Mathematik FOS/BOS Bayern · 11. Klasse · Analysis (Technik & Nichttechnik) · BY
Wendepunkte und Krümmungsverhalten
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1. Anschauung: Links- und Rechtskurve
Stellen Sie sich vor, Sie fahren mit dem Auto den Graphen entlang. Solange Sie das Lenkrad nach links eingeschlagen halten, ist der Graph linksgekrümmt (er öffnet sich nach oben). Halten Sie das Lenkrad nach rechts, ist er rechtsgekrümmt (er öffnet sich nach unten).
An einer Wendestelle wechseln Sie von der einen in die andere Krümmung – genau dort steht das Lenkrad für einen Moment gerade. Der zugehörige Punkt des Graphen heißt Wendepunkt.
Am Wendepunkt (−1|2) wechselt der Graph von rechtsgekrümmt (links davon) zu linksgekrümmt (rechts davon).
2. Krümmung und die zweite Ableitung
So wie die erste Ableitung \( f‘ \) die Steigung angibt, gibt die zweite Ableitung \( f“ \) die Krümmung an:
💡 Krümmungsverhalten mit der zweiten Ableitung
- \( f“(x)>0 \): der Graph ist linksgekrümmt (nach oben geöffnet)
- \( f“(x)<0 \): der Graph ist rechtsgekrümmt (nach unten geöffnet)
- \( f“(x)=0 \) und \( f“'(x)\neq 0 \): hier liegt ein Wendepunkt (Krümmungswechsel)
Im Wendepunkt ist die Steigung lokal maximal oder minimal – der Graph ist dort am „steilsten“.
3. Das Verfahren in vier Schritten
Die Wendepunktbestimmung läuft völlig analog zur Extrempunktbestimmung – nur mit \( f“ \) statt \( f‘ \):
Schritt 1: Zweite Ableitung bilden
Schritt 2: Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen
Schritt 3: Funktionswert berechnen
Schritt 4: Krümmungswechsel nachweisen
4. Ausführliches Musterbeispiel
Wir nehmen dieselbe Funktion wie bei den Extrempunkten: \( f(x)=x^3+3x^2 \). So sehen Sie, wie Extrem- und Wendepunkte zusammenspielen.
✎ Bestimmen Sie den Wendepunkt und das Krümmungsverhalten von \( f(x)=x^3+3x^2 \).
Schritt 1 – Zweite Ableitung. Wir leiten zweimal ab:
Schritt 2 – Nullstelle der zweiten Ableitung.
Mögliche Wendestelle: \( x_W=-1 \).
Schritt 3 – Funktionswert. Einsetzen in \( f \):
Der mögliche Wendepunkt liegt bei \( (-1\mid 2) \).
Schritt 4 – Krümmungswechsel nachweisen. Wir prüfen das Vorzeichen von \( f“(x)=6x+6 \) links und rechts von \( x=-1 \):
• Testwert \( x=-2 \): \( f“(-2)=6\cdot(-2)+6=-6<0 \) → rechtsgekrümmt
• Testwert \( x=0 \): \( f“(0)=6\cdot 0+6=6>0 \) → linksgekrümmt
| \( x \) | \( x<-1 \) | \( x=-1 \) | \( x>-1 \) |
|---|---|---|---|
| \( f“(x) \) | \( – \) | \( 0 \) | \( + \) |
| Krümmung | rechts (∩) | WP | links (∪) |
Die Krümmung wechselt bei \( x=-1 \) von rechts nach links – es liegt also ein Wendepunkt \( WP(-1\mid 2) \) vor. Der Graph ist im Intervall \( \left]-\infty;-1\right] \) rechtsgekrümmt und in \( \left[-1;\infty\right[ \) linksgekrümmt.
5. Die Wendetangente
Die Wendetangente ist die Tangente im Wendepunkt. Man bestimmt sie wie jede Tangente: Steigung ist \( f'(x_W) \), dann Punkt und Steigung in \( y=mx+t \) einsetzen und \( t \) berechnen.
✎ Wendetangente von \( f(x)=x^3+3x^2 \) im Wendepunkt \( WP(-1\mid 2) \).
Schritt 1 – Steigung im Wendepunkt (in \( f‘ \) einsetzen):
Schritt 2 – \( t \) bestimmen (Steigung und Koordinaten von \( WP \) in \( y=mx+t \)):
Schritt 3 – Tangentengleichung:
Der Graph von f (grün) mit der Wendetangente w(x)=−3x−1 (rot) im Wendepunkt (−1|2).
6. Typische Fehler
7. Üben
💡 ✐ Jetzt selbst üben
Weiterlernen
- Extrempunkte und Monotonie – das analoge Verfahren mit der ersten Ableitung.
- Änderungsraten und Ableitung – die Grundlage.
- Kurvendiskussion (Klasse 12) – alle Eigenschaften im Zusammenhang.