Mathematik FOS/BOS Bayern · 11. Klasse · Analysis (Technik & Nichttechnik) · BY

Quadratische Funktionen und Parabelscharen

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Die Grundlagen – Scheitelpunktform, allgemeine Form, Nullstellen – kennen Sie aus der Mittelstufe; hier fassen wir sie kompakt zusammen. Der FOS-Schwerpunkt liegt auf den quadratischen Ungleichungen und vor allem auf Parabelscharen: Funktionen mit einem Parameter, deren Scheitelpunkte, Nullstellenanzahl und Lage zu einer Geraden man in Abhängigkeit vom Parameter untersucht. Das ist die Denkweise, die in die Kurvendiskussion von Scharen führt.

1. Grundlagen kompakt (Wiederholung aus der Mittelstufe)

Eine quadratische Funktion hat die Form \(f(x)=ax^2+bx+c\) mit ( aneq 0 ). Ihr Graph ist eine Parabel.

💡 Das Wichtigste auf einen Blick

  • Öffnung: \(a \gt 0\) nach oben (Minimum im Scheitel), \(a \lt 0\) nach unten (Maximum).
  • Streckung: \(|a| \gt 1\) gestreckt (schmaler), \(|a| \lt 1\) gestaucht (breiter) als die Normalparabel.
  • Nullstellen: mit der Lösungsformel \(x_{1,2}=\dfrac{-bpm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\). Die Diskriminante \(D=b^2-4ac\) entscheidet: \(D \gt 0\) zwei, \(D=0\) eine, \(D \lt 0\) keine Nullstelle.
  • Scheitel-x: \(x_S=-\dfrac{b}{2a}\), dann \(y_S=f(x_S)\).

2. Scheitelpunktform und allgemeine Form

Dieselbe Parabel lässt sich auf zwei Arten schreiben:

💡 Die beiden Formen

  • Scheitelpunktform: \(f(x)=a(x-x_S)^2+y_S\) – hier liest man den Scheitel \(S(x_Smid y_S)\) direkt ab.
  • Allgemeine Form: \(f(x)=ax^2+bx+c\).

✎ Von der Scheitelpunktform zur allgemeinen Form: \(f(x)=0{,}5(x-3)^2+2{,}5\).

Wir multiplizieren die Klammer mit der binomischen Formel aus:

\(\begin{aligned} f(x) &= 0{,}5(x-3)^2+2{,}5 \ &= 0{,}5,(x^2-6x+9)+2{,}5 \ &= 0{,}5x^2-3x+4{,}5+2{,}5 \ &= 0{,}5x^2-3x+7 \end{aligned}\)

Umgekehrt kommt man mit quadratischer Ergänzung von der allgemeinen Form zurück zur Scheitelpunktform.

3. Quadratische Ungleichungen

Bei einer quadratischen Ungleichung sucht man alle ( x ), für die der Funktionswert z. B. positiv (\( \gt 0\)) oder negativ (\( \lt 0\)) ist. Man bestimmt zuerst die Nullstellen und liest dann am Öffnungsverhalten (oder mit einer Vorzeichentabelle) das Vorzeichen ab.

✎ Sandwichverkauf: Für welche Stückzahl ergibt sich Gewinn? \(G(x)=-0{,}1x^2+10{,}5x-135\gt 0\), \(D_G=[0;120]\).

Schritt 1 – Nullstellen berechnen \(( G(x)=0 )\). Zuerst mit ( (-10) ) multiplizieren, um schöne Zahlen zu bekommen:

\(\begin{aligned} -0{,}1x^2+10{,}5x-135 &= 0 \qquad |\cdot(-10) \ x^2-105x+1350 &= 0 \end{aligned}\)
\(x_{1,2}=\frac{105\pm\sqrt{105^2-4\cdot 1350}}{2}=\frac{105\pm\sqrt{5625}}{2}=\frac{105\pm 75}{2}\)
\(x_1=15 \qquad x_2=90\)

Schritt 2 – Vorzeichen bestimmen. Die Parabel ist wegen \(a=-0{,}1 \lt 0\) nach unten geöffnet. Zwischen den beiden Nullstellen liegt sie also oberhalb der x-Achse (positiv), außerhalb darunter:

\(G(x)\gt 0 \quad\text{für}\quad 15\lt x\lt 90\)

Antwort: Ab 16 bis 89 verkauften Sandwichs (also für \(15 \lt x \lt 90\)) macht die Klasse Gewinn. \(x_1=15\) ist die Gewinnschwelle, \(x_2=90\) die Gewinngrenze.

x0204060801001201590

Lösungsbereich der Ungleichung G(x)>0: alle x zwischen 15 und 90 (offene Grenzen, da > und nicht ≥).

xy2040608010012050100150Gx_1x_2Max

Gewinnfunktion G(x). Zwischen x₁=15 und x₂=90 ist G(x)>0 — dort macht die Klasse Gewinn.

