhält man das Parallelogramm.
✗ Falsch
Beim Volumen den Betrag oder (bei der Pyramide) den Faktor \(\tfrac16\) vergessen.
✓ Richtig
Volumen ist positiv: Betrag nehmen. Spat: \(|\ldots|\); Pyramide/Tetraeder: \(\tfrac16|\ldots|\).
Auf einen Blick
- Skalarprodukt (Zahl): \(\cos\varphi=\tfrac{\vec a\circ\vec b}{|\vec a||\vec b|}\); \(=0\Leftrightarrow\) orthogonal.
- Vektorprodukt (Vektor \(\perp\) beiden): Normalenvektor; \(A_{\triangle}=\tfrac12|\vec a\times\vec b|\).
- Spatprodukt (Zahl): \(V_{\text{Pyr}}=\tfrac16|\vec a\circ(\vec b\times\vec c)|\); \(=0\Leftrightarrow\) komplanar.
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