Produkt- und Kettenregel
Mathematik FOS/BOS 12 · Bayern · Analysis (Technik und Nichttechnik)
Summen, Differenzen und Vielfache leiten Sie längst ab: \((upm v)’=u’\pm v’\) und \((k\cdot u)’=k\cdot u’\). Für Produkte und Verkettungen von Funktionen brauchen Sie zwei neue Regeln – die Produktregel und die Kettenregel. Damit können Sie endlich auch Terme wie \(x\cdot e^{x}\) oder \(e^{-0{,}1t}\) ableiten, die im vorigen Kapitel offengeblieben sind.
1 Verkettung: innere und äußere Funktion
Bei einer Verkettung wird eine Funktion in eine andere eingesetzt – wie zwei hintereinander geschaltete „Funktionenmaschinen“. Die zuerst ausgeführte Funktion heißt innere Funktion, die zweite äußere Funktion.
Das Erkennen von innerer und äußerer Funktion ist der Schlüssel zur Kettenregel.
2 Die Produktregel
Stufe 2 · hilfsmittelfreiProdukte ableiten
Produktregel. Für \(f(x)=u(x)\cdot v(x)\) gilt:
\(f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)\)
Merksatz: „erste abgeleitet mal zweite, plus erste mal zweite abgeleitet“.
Beispiel A. \(f(x)=x^{2}\cdot e^{x}\).
| \(u=x^{2}, v=e^{x}\Rightarrow u’=2x, v’=e^{x}\) | |
| \(f'(x)=2x\cdot e^{x}+x^{2}\cdot e^{x}\) | Produktregel |
| \(f'(x)=(x^{2}+2x),e^{x}=x(x+2),e^{x}\) | ausklammern |
Beispiel B. \(f(x)=(3x-1)\cdot e^{x}\).
| \(u=3x-1, v=e^{x}\Rightarrow u’=3, v’=e^{x}\) | |
| \(f'(x)=3,e^{x}+(3x-1),e^{x}=(3x+2),e^{x}\) | Produktregel |
3 Die Kettenregel
Stufe 3 · AusbauVerkettungen ableiten – „nachdifferenzieren“
Kettenregel. Für \(f(x)=vbigl(u(x)\bigr)\) gilt:
\(f'(x)=v’\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x)\)
In Worten: äußere Ableitung mal innere Ableitung – die innere Funktion wird „nachdifferenziert“.
Für die e-Funktion ergibt sich die wichtigste Sonderform:
\(\bigl(e^{g(x)}\bigr)’=g'(x)\cdot e^{g(x)}\)
Beispiel C. \(f(x)=e^{2x-1}\).
| innere \(u=2x-1\Rightarrow u’=2\); äußere \(e^{u}\) | |
| \(f'(x)=e^{2x-1}\cdot 2=2,e^{2x-1}\) | nachdifferenziert |
Beispiel D (Anschluss an die Abkühlung aus LB 2). \(f(t)=e^{-0{,}1t}\).
| innere \(u=-0{,}1t\Rightarrow u’=-0{,}1\) | |
| \(f'(t)=-0{,}1\cdot e^{-0{,}1t}\) | nachdifferenziert |
Beispiel E (ganzrational). \(f(x)=(x^{2}+1)^{3}\).
| innere \(u=x^{2}+1\Rightarrow u’=2x\); äußere \(u^{3}\) | |
| \(f'(x)=3(x^{2}+1)^{2}\cdot 2x=6x,(x^{2}+1)^{2}\) | nachdifferenziert |
4 Beide Regeln kombiniert
Stufe 4 · PrüfungsniveauProdukt- und Kettenregel zusammen
Beispiel F. Leiten Sie \(f(x)=x\cdot e^{-0{,}5x}\) ab und bestimmen Sie den Hochpunkt. (Solche verknüpften e-Funktionen sind in den Abschlussprüfungen der Standardfall.)
Ableiten (Produktregel, innen Kettenregel)
| \(u=x, v=e^{-0{,}5x}\Rightarrow u’=1, v’=-0{,}5,e^{-0{,}5x}\) | (v‘) mit Kettenregel |
| \(f'(x)=1\cdot e^{-0{,}5x}+x\cdot(-0{,}5,e^{-0{,}5x})\) | Produktregel |
| \(f'(x)=e^{-0{,}5x},(1-0{,}5x)\) | \(e^{-0{,}5x}\) ausklammern |
Hochpunkt: \(f'(x)=0\)
| \(e^{-0{,}5x},(1-0{,}5x)=0\) | \(e^{-0{,}5x} \gt 0\) immer |
| \(1-0{,}5x=0\Rightarrow x=2\) | |
| \(f(2)=2,e^{-1}\approx 0{,}74\) |
Wichtiger Kniff: Da \(e^{(\ldots)}\) nie null wird, kommen die Nullstellen von (f‘) nur aus dem anderen Faktor. Das nutzen Sie in der ganzen Kurvendiskussion von e-Funktionen (nächstes Kapitel).
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
Produkte faktorweise ableiten: \((u\cdot v)’=u’\cdot v’\).
✓ Richtig
Produktregel: \((u\cdot v)’=u’v+uv’\).
✗ Falsch
Bei \(e^{g(x)}\) das Nachdifferenzieren vergessen: \((e^{2x-1})’=e^{2x-1}\).
✓ Richtig
Innere Ableitung nicht vergessen: \((e^{2x-1})’=2,e^{2x-1}\).
✗ Falsch
Bei \((x^{2}+1)^{3}\) nur die äußere Potenz ableiten: \(3(x^{2}+1)^{2}\).
✓ Richtig
Mal innere Ableitung: \(3(x^{2}+1)^{2}\cdot 2x\).
✗ Falsch
Beim Nullsetzen von (f‘) den Faktor \(e^{(\ldots)}=0\) setzen.
✓ Richtig
\(e^{(\ldots)}\gt 0\) ist nie null – nur der andere Faktor liefert Nullstellen.
Auf einen Blick
- Produktregel: \((u\cdot v)’=u’v+uv’\).
- Kettenregel: \(\bigl(v(u(x))\bigr)’=v'(u(x))\cdot u'(x)\) – äußere mal innere Ableitung.
- e-Sonderform: \(\bigl(e^{g(x)}\bigr)’=g'(x),e^{g(x)}\).
- Trick: \(e^{(\ldots)}\gt 0\) – Nullstellen von (f‘) kommen nur aus dem übrigen Faktor.
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