Mathematik FOS/BOS Bayern · 11. Klasse · Analysis (Technik & Nichttechnik) · BY
Änderungsraten und Ableitung
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1. Die Idee: Steigung bei krummen Graphen
Bei einer Geraden ist die Steigung überall gleich – man berechnet sie mit der Steigungsformel aus zwei Punkten. Bei einem krummen Graphen ändert sich die Steigung aber ständig. Trotzdem kann man von einer „Steigung an einer Stelle“ sprechen:
Betrachtet man immer kleinere Ausschnitte um einen Punkt, sieht der Graph dort fast wie eine Gerade aus. Lässt man den Ausschnitt gegen null gehen, erhält man im Grenzfall eine einzige Steigung an dieser Stelle – die Steigung der Tangente im Punkt.
Die Steigung eines krummen Graphen an der Stelle P ist die Steigung der Tangente in diesem Punkt.
2. Sekantensteigung: mittlere Änderungsrate
Eine Sekante ist eine Gerade durch zwei Punkte des Graphen. Ihre Steigung berechnet man mit der Steigungsformel – sie heißt Differenzenquotient und gibt die mittlere Änderungsrate zwischen den beiden Stellen an:
💡 Differenzenquotient (Sekantensteigung)
Das ist die mittlere Änderungsrate von \( f \) im Intervall \( [x_0;x] \).
✎ Sekantensteigung von \( f(x)=x^2 \) durch \( A(1\mid 1) \) und \( B(2\mid 4) \).
Im Mittel steigt der Graph zwischen \( x=1 \) und \( x=2 \) mit der Steigung 3.
Sekante durch A(1|1) und B(2|4) auf f(x)=x². Ihre Steigung (der Differenzenquotient) ist 3.
3. Von der Sekante zur Tangente: der Grenzwert
Rückt der Punkt \( B \) immer näher an \( A \) heran (\( x\to x_0 \)), so nähern sich die Sekanten immer mehr der Tangente im Punkt. Die Sekantensteigungen streben dabei gegen einen festen Wert – die Tangentensteigung. Diesen Grenzwert nennt man Differentialquotient:
💡 Differentialquotient (Tangentensteigung = lokale Änderungsrate)
(gesprochen: „Limes \( x \) gegen \( x_0 \)“). Dieser Grenzwert ist die lokale Änderungsrate von \( f \) an der Stelle \( x_0 \) und heißt Ableitung von \( f \) an der Stelle \( x_0 \), geschrieben \( f'(x_0) \).
4. Die Ableitung an einer Stelle
Der Differentialquotient liefert für jede Stelle \( x_0 \) genau eine Zahl – die Steigung dort. Ordnet man jeder Stelle \( x \) ihre Steigung zu, entsteht eine neue Funktion: die Ableitungsfunktion \( f‘ \).
💡 Bedeutung der Ableitung
- \( f'(x_0) \) ist die Steigung des Graphen von \( f \) an der Stelle \( x_0 \) (= Steigung der Tangente dort).
- In Anwendungen ist \( f'(x_0) \) die momentane Änderungsrate – z. B. die Geschwindigkeit, wenn \( f \) den zurückgelegten Weg beschreibt.
5. Die Ableitungsregeln
Den Grenzwert muss man in der Praxis nicht jedes Mal ausrechnen – für ganzrationale Funktionen gibt es einfache Regeln.
💡 Die vier Grundregeln
- Potenzregel: \( f(x)=x^n \;\Rightarrow\; f'(x)=n\cdot x^{n-1} \) – Exponent nach vorne, Exponent um 1 verringern.
- Faktorregel: \( f(x)=c\cdot u(x) \;\Rightarrow\; f'(x)=c\cdot u'(x) \) – konstanter Faktor bleibt stehen.
- Summenregel: \( f(x)=u(x)+v(x) \;\Rightarrow\; f'(x)=u'(x)+v'(x) \) – summandenweise ableiten.
- Konstantenregel: \( f(x)=c \;\Rightarrow\; f'(x)=0 \) – ein konstanter Summand fällt weg (waagrechte Gerade, Steigung 0).
✎ Leiten Sie \( f(x)=0{,}25x^4-2x+7 \) ab.
Wir leiten jeden Summanden einzeln ab (Summenregel), nutzen Potenz- und Faktorregel, und der konstante Summand \( 7 \) fällt weg:
✎ Weiteres Beispiel: \( f(x)=3x^4-5x^2 \).
6. Anwendung: Momentangeschwindigkeit
Beschreibt \( f(x) \) den zurückgelegten Weg zur Zeit \( x \), so ist die Ableitung \( f'(x) \) die Momentangeschwindigkeit. Genau so misst eine Laserpistole der Polizei die Geschwindigkeit: Sie erfasst den Abstand über die Zeit und bildet die Änderungsrate.
✎ Der Abstand eines Motorrads ist \( f(x)=-9{,}2x^2+100 \) (in m, \( x \) in s). Wie schnell ändert sich der Abstand bei \( x=2\,\text{s} \)?
Schritt 1 – Ableiten:
Schritt 2 – Stelle einsetzen:
Der Abstand nimmt bei \( x=2\,\text{s} \) mit \( 36{,}8\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \) ab (negatives Vorzeichen = Abstand wird kleiner, das Motorrad nähert sich). Das entspricht rund \( 132\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}} \).
7. Typische Fehler
8. Üben
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Weiterlernen
- Extrempunkte und Monotonie – die Ableitung findet Hoch- und Tiefpunkte.
- Wendepunkte und Krümmung – die zweite Ableitung.
- Ganzrationale Funktionen – die Funktionen, die hier abgeleitet werden.