Mathematik FOS/BOS Bayern · 11. Klasse · Analysis (Technik & Nichttechnik) · BY
Ganzrationale Funktionen höheren Grades
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1. Definition, Grad und Koeffizienten
💡 Ganzrationale Funktion n-ten Grades
mit \(ninmathbb{N}\), Koeffizienten \(a_0,\dots,a_ninmathbb{R}\) und \(a_nneq 0\) heißt ganzrationale Funktion n-ten Grades (oder Polynomfunktion). Der Definitionsbereich ist \(D=\mathbb{R}\).
- Der Grad ist die höchste vorkommende Potenz von ( x ).
- \(a_n\) heißt Leitkoeffizient (er darf nie null sein).
- \(a_0\) ist der y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse).
Lineare Funktionen \((f(x)=a_1 x+a_0)\) sind ganzrationale Funktionen 1. Grades, quadratische \((f(x)=a_2 x^2+a_1 x+a_0)\) solche 2. Grades.
✎ Grad und Koeffizienten von \(f(x)=2x^5+3x^4+2x^3+2x+3\).
Der höchste Exponent ist 5, also hat ( f ) den Grad 5. Fehlende Potenzen haben den Koeffizienten 0:
\((x^2) fehlt im Term, deshalb (a_2=0).\)
2. Globalverlauf: Verhalten im Unendlichen
Der Globalverlauf beschreibt, wohin der Graph für sehr große und sehr kleine x-Werte läuft (( xto+infty ) und ( xto-infty )). Er hängt nur vom höchsten Summanden \(a_n x^n\) ab – also vom Grad ( n ) (gerade oder ungerade) und vom Vorzeichen des Leitkoeffizienten \(a_n\).
| Grad ( n ) | Leitkoeff. \(a_n\) | für ( xto-infty ) | für ( xto+infty ) | Verlauf |
|---|---|---|---|---|
| gerade | \(a_n \gt 0\) | ( +infty ) | ( +infty ) | von oben nach oben (∪-artig) |
| gerade | \(a_n \lt 0\) | ( -infty ) | ( -infty ) | von unten nach unten (∩-artig) |
| ungerade | \(a_n \gt 0\) | ( -infty ) | ( +infty ) | von unten nach oben |
| ungerade | \(a_n \lt 0\) | ( +infty ) | ( -infty ) | von oben nach unten |
Man schreibt das kurz mit dem Limes, z. B. für \(f(x)=4x^3-\dots\) Grad 3 ungerade, \(a_n=4 \gt 0\):
Globalverlauf je nach Grad und Leitkoeffizient: Grad 3 (a>0) von unten nach oben, Grad 3 (a<0) umgekehrt, Grad 4 (a>0) von oben nach oben.
3. Symmetrie
💡 Symmetrie-Kriterien
- Achsensymmetrie zur y-Achse: wenn \(f(-x)=f(x)\) für alle ( x ). Bei ganzrationalen Funktionen: nur gerade Exponenten \(inkl. (a_0)\).
- Punktsymmetrie zum Ursprung: wenn \(f(-x)=-f(x)\). Bei ganzrationalen Funktionen: nur ungerade Exponenten.
✎ Untersuchen Sie \(f(x)=x^4-3x^2+1\) auf Symmetrie.
Alle Exponenten (4, 2, 0) sind gerade – der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Nachweis:
4. Die sechs Werkzeuge zum Nullstellen-Finden
Die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion sind die Lösungen der Gleichung \(f(x)=0\). Je nach Bauart der Gleichung nutzt man eines von sechs Werkzeugen. Wichtig: Funktionen kann man ableiten, aber nur Gleichungen kann man lösen – und dafür braucht man das passende Werkzeug.
💡 Die sechs Werkzeuge im Überblick
- Äquivalenzumformung – bei linearen Gleichungen \(( ax+b=0 )\)
- Radizieren (Wurzelziehen) – wenn kein linearer Term da ist \((ax^2+c=0)\)
- Ausklammern – wenn das absolute Glied fehlt \(z. B. (x^3+2x^2-3x=0)\)
- Mitternachtsformel (Lösungsformel) – bei vollständigen quadratischen Gleichungen
- Substitution – bei biquadratischen Gleichungen \((ax^4+bx^2+c=0)\)
- Polynomdivision – zum Vereinfachen, wenn eine Nullstelle bekannt (erraten) ist
5. Nullstellen durch Ausklammern
Fehlt das absolute Glied \((a_0=0)\), kann man ( x ) ausklammern. Dann liefert der Satz vom Nullprodukt die Nullstellen.
✎ Nullstellen von \(f(x)=x^3+2x^2-3x\).
Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist:
Die quadratische Gleichung lösen wir mit der Lösungsformel (oder Faktorisieren): \(x_2=1\), \(x_3=-3\).
6. Nullstellen durch Substitution
Bei einer biquadratischen Gleichung \(nur gerade Exponenten (x^4) und (x^2), z. B. (ax^4+bx^2+c=0)\) ersetzt man \(x^2\) durch eine neue Variable ( u ). So entsteht eine quadratische Gleichung in ( u ).
✎ Nullstellen von \(2x^4-10x^2+8=0\).
Schritt 1 – Substituieren: Wir setzen \(u=x^2\), dann ist \(x^4=u^2\):
Schritt 2 – quadratische Gleichung lösen (Lösungsformel): \(u_1=1\), \(u_2=4\).
Schritt 3 – Rücksubstituieren: Wegen \(u=x^2\) gilt \(x=\pm\sqrt{u}\):
Die vier Nullstellen sind \(x=-2,,-1,,1,,2\).
7. Nullstellen durch Polynomdivision
Lässt sich weder ausklammern noch substituieren, errät man eine Nullstelle (meist eine kleine ganze Zahl wie ( pm 1, pm 2, dots )) und teilt das Polynom durch den zugehörigen Linearfaktor \((x-x_0)\). Übrig bleibt ein Polynom niedrigeren Grades, das man weiter lösen kann.
✎ Nullstellen von \(f(x)=x^3-2x^2-5x+6\).
Schritt 1 – Nullstelle erraten: Wir testen \(x=1\): \(1-2-5+6=0\) – also ist \(x_1=1\) eine Nullstelle.
Schritt 2 – Polynomdivision durch \((x-1)\):
Schritt 3 – Restpolynom lösen: \(x^2-x-6=0\) ergibt (Lösungsformel oder Faktorisieren) \(x_2=3\), \(x_3=-2\).
f(x)=x³−2x²−5x+6 mit den drei Nullstellen bei x=−2, 1 und 3.
⚙️ Alternative: das Horner-Schema (an manchen FOSen üblich, besonders praktisch bei Parametern)
Das Horner-Schema ist eine tabellarische Kurzform der Polynomdivision. Man rechnet nur mit den Koeffizienten – das ist schneller, übersichtlicher und weniger fehleranfällig, gerade bei höheren Graden und bei Funktionen mit Parameter. Hinweis: An den staatlichen FOS/BOS wird meist die klassische Polynomdivision verlangt; das Horner-Schema ist eine gleichwertige Alternative.
Beispiel (komplizierter): Bestimmen Sie alle Nullstellen von \(f(x)=2x^4+x^3-8x^2-x+6\).
So funktioniert das Schema: Die Koeffizienten kommen in die obere Zeile. Den ersten übernimmt man nach unten. Für jede weitere Spalte: (Wert links unten) \(\times x_0\) in die Mittelzeile, zur oberen Zahl addieren, Ergebnis nach unten. Der letzte Wert ist der Rest – ist er 0, war \(x_0\) eine Nullstelle.
Stufe 1 – wir raten \(x_0=1\):
| \(x_0=1\) | 2 | 1 | -8 | -1 | 6 |
| \(1\cdot\) Summe | — | 2 | 3 | -5 | -6 |
| Summe | 2 | 3 | -5 | -6 | 0 |
Der Rest ist ( 0 ) – also ist \(x_1=1\) eine Nullstelle. Die untere Zeile liefert das reduzierte Polynom \(2x^3+3x^2-5x-6\).
Stufe 2 – Horner erneut mit \(x_0=-1\) auf die neuen Koeffizienten ( 2,,3,,-5,,-6 ):
| \(x_0=-1\) | 2 | 3 | -5 | -6 |
| \(-1\cdot\) Summe | — | -2 | -1 | 6 |
| Summe | 2 | 1 | -6 | 0 |
Wieder Rest ( 0 ) – also ist \(x_2=-1\) eine Nullstelle. Es bleibt \(2x^2+x-6\).
Stufe 3 – quadratische Gleichung lösen:
Alle Nullstellen: \(x_1=1,; x_2=-1,; x_3=1{,}5,; x_4=-2\).
💡 Warum bei Parametern so praktisch? Bei einer Funktion mit Parameter bleibt die klassische Polynomdivision schnell unübersichtlich. Im Horner-Schema rechnet man die Koeffizienten – auch mit Parametern – einfach Spalte für Spalte durch.
8. Typische Fehler
9. Üben
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- Änderungsraten und Ableitung – ganzrationale Funktionen ableiten.
- Extrempunkte und Monotonie
- Quadratische Funktionen (Grad 2 als Spezialfall).
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