Mathematik FOS/BOS Bayern · 11. Klasse · Analysis (Technik & Nichttechnik) · BY
Extrempunkte und Monotonieverhalten
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1. Anschauung: Gipfel und Tal
Stellen Sie sich das Höhenprofil eines Berges vor. Der Gipfel ist der höchste Punkt in seiner Umgebung, das Tal der tiefste. Auf dem Weg zum Gipfel steigt der Berg an; rechts vom Gipfel fällt er zum Tal hin ab und steigt danach wieder. Genau am Gipfel und im Tal ist es für einen Moment flach – der Berg steigt dort weder an, noch fällt er.
Bei einer Funktion heißt der „Gipfel“ Hochpunkt und das „Tal“ Tiefpunkt. Beide fasst man unter dem Begriff Extrempunkt zusammen. Man spricht von lokalen Extrempunkten, weil es an anderer Stelle noch höhere oder tiefere Punkte geben kann.
Ein Hochpunkt („Gipfel“) und ein Tiefpunkt („Tal“). An beiden Stellen verläuft die Tangente waagrecht.
💡 Extrempunkt = waagrechte Tangente
2. Der Zusammenhang mit der Ableitung
Die erste Ableitung \( f'(x) \) gibt die Steigung des Graphen an jeder Stelle an. Daraus lässt sich das Steigungsverhalten direkt ablesen:
💡 Erste Ableitung und Monotonie
- \( f'(x) > 0 \): die Funktion ist an dieser Stelle streng monoton steigend (der Graph geht bergauf \( \nearrow \))
- \( f'(x) < 0 \): die Funktion ist streng monoton fallend (der Graph geht bergab \( \searrow \))
- \( f'(x) = 0 \): der Graph hat eine waagrechte Tangente – hier liegt häufig ein Hoch-, Tief- oder Terrassenpunkt
Der entscheidende Gedanke: Um die Extremstellen zu finden, sucht man die Stellen mit waagrechter Tangente – also die Nullstellen der ersten Ableitung. Im Schaubild unten sieht man: Dort, wo die grüne Kurve \( G_f \) ihren Hoch- bzw. Tiefpunkt hat, schneidet die rote Ableitungskurve \( G_{f‘} \) genau die x-Achse.
Grün: Funktion G_f. Rot gestrichelt: Ableitung G_f′. Wo G_f′ die x-Achse schneidet (x=−2 und x=0), liegen die Extremstellen von G_f.
3. Das Verfahren in vier Schritten
Um Art und Lage aller Extrempunkte zu bestimmen, geht man immer nach demselben Schema vor:
Schritt 1: Erste Ableitung bilden
Schritt 2: Nullstellen der ersten Ableitung berechnen
Schritt 3: Funktionswerte berechnen
Schritt 4: Art des Extrempunktes und Monotonie bestimmen
4. Ausführliches Musterbeispiel
✎ Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte sowie das Monotonieverhalten von \( f(x)=x^3+3x^2 \).
Schritt 1 – Erste Ableitung bilden. Wir leiten \( f(x)=x^3+3x^2 \) mit der Potenzregel ab:
Schritt 2 – Nullstellen der ersten Ableitung. Wir setzen \( f'(x)=0 \) und lösen durch Ausklammern:
Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist (Satz vom Nullprodukt):
Wir haben also zwei mögliche Extremstellen: \( x_1=0 \) und \( x_2=-2 \).
Schritt 3 – Funktionswerte berechnen. Wir setzen beide x-Werte in die ursprüngliche Funktion \( f \) ein:
Die möglichen Extrempunkte liegen damit bei \( (-2\mid 4) \) und \( (0\mid 0) \).
Schritt 4 – Art und Monotonie mit der Vorzeichentabelle. Wir prüfen das Vorzeichen von \( f'(x) \) in den Bereichen links und rechts der beiden Stellen. Dazu setzen wir je einen Testwert aus jedem Bereich in \( f'(x)=3x^2+6x \) ein:
• Bereich \( x<-2 \), Testwert \( x=-3 \): \( f'(-3)=3\cdot 9-18=27-18=9>0 \) → steigend
• Bereich \( -2
| \( x \) | \( x<-2 \) | \( x=-2 \) | \( -2| \( x=0 \) |
\( x>0 \) |
|
|---|---|---|---|---|---|
| \( f'(x) \) | \( + \) | \( 0 \) | \( – \) | \( 0 \) | \( + \) |
| \( G_f \) | \( \nearrow \) | HOP | \( \searrow \) | TIP | \( \nearrow \) |
Ablesen der Tabelle: Bei \( x=-2 \) wechselt das Vorzeichen von \( + \) nach \( – \) (der Graph geht von steigend zu fallend über) – das ist ein Hochpunkt \( HOP(-2\mid 4) \). Bei \( x=0 \) wechselt das Vorzeichen von \( – \) nach \( + \) – das ist ein Tiefpunkt \( TIP(0\mid 0) \).
Monotonieverhalten: Der Graph \( G_f \) ist streng monoton steigend in den Intervallen \( \left]-\infty;-2\right] \) und \( \left[0;\infty\right[ \) sowie streng monoton fallend im Intervall \( \left[-2;0\right] \).
Das Ergebnis im Schaubild: Hochpunkt bei (−2|4), Tiefpunkt bei (0|0).
5. Kürzer: die Art mit der zweiten Ableitung bestimmen
Ist das Monotonieverhalten nicht gefragt, sondern nur die Art der Extrempunkte, geht es schneller mit der zweiten Ableitung. Man setzt die möglichen Extremstellen in \( f“(x) \) ein:
💡 Art der Extremstelle über die zweite Ableitung
- \( f“(x_0)<0 \): Hochpunkt (der Graph ist rechtsgekrümmt)
- \( f“(x_0)>0 \): Tiefpunkt (der Graph ist linksgekrümmt)
- \( f“(x_0)=0 \) und \( f“'(x_0)\neq 0 \): Terrassenpunkt
✎ Dasselbe Beispiel \( f(x)=x^3+3x^2 \) mit der zweiten Ableitung.
Die zweite Ableitung von \( f'(x)=3x^2+6x \) ist:
Nun setzen wir die beiden Extremstellen \( x_2=-2 \) und \( x_1=0 \) ein:
Das Ergebnis stimmt mit der Vorzeichentabelle überein – nur ohne Aussage über die Monotonie.
6. Typische Fehler
7. Üben
💡 ✐ Jetzt selbst üben
Zum Weiterüben aus dem Lehrwerk: Bestimmen Sie jeweils Art, Lage und Monotonie:
- \( f_1(x)=-\tfrac{1}{3}\left(x^3+10{,}5x^2+36x+40{,}5\right) \)
- \( f_3(x)=\tfrac{1}{6}(x-5)^2(2x-1) \)
- \( f_4(x)=-\tfrac{x^3}{3}-x^2-1 \)
- \( f_6(x)=\tfrac{1}{100}\left(x^4-26x^2+48x+200\right) \)
Kurzlösungen anzeigen
1. \( TIP(-4\mid-0{,}17) \), \( HOP(-3\mid 0) \); steigend auf \( \left]-\infty;-4\right] \) und \( \left[-3;\infty\right[ \), fallend auf \( \left[-4;-3\right] \).
2. \( f_3′(x)=x^2-7x+10 \); \( HOP(2\mid 4{,}5) \), \( TIP(5\mid 0) \).
3. \( f_4′(x)=-x^2-2x \); \( TIP(-2\mid-2{,}33) \), \( HOP(0\mid 1) \).
4. \( f_6′(x)=\tfrac{1}{25}(x^3-13x+12) \); \( TIP(-4\mid-1{,}52) \), \( HOP(1\mid 2{,}23) \), \( TIP(3\mid 1{,}91) \).
Weiterlernen
- Wendepunkte und Krümmung – wo der Graph seine Krümmung wechselt.
- Ableitungsregeln – die Grundlage für Schritt 1.
- Kurvendiskussion (Klasse 12) – alle Eigenschaften einer Funktion im Zusammenhang.