4. Parabelscharen: der Parameter

Enthält die Gleichung neben der Variablen ( x ) einen Parameter (oft ( a ), ( k ), ( t )), so ergibt sich für jeden Parameterwert eine eigene Parabel. Man spricht von einer Scharfunktion und schreibt den Parameter als Index, z. B. \(f_k\).

✎ Ballwurfmaschine anheben: \(f_k(x)=-0{,}025x^2+0{,}275x+k\), \(kinmathbb{R}^+\).

Die Flugbahn \(f(x)=-0{,}025x^2+0{,}275x+1{,}05\) wird durch Anheben der Maschine um ( k ) Meter zu \(f_k\) – nur das konstante Glied ändert sich. Frage: Wie hoch muss die Maschine, damit der Ball bei \(17{,}38,\text{m}\) aufkommt?

Der Punkt \(P(17{,}38\mid 0)\) soll auf der Parabel liegen, also \(f_k(17{,}38)=0\):

\(\begin{aligned} -0{,}025\cdot 17{,}38^2+0{,}275\cdot 17{,}38+k &= 0 \ -7{,}5516+4{,}7795+k &= 0 \ k &= 2{,}772 \end{aligned}\)

Die nötige Abwurfhöhe ist ca. \(2{,}77,\text{m}\). Da ursprünglich aus \(1{,}05,\text{m}\) geworfen wurde, muss die Maschine um \(2{,}77-1{,}05\approx 1{,}72,\text{m}\) angehoben werden.

5. Scheitelpunkt in Abhängigkeit vom Parameter

Bei einer Parabelschar berechnet man den Scheitelpunkt allgemein – seine Koordinaten hängen dann vom Parameter ab.

✎ Scheitelpunkt von \(f_t(x)=-x^2+(2t-1)x+2t\) in Abhängigkeit von ( t ).

Die x-Koordinate des Scheitels ist \(x_S=-\dfrac{b}{2a}\) mit \(a=-1\) und \(b=2t-1\):

\(x_S=-\frac{2t-1}{2\cdot(-1)}=\frac{2t-1}{2}=t-\frac{1}{2}\)

Die y-Koordinate erhält man durch Einsetzen von \(x_S\) in \(f_t\):

\(\begin{aligned} y_S=f_t!\left(t-\tfrac{1}{2}\right) &= -\left(t-\tfrac{1}{2}\right)^2+(2t-1)\left(t-\tfrac{1}{2}\right)+2t \ &= t^2+t+\tfrac{1}{4} \end{aligned}\)

Der Scheitelpunkt liegt also bei \(S!\left(t-\tfrac{1}{2};midd\le |;t^2+t+\tfrac{1}{4}\right)\). Da \(y_S=t^2+t+\tfrac{1}{4}=\left(t+\tfrac{1}{2}\right)^2\geq 0\) für alle ( t ), liegt jeder Scheitelpunkt oberhalb oder auf der x-Achse – also im I. oder II. Quadranten.

xy-4-224-22468

Parabelschar f_t für t=−1, 0, 1: nach unten geöffnete Parabeln, deren Scheitel sich mit t verschieben.

6. Anzahl der Nullstellen je Parameter

Wie viele Nullstellen eine Scharparabel hat, entscheidet die Diskriminante \(D=b^2-4ac\) – und die hängt vom Parameter ab.

💡 Diskriminante und Nullstellenzahl

  • \(D \gt 0\): zwei Nullstellen
  • \(D=0\): genau eine (doppelte) Nullstelle – die Parabel berührt die x-Achse
  • \(D \lt 0\): keine Nullstelle

Man setzt ( D ) in Abhängigkeit vom Parameter an und untersucht, für welche Parameterwerte \(D \gt 0\), \(=0\) oder \( \lt 0\) ist.

7. Typische Fehler

✗ Falsch

Bei der Ungleichung nur die Nullstellen angegeben.

✓ Richtig

Gefragt ist ein Bereich. Nach den Nullstellen am Öffnungsverhalten (oder mit Vorzeichentabelle) prüfen, wo die Parabel positiv bzw. negativ ist.

✗ Falsch

Öffnung falsch: bei \(a \lt 0\) „zwischen den Nullstellen negativ“ angenommen.

✓ Richtig

Bei \(a \lt 0\) (nach unten geöffnet) ist die Parabel zwischen den Nullstellen positiv, außerhalb negativ. Bei \(a \gt 0\) umgekehrt.

✗ Falsch

Scheitel-y durch Einsetzen in ( f'(x) ) statt ( f(x) ) berechnet.

✓ Richtig

Die y-Koordinate des Scheitels erhält man durch Einsetzen von \(x_S\) in die Funktion ( f ) selbst.

8. Üben

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