Mathematik Realschule Bayern · Klasse 9 · Lernbereich 1 „Reelle Zahlen“ (LehrplanPLUS) · BY
Reelle Zahlen und Quadratwurzeln: warum die Brüche nicht mehr reichen
Ein quadratischer Tisch mit 90 cm Seitenlänge – wie lang ist seine Diagonale? Du rechnest mit dem Satz des Pythagoras \( 0{,}9^2 + 0{,}9^2 = 1{,}62 \) und stehst dann vor der Frage: Welche Zahl ergibt quadriert 1,62? Genau an dieser Stelle reichen die Brüche nicht mehr aus, die du bisher kennst. Auf dieser Seite lernst du der Reihe nach, welche Zahlenmengen es gibt, was eine Quadratwurzel überhaupt ist, wie du Wurzeln geometrisch konstruierst und wie du mit ihnen rechnest.
Diese Seite gilt für Mathematik I und Mathematik II/III. Beide Ausrichtungen erfüllen im LehrplanPLUS dieselbe Kompetenzerwartung: Sie „erläutern die Definition der Quadratwurzel anhand von Beispielen, wissen, dass zum Beispiel Wurzel aus Zwei keine rationale Zahl ist und begründen damit die Notwendigkeit der Zahlbereichserweiterung auf die Menge der reellen Zahlen“, sie „schätzen den Wert von Quadratwurzeln ab und lösen quadratische Gleichungen der Form x2 = a“ und sie „formen einfache Wurzelterme um“. Danach trennt sich der Wortlaut in einem einzigen Punkt: Mathematik I „radiziert teilweise und macht den Nenner bei Termen der Form a durch Wurzel aus b rational“ (10 Std.), Mathematik II/III „vereinfacht Wurzelterme durch teilweises Radizieren“ (7 Std.). Das Rationalmachen des Nenners ist also der einzige Mehrinhalt von Mathematik I – er steht am Ende von Kapitel 4 und ist dort gekennzeichnet.
Wozu brauchst du das?
Jedes Mal, wenn du von einer Fläche auf eine Länge zurückrechnest: aus dem Flächeninhalt einer quadratischen Platte die Seitenlänge bestimmen · mit dem Satz des Pythagoras eine Diagonale oder Höhe berechnen · aus dem Volumen eines Würfels seine Kantenlänge ermitteln · später quadratische Gleichungen und Parabelnullstellen lösen. In der Abschlussprüfung tauchen Wurzeln fast in jeder Geometrieaufgabe auf, und Ergebnisse wie \( 5\sqrt{2} \) sind dort keine Zwischenschritte, sondern das erwartete exakte Endergebnis.
Inhalt dieser Seite
- Die Zahlenmengen IN, Z, Q und IR
- Die Quadratwurzel als Umkehrung des Quadrierens
- Wurzeln geometrisch konstruieren – Einheitsquadrat und Wurzelschnecke
- Rechnen mit Wurzeln
- Das Wichtigste in Kürze
1. Die Zahlenmengen IN, Z, Q und IR
Dein Zahlenvorrat ist in den letzten Schuljahren mehrfach gewachsen, und jedes Mal aus demselben Grund: Eine Rechnung war im alten Bereich nicht lösbar.
| IN natürliche Zahlen | \( 0;\,1;\,2;\,3;\,\dots \) | \( 3 – 7 \) ist hier nicht lösbar |
| Z ganze Zahlen | \( \dots;\,-2;\,-1;\,0;\,1;\,2;\,\dots \) | \( 3 : 4 \) ist hier nicht lösbar |
| Q rationale Zahlen | alle Brüche \( \dfrac{p}{q} \) mit \( p \in \text{Z},\ q \in \text{Z}\setminus\{0\} \) | \( x^2 = 2 \) ist hier nicht lösbar |
| IR reelle Zahlen | alle Zahlen des Zahlenstrahls | enthält zusätzlich die irrationalen Zahlen |
Jede dieser Mengen steckt vollständig in der nächsten: \( \text{IN} \subset \text{Z} \subset \text{Q} \subset \text{IR} \). Eine natürliche Zahl wie 7 ist also gleichzeitig eine ganze, eine rationale und eine reelle Zahl.
Die irrationalen Zahlen füllen genau die Lücken, die die Brüche auf dem Zahlenstrahl noch lassen.
Woran du eine rationale Zahl erkennst
Eine Zahl ist genau dann rational, wenn du sie als Bruch aus zwei ganzen Zahlen schreiben kannst. Am Dezimalbruch siehst du es sofort: Rationale Zahlen brechen ab (\( 0{,}375 = \tfrac{3}{8} \)) oder sind periodisch (\( 0{,}\overline{3} = \tfrac{1}{3} \)). Eine irrationale Zahl hat unendlich viele Nachkommastellen ohne Periode. Zusammen bilden beide Sorten die reellen Zahlen: \( \text{IR} = \text{Q} \cup \{\text{irrationale Zahlen}\} \).
Warum \( \sqrt{2} \) kein Bruch sein kann
Das ist keine Behauptung, das lässt sich beweisen – und zwar durch einen Widerspruch. Nimm das Gegenteil an: \( \sqrt{2} \) sei doch ein Bruch, und zwar bereits vollständig gekürzt, also \( \sqrt{2} = \dfrac{p}{q} \) mit ganzen Zahlen \( p \) und \( q \ne 0 \), die keinen gemeinsamen Teiler mehr haben.
| Annahme | \( \sqrt{2} = \dfrac{p}{q} \), vollständig gekürzt |
| quadrieren | \( 2 = \dfrac{p^2}{q^2} \;\Rightarrow\; p^2 = 2q^2 \) |
| also ist \( p^2 \) gerade | und damit auch \( p \) gerade, etwa \( p = 2k \) |
| einsetzen | \( (2k)^2 = 2q^2 \;\Rightarrow\; 4k^2 = 2q^2 \;\Rightarrow\; q^2 = 2k^2 \) |
| Folge | auch \( q \) ist gerade – Widerspruch zu „gekürzt“ |
Wären \( p \) und \( q \) beide gerade, ließe sich der Bruch noch durch 2 kürzen. Das widerspricht der Annahme. Also war die Annahme falsch: \( \sqrt{2} \) lässt sich nicht als Bruch schreiben. Und genau das zwingt zur Zahlbereichserweiterung – denn die Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge 1 ist eine ganz gewöhnliche, mit dem Lineal messbare Strecke. Sie muss auf dem Zahlenstrahl einen Platz haben. In Q hat sie keinen, in IR schon.
Merke: Es gilt \( \text{IN} \subset \text{Z} \subset \text{Q} \subset \text{IR} \). Rational heißt: als Bruch ganzer Zahlen darstellbar – als Dezimalbruch abbrechend oder periodisch. Irrational heißt: unendlich viele Nachkommastellen ohne Periode; solche Zahlen liegen in IR, aber nicht in Q. \( \sqrt{2} \) ist irrational, \( \sqrt{4} = 2 \) dagegen sogar natürlich – das Wurzelzeichen allein entscheidet nichts.
2. Die Quadratwurzel als Umkehrung des Quadrierens
Quadrieren kennst du: aus 6 wird \( 6^2 = 36 \). Die Quadratwurzel geht denselben Weg rückwärts: aus 36 wird 6. Am Quadrat siehst du beides zugleich – das Quadrieren rechnet von der Seitenlänge zur Fläche, das Wurzