Mathematik FOS/BOS Bayern · 11. Klasse · Analysis (Technik & Nichttechnik) · BY
Ganzrationale Funktionen höheren Grades
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1. Definition, Grad und Koeffizienten
💡 Ganzrationale Funktion n-ten Grades
mit \( n\in\mathbb{N} \), Koeffizienten \( a_0,\dots,a_n\in\mathbb{R} \) und \( a_n\neq 0 \) heißt ganzrationale Funktion n-ten Grades (oder Polynomfunktion). Der Definitionsbereich ist \( D=\mathbb{R} \).
- Der Grad ist die höchste vorkommende Potenz von \( x \).
- \( a_n \) heißt Leitkoeffizient (er darf nie null sein).
- \( a_0 \) ist der y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse).
Lineare Funktionen (\( f(x)=a_1 x+a_0 \)) sind ganzrationale Funktionen 1. Grades, quadratische (\( f(x)=a_2 x^2+a_1 x+a_0 \)) solche 2. Grades.
✎ Grad und Koeffizienten von \( f(x)=2x^5+3x^4+2x^3+2x+3 \).
Der höchste Exponent ist 5, also hat \( f \) den Grad 5. Fehlende Potenzen haben den Koeffizienten 0:
(\( x^2 \) fehlt im Term, deshalb \( a_2=0 \).)
2. Globalverlauf: Verhalten im Unendlichen
Der Globalverlauf beschreibt, wohin der Graph für sehr große und sehr kleine x-Werte läuft (\( x\to+\infty \) und \( x\to-\infty \)). Er hängt nur vom höchsten Summanden \( a_n x^n \) ab – also vom Grad \( n \) (gerade oder ungerade) und vom Vorzeichen des Leitkoeffizienten \( a_n \).
| Grad \( n \) | Leitkoeff. \( a_n \) | für \( x\to-\infty \) | für \( x\to+\infty \) | Verlauf |
|---|---|---|---|---|
| gerade | \( a_n>0 \) | \( +\infty \) | \( +\infty \) | von oben nach oben (∪-artig) |
| gerade | \( a_n<0 \) | \( -\infty \) | \( -\infty \) | von unten nach unten (∩-artig) |
| ungerade | \( a_n>0 \) | \( -\infty \) | \( +\infty \) | von unten nach oben |
| ungerade | \( a_n<0 \) | \( +\infty \) | \( -\infty \) | von oben nach unten |
Man schreibt das kurz mit dem Limes, z. B. für \( f(x)=4x^3-\dots \) (Grad 3 ungerade, \( a_n=4>0 \)):
Globalverlauf je nach Grad und Leitkoeffizient: Grad 3 (a>0) von unten nach oben, Grad 3 (a<0) umgekehrt, Grad 4 (a>0) von oben nach oben.
3. Symmetrie
💡 Symmetrie-Kriterien
- Achsensymmetrie zur y-Achse: wenn \( f(-x)=f(x) \) für alle \( x \). Bei ganzrationalen Funktionen: nur gerade Exponenten (inkl. \( a_0 \)).
- Punktsymmetrie zum Ursprung: wenn \( f(-x)=-f(x) \). Bei ganzrationalen Funktionen: nur ungerade Exponenten.
✎ Untersuchen Sie \( f(x)=x^4-3x^2+1 \) auf Symmetrie.
Alle Exponenten (4, 2, 0) sind gerade – der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Nachweis:
4. Die sechs Werkzeuge zum Nullstellen-Finden
Die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion sind die Lösungen der Gleichung \( f(x)=0 \). Je nach Bauart der Gleichung nutzt man eines von sechs Werkzeugen. Wichtig: Funktionen kann man ableiten, aber nur Gleichungen kann man lösen – und dafür braucht man das passende Werkzeug.
💡 Die sechs Werkzeuge im Überblick
- Äquivalenzumformung – bei linearen Gleichungen (\( ax+b=0 \))
- Radizieren (Wurzelziehen) – wenn kein linearer Term da ist (\( ax^2+c=0 \))
- Ausklammern – wenn das absolute Glied fehlt (z. B. \( x^3+2x^2-3x=0 \))
- Mitternachtsformel (Lösungsformel) – bei vollständigen quadratischen Gleichungen
- Substitution – bei biquadratischen Gleichungen (\( ax^4+bx^2+c=0 \))
- Polynomdivision – zum Vereinfachen, wenn eine Nullstelle bekannt (erraten) ist
5. Nullstellen durch Ausklammern
Fehlt das absolute Glied (\( a_0=0 \)), kann man \( x \) ausklammern. Dann liefert der Satz vom Nullprodukt die Nullstellen.
✎ Nullstellen von \( f(x)=x^3+2x^2-3x \).
Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist:
Die quadratische Gleichung lösen wir mit der Lösungsformel (oder Faktorisieren): \( x_2=1 \), \( x_3=-3 \).
6. Nullstellen durch Substitution
Bei einer biquadratischen Gleichung (nur gerade Exponenten \( x^4 \) und \( x^2 \), z. B. \( ax^4+bx^2+c=0 \)) ersetzt man \( x^2 \) durch eine neue Variable \( u \). So entsteht eine quadratische Gleichung in \( u \).
✎ Nullstellen von \( 2x^4-10x^2+8=0 \).
Schritt 1 – Substituieren: Wir setzen \( u=x^2 \), dann ist \( x^4=u^2 \):
Schritt 2 – quadratische Gleichung lösen (Lösungsformel): \( u_1=1 \), \( u_2=4 \).
Schritt 3 – Rücksubstituieren: Wegen \( u=x^2 \) gilt \( x=\pm\sqrt{u} \):
Die vier Nullstellen sind \( x=-2,\,-1,\,1,\,2 \).
7. Nullstellen durch Polynomdivision
Lässt sich weder ausklammern noch substituieren, errät man eine Nullstelle (meist eine kleine ganze Zahl wie \( \pm 1, \pm 2, \dots \)) und teilt das Polynom durch den zugehörigen Linearfaktor \( (x-x_0) \). Übrig bleibt ein Polynom niedrigeren Grades, das man weiter lösen kann.
✎ Nullstellen von \( f(x)=x^3-2x^2-5x+6 \).
Schritt 1 – Nullstelle erraten: Wir testen \( x=1 \): \( 1-2-5+6=0 \) – also ist \( x_1=1 \) eine Nullstelle.
Schritt 2 – Polynomdivision durch \( (x-1) \):
Schritt 3 – Restpolynom lösen: \( x^2-x-6=0 \) ergibt (Lösungsformel oder Faktorisieren) \( x_2=3 \), \( x_3=-2 \).
f(x)=x³−2x²−5x+6 mit den drei Nullstellen bei x=−2, 1 und 3.
⚙️ Alternative: das Horner-Schema (an manchen FOSen üblich, besonders praktisch bei Parametern)
Das Horner-Schema ist eine tabellarische Kurzform der Polynomdivision. Man rechnet nur mit den Koeffizienten – das ist schneller, übersichtlicher und weniger fehleranfällig, gerade bei höheren Graden und bei Funktionen mit Parameter. Hinweis: An den staatlichen FOS/BOS wird meist die klassische Polynomdivision verlangt; das Horner-Schema ist eine gleichwertige Alternative.
Beispiel (komplizierter): Bestimmen Sie alle Nullstellen von \( f(x)=2x^4+x^3-8x^2-x+6 \).
So funktioniert das Schema: Die Koeffizienten kommen in die obere Zeile. Den ersten übernimmt man nach unten. Für jede weitere Spalte: (Wert links unten) \( \times x_0 \) in die Mittelzeile, zur oberen Zahl addieren, Ergebnis nach unten. Der letzte Wert ist der Rest – ist er 0, war \( x_0 \) eine Nullstelle.
Stufe 1 – wir raten \( x_0=1 \):
| \( x_0=1 \) | 2 | 1 | -8 | -1 | 6 |
| \( 1\cdot \) Summe | — | 2 | 3 | -5 | -6 |
| Summe | 2 | 3 | -5 | -6 | 0 |
Der Rest ist \( 0 \) – also ist \( x_1=1 \) eine Nullstelle. Die untere Zeile liefert das reduzierte Polynom \( 2x^3+3x^2-5x-6 \).
Stufe 2 – Horner erneut mit \( x_0=-1 \) auf die neuen Koeffizienten \( 2,\,3,\,-5,\,-6 \):
| \( x_0=-1 \) | 2 | 3 | -5 | -6 |
| \( -1\cdot \) Summe | — | -2 | -1 | 6 |
| Summe | 2 | 1 | -6 | 0 |
Wieder Rest \( 0 \) – also ist \( x_2=-1 \) eine Nullstelle. Es bleibt \( 2x^2+x-6 \).
Stufe 3 – quadratische Gleichung lösen:
Alle Nullstellen: \( x_1=1,\; x_2=-1,\; x_3=1{,}5,\; x_4=-2 \).
💡 Warum bei Parametern so praktisch? Bei einer Funktion mit Parameter bleibt die klassische Polynomdivision schnell unübersichtlich. Im Horner-Schema rechnet man die Koeffizienten – auch mit Parametern – einfach Spalte für Spalte durch.
8. Typische Fehler
9. Üben
💡 ✐ Jetzt selbst üben
Weiterlernen
- Änderungsraten und Ableitung – ganzrationale Funktionen ableiten.
- Extrempunkte und Monotonie
- Quadratische Funktionen (Grad 2 als Spezialfall).