Bernoulli-Ketten
Mathematik FOS/BOS 13 · Bayern · Stochastik (Technik)
Viele Zufallsversuche kennen nur zwei Ausgänge: Treffer oder Niete, funktioniert oder defekt, vegetarisch oder nicht. Wiederholt man einen solchen Versuch mehrfach unter gleichen Bedingungen, entsteht eine Bernoulli-Kette. Wir entwickeln daraus Schritt für Schritt die Binomialverteilung – das zentrale Werkzeug der Stochastik dieser Jahrgangsstufe.
Durchgehendes Beispiel. In einem Restaurant bestellen erfahrungsgemäß \(20\,\%\) der Gäste vegetarisch. „Vegetarisch“ ist der Treffer (\(p=0{,}2\)), alles andere die Niete (\(q=0{,}8\)).
1 Bernoulli-Experiment und Bernoulli-Kette
Bernoulli-Experiment. Ein Zufallsversuch mit genau zwei Ausgängen: Treffer (Wahrscheinlichkeit \(p\)) und Niete (Wahrscheinlichkeit \(q=1-p\)).
Bernoulli-Kette der Länge \(n\). \(n\)-fache Wiederholung, wobei \(p\) konstant bleibt und die Versuche unabhängig sind. Die Zufallsgröße \(X\) zählt die Treffer.
Faustregel: „Ziehen mit Zurücklegen“ ist eine Bernoulli-Kette, „ohne Zurücklegen“ nicht (dort ändert sich \(p\)).
2 Eine feste Reihenfolge: die Pfadregel
Stufe 1-2 · hilfsmittelfreiEin bestimmter Ablauf am Zeitstrahl
Stellen Sie sich die nächsten fünf Gäste als Zeitstrahl vor. Gefragt ist zunächst ein ganz bestimmter Ablauf: Die ersten zwei bestellen vegetarisch, die restlichen drei nicht. Nach der 1. Pfadregel multipliziert man entlang des Pfades:
Wichtig: Jeder Ablauf mit \(2\) Treffern und \(3\) Nieten hat denselben Wert \(0{,}2^{2}\cdot 0{,}8^{3}=0{,}02048\) – egal, an welchen Positionen die Treffer stehen. Nur die Anzahl der Treffer geht in den Wert ein, nicht ihre Lage.
3 Genau \(k\) Treffer in beliebiger Reihenfolge
Stufe 1 · GrundideeWarum ein Binomialkoeffizient?
Fragt man nach „genau zwei vegetarisch“ ohne feste Reihenfolge, gibt es mehrere passende Abläufe. Das Baumdiagramm zeigt es für die kürzere Kette \(n=3\): jeder Pfad mit \(k\) Treffern hat \(p^{k}q^{\,n-k}\), und es gibt genau \(\binom{n}{k}\) solche Pfade.
Zurück zum Restaurant mit \(n=5\): „genau zwei von fünf vegetarisch“ hat also die Wahrscheinlichkeit \(\binom{5}{2}\cdot 0{,}2^{2}\cdot 0{,}8^{3}=10\cdot 0{,}02048=0{,}2048\).
Formel von Bernoulli / Binomialverteilung. Bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) mit Trefferwahrscheinlichkeit \(p\):
\(\displaystyle P(X=k)=B(n;p;k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}\)
\(\binom{n}{k}\) („\(n\) über \(k\)“, Taste nCr) zählt die Anordnungen; \(p^{k}q^{\,n-k}\) ist der Wert eines Pfades.
Stufe 2 · hilfsmittelfreiKontrolle mit der fairen Münze
Beispiel A. Faire Münze, \(4\) Würfe, Treffer = „Zahl“ (\(p=0{,}5\)). Genau \(2\)-mal Zahl:
| \(P(X=2)=\binom{4}{2}0{,}5^{2}0{,}5^{2}=6\cdot0{,}5^{4}=\tfrac{6}{16}=0{,}375\) |
4 Die vier Aufgabentypen – Formulierung richtig übersetzen
In der Prüfung entscheidet die genaue Formulierung, welche Trefferzahlen gemeint sind. Wir bleiben beim Restaurant, jetzt mit \(n=20\) Gästen und \(p=0{,}2\); \(X\) zählt die vegetarischen Bestellungen. Zentral ist die kumulierte (summierte) Binomialverteilung:
\(\displaystyle F_{p}^{\,n}(k)=P(X\le k)=\sum_{i=0}^{k}B(n;p;i)\)
Sie steht als eigene Tabelle im Tafelwerk. Die folgende Übersetzung ist der Schlüssel – achten Sie auf die Grenzen:
| Formulierung | Ereignis | Berechnung |
|---|---|---|
| genau \(k\) | \(X=k\) | \(P(X=k)=B(n;p;k)\) |
| höchstens \(k\) | \(X\le k\) | \(F_{p}^{\,n}(k)\) |
| weniger als \(k\) | \(X \lt k\), also \(X\le k-1\) | \(F_{p}^{\,n}(k-1)\) |
| mindestens \(k\) | \(X\ge k\) | \(1-F_{p}^{\,n}(k-1)\) |
| mehr als \(k\) | \(X \gt k\), also \(X\ge k+1\) | \(1-F_{p}^{\,n}(k)\) |
| von \(m\) bis \(g\) (mind. \(m\), höchst. \(g\)) | \(m\le X\le g\) | \(F_{p}^{\,n}(g)-F_{p}^{\,n}(m-1)\) |
Am TaschenrechnerCasio fx-87DE X ClassWiz
Einzelwahrscheinlichkeit \(P(X=k)=B(n;p;k)\) (im Gerät „Binomial-Dichte“):
MENU442 → dann nacheinander \(k\) = \(n\) = \(p\) =
Beispiel \(P(X=3)\) bei \(n=20,\ p=0{,}2\): MENU442 3=20=0,2= → \(0{,}20536\)
Kumulierte Wahrscheinlichkeit \(F_{p}^{\,n}(k)=P(X\le k)\) („Kumul. Binom.-V.“):
MENU4▼12 → dann \(k\) = \(n\) = \(p\) =
Beispiel \(F_{0{,}2}^{\,20}(5)=P(X\le 5)\): MENU4▼12 5=20=0,2= → \(0{,}80421\)
Wichtig: Eingabereihenfolge ist \(k\), dann \(n\), dann \(p\). Für mehrere \(k\)-Werte gibt es den Listen-Modus (1 statt 2 am Ende).
Stufe 3-4 · mit HilfsmittelAlle vier Typen am selben Beispiel
Typ 1 – genau \(k\): „Genau \(3\) der \(20\) Gäste bestellen vegetarisch.“
| \(P(X=3)=B(20;0{,}2;3)=\binom{20}{3}0{,}2^{3}0{,}8^{17}\approx 0{,}205\) | Einzelwahrscheinlichkeit |
Am Taschenrechner: Binomial-Dichte MENU442 3=20=0,2= → 0,20536
Typ 2 – höchstens \(k\): „Höchstens \(5\).“
| \(P(X\le 5)=F_{0{,}2}^{\,20}(5)\approx 0{,}804\) | kumuliert, direkt aus der Tabelle |
Am Taschenrechner: Kumul. Binom.-V. MENU4▼12 5=20=0,2= → 0,80421
Typ 3 – mindestens \(k\): „Mindestens \(4\).“ Über das Gegenereignis auf Typ 2 zurückführen:
| \(P(X\ge 4)=1-P(X\le 3)=1-F_{0{,}2}^{\,20}(3)=1-0{,}411=0{,}589\) |
Am Taschenrechner: erst \(F(3)\): Kumul. Binom.-V. MENU4▼12 3=20=0,2= → 0,41145, dann 1− 0,41145 = → 0,58855
Typ 4 – von \(m\) bis \(g\): „Mindestens \(4\), höchstens \(7\).“
| \(P(4\le X\le 7)=F_{0{,}2}^{\,20}(7)-F_{0{,}2}^{\,20}(3)=0{,}968-0{,}411=0{,}556\) |
Am Taschenrechner: \(F(7)\): MENU4▼12 7=20=0,2= → 0,96786; \(F(3)=0{,}41145\) (wie oben); dann 0,96786 − 0,41145 = → 0,55641
Alles auf zwei Grundtypen zurückführen. Jede Binomial-Aufgabe lässt sich schreiben mit
\(P(X=k)=B(n;p;k)\quad\text{(Typ 1)}\qquad\text{und}\qquad P(X\le k)=F_{p}^{\,n}(k)\quad\text{(Typ 2)}.\)
Damit gilt: \(P(X\ge k)=1-F_{p}^{\,n}(k-1)\) und \(P(m\le X\le g)=F_{p}^{\,n}(g)-F_{p}^{\,n}(m-1)\).
Stufe 4 · PrüfungAnwendung: Qualitätskontrolle
Beispiel B. Ein Bauteil ist mit \(5\,\%\) Wahrscheinlichkeit defekt; \(20\) Bauteile werden geprüft (\(n=20,\ p=0{,}05\)).
| \(P(\text{mind. 1 defekt})=1-P(X=0)=1-0{,}95^{20}\approx 0{,}642\) | „mindestens 1“ via Gegenereignis |
| \(P(\text{höchstens 2})=F_{0{,}05}^{\,20}(2)\approx 0{,}925\) | kumuliert |
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
„Genau \(k\)“ wie eine feste Reihenfolge nur mit \(p^{k}q^{\,n-k}\) rechnen.
✓ Richtig
Feste Reihenfolge = ein Pfad; „genau \(k\)“ = alle Anordnungen → mit \(\binom{n}{k}\) multiplizieren.
✗ Falsch
„Weniger als \(k\)“ als \(X\le k\) oder „mehr als \(k\)“ als \(X\ge k\) übersetzen.
✓ Richtig
„Weniger als \(k\)“ \(=X\le k-1\); „mehr als \(k\)“ \(=X\ge k+1\). Die Grenze gehört nicht dazu.
✗ Falsch
„Mindestens \(4\)“ als \(1-F(4)\) rechnen.
✓ Richtig
„Mindestens \(k\)“ \(=1-F_{p}^{\,n}(k-1)\), hier \(1-F(3)\) – auf \(k-1\) achten.
✗ Falsch
„Ziehen ohne Zurücklegen“ als Bernoulli-Kette behandeln.
✓ Richtig
Nur bei konstantem \(p\) (mit Zurücklegen) ist es eine Bernoulli-Kette.
Auf einen Blick
- Feste Reihenfolge: ein Pfad, Wert \(p^{k}q^{\,n-k}\) (Pfadregel).
- Genau \(k\): \(P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{\,n-k}\) – \(\binom{n}{k}\) zählt die Anordnungen.
- Kumuliert: \(F_{p}^{\,n}(k)=P(X\le k)\) (Tafelwerk).
- Übersetzung: höchstens \(=\le k\), weniger als \(=\le k-1\), mindestens \(=\ge k\), mehr als \(=\ge k+1\).
- Zwei Grundtypen: \(P(X=k)\) und \(F_{p}^{\,n}(k)\) – alles andere darauf zurückführen.
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