Mathematik FOS/BOS Bayern · 11. Klasse · Analysis (Technik & Nichttechnik) · BY

Lineare Funktionen und Geradenscharen

Lineare Funktionen sind der Einstieg in die Analysis der FOS/BOS. Die Grundlagen (Steigung, y-Achsenabschnitt, Schnittpunkte) kennen Sie aus der Mittelstufe – hier fassen wir sie kompakt zusammen. Der Schwerpunkt dieser Seite liegt auf dem, was in der FOS neu dazukommt: dem Rechnen mit Parametern und ganzen Geradenscharen – also unendlich vielen Geraden, die durch eine einzige Gleichung mit einem veränderlichen Parameter beschrieben werden. Genau das ist die Denkweise, die später die Kurvendiskussion von Funktionsscharen trägt.

1. Grundlagen kompakt (Wiederholung aus der Mittelstufe)

Eine lineare Funktion hat die Form \( f(x)=mx+t \) mit \( m\in\mathbb{R}\setminus\{0\} \), \( t\in\mathbb{R} \), und dem Definitionsbereich \( D=\mathbb{R} \). Ihr Graph ist eine Gerade.

💡 Das Wichtigste auf einen Blick

  • Steigung \( m \): Zunahme der y-Werte pro Einheit. \( m>0 \) steigt, \( m<0 \) fällt.
  • y-Achsenabschnitt \( t \): Schnittpunkt mit der y-Achse bei \( S_y(0\mid t) \).
  • Steigung aus zwei Punkten: \( m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \). Dieser Quotient \( \frac{\Delta y}{\Delta x} \) ist die mittlere Änderungsrate – er führt später zur Ableitung.
  • Nullstelle: \( f(x)=0 \) setzen und nach \( x \) auflösen.
  • Schnittpunkt zweier Geraden: Funktionsterme gleichsetzen, nach \( x \) auflösen, y-Wert einsetzen.

Beispiel Schnittpunkt: \( f(x)=2x+1 \) und \( g(x)=-x+7 \) gleichsetzen: \( 2x+1=-x+7 \Rightarrow 3x=6 \Rightarrow x=2 \), dann \( y=f(2)=5 \), also \( S(2\mid 5) \).

2. Parameter: was ist das?

Die Koeffizienten \( m \) und \( t \) in \( f(x)=mx+t \) nennt man Parameter. Für jeden Wert von \( m \) bzw. \( t \) ergibt sich eine eigene Gerade. Lässt man einen Parameter alle Werte durchlaufen, entsteht eine ganze Menge von Geraden – eine Geradenschar.

💡 Parameter vs. Variable

Die Variable \( x \) durchläuft die Werte innerhalb einer Funktion. Der Parameter (z. B. \( t \)) ist innerhalb einer Funktion fest – ändert man ihn, entsteht eine andere Funktion der Schar. Man schreibt die Schar mit dem Parameter als Index, z. B. \( f_t(x)=2x+t \).

3. Die Parallelenschar

✎ Vergleichen Sie \( f(x)=2x+1 \), \( g(x)=2x+2 \) und \( h(x)=2x-3 \).

Alle drei Geraden haben dieselbe Steigung \( m=2 \), nur der y-Achsenabschnitt ist verschieden. Sie sind also zueinander parallel und lassen sich durch eine gemeinsame Gleichung beschreiben:

\[f_t(x)=2x+t \qquad \text{mit } t\in\{1;\,2;\,-3\}\]

Setzt man für \( t \) alle reellen Werte ein, erhält man unendlich viele parallele Geraden. Eine solche Menge heißt Parallelenschar.

xy-4-224-6-4-2246t=-3

Parallelenschar f_t(x)=2x+t für t=1, 2, −3: gleiche Steigung, verschiedene y-Achsenabschnitte — alle parallel.

💡 Geradenschar

Eine von einem Parameter abhängige Menge von Geraden heißt Geradenschar. Sind alle Geraden parallel, spricht man von einer Parallelenschar.

4. Das Geradenbüschel und der Büschelpunkt

✎ Beschreiben Sie die Schar \( f_m(x)=mx+2 \) mit \( m\in\mathbb{R} \).

Hier ist der y-Achsenabschnitt fest (\( t=2 \)), die Steigung \( m \) verändert sich:

\[\begin{aligned} m=1:\; &f_1(x)=x+2 \\ m=2:\; &f_2(x)=2x+2 \\ m=-2:\; &f_{-2}(x)=-2x+2 \end{aligned}\]

Alle Geraden haben verschiedene Steigungen, aber denselben y-Achsenabschnitt – also einen gemeinsamen Punkt \( (0\mid 2) \). Eine Schar von Geraden durch einen gemeinsamen Punkt heißt Geradenbüschel, der gemeinsame Punkt Büschelpunkt.

xy-4-224-224m=-0,5

Geradenbüschel f_m(x)=mx+2: verschiedene Steigungen, alle durch den Büschelpunkt (0|2).

✎ Büschelpunkt bestimmen: \( f_m(x)=mx-3m+1 \), \( m\in\mathbb{R} \).

Der Büschelpunkt liegt hier nicht auf der y-Achse. Man findet ihn als Schnittpunkt zweier beliebiger Geraden der Schar. Wir wählen \( m=0 \) und \( m=1 \):

\[\begin{aligned} f_0(x) &= 0\cdot x-0+1 = 1 \\ f_1(x) &= x-3+1 = x-2 \end{aligned}\]

Gleichsetzen der beiden:

\[\begin{aligned} 1 &= x-2 \\ x &= 3 \end{aligned}\]

Der y-Wert ist \( f_0(3)=1 \), also \( B(3\mid 1) \). Bestätigung durch Einsetzen in die Scharkgleichung:

\[1 = m\cdot 3-3m+1 \;\Leftrightarrow\; 1=1 \quad\text{(wahr für alle } m\text{)}\]

Da die Gleichung für jeden Parameterwert \( m \) erfüllt ist, geht tatsächlich jede Gerade der Schar durch \( B(3\mid 1) \). Der Büschelpunkt ist \( B(3\mid 1) \).

5. Nullstellen von Geradenscharen – mit Fallunterscheidung

Bei Scharen berechnet man die Nullstelle allgemein in Abhängigkeit vom Parameter. Wichtig: Sobald man durch einen Term teilt, der den Parameter enthält, ist eine Fallunterscheidung nötig – denn durch null darf man nicht teilen.

✎ Nullstellen von \( g_t(x)=(t-2)x+2t \) mit \( t>0 \).

\[\begin{aligned} (t-2)x+2t &= 0 \qquad |-2t \\ (t-2)x &= -2t \qquad |:(t-2) \end{aligned}\]

Der Faktor \( (t-2) \) darf nur dann im Nenner stehen, wenn er nicht null ist. Deshalb unterscheiden wir zwei Fälle:

💡 Fall 1: \( t\neq 2 \)

Division ist erlaubt: \( x=\dfrac{-2t}{t-2} \). Die Schar \( g_t \) hat die Nullstelle \( x=\dfrac{-2t}{t-2} \).

💡 Fall 2: \( t=2 \)

Einsetzen in \( g_t(x)=0 \) ergibt \( 0\cdot x+4=0 \), also \( 4=0 \) – eine falsche Aussage. Die Funktion \( g_2 \) hat also keine Nullstelle (sie ist die waagrechte Gerade \( y=4 \)).

6. Für welchen Parameter geht die Gerade durch einen Punkt?

Liegt ein Punkt auf einer Geraden, so erfüllt er ihre Gleichung. Setzt man die Koordinaten ein, entsteht eine Gleichung für den Parameter.

✎ Für welches \( t \) liegt \( P(1\mid -2) \) auf \( f_t(x)=tx-3t \)?

Koordinaten von \( P \) einsetzen (\( x=1 \), \( f_t(1)=-2 \)):

\[\begin{aligned} -2 &= t\cdot 1-3t \\ -2 &= -2t \qquad |:(-2) \\ 1 &= t \end{aligned}\]

Nur für \( t=1 \) verläuft der Graph von \( f_t \) durch den Punkt \( P(1\mid -2) \).

7. Typische Fehler

✗ Falsch

Beim Teilen durch \( (t-2) \) den Fall \( t=2 \) vergessen.

✓ Richtig

Immer prüfen: Wird durch einen Term mit Parameter geteilt, muss der Fall „Term = 0“ separat untersucht werden (Fallunterscheidung).

✗ Falsch

Parameter und Variable verwechselt.

✓ Richtig

Die Variable \( x \) ist die „Laufvariable“ innerhalb einer Funktion. Der Parameter ist dort fest und unterscheidet die Funktionen der Schar.

✗ Falsch

Büschelpunkt nur aus einer Geraden bestimmt.

✓ Richtig

Der Büschelpunkt ist der gemeinsame Punkt – man braucht den Schnittpunkt zweier Geraden der Schar und bestätigt ihn in der Scharkgleichung.

8. Üben

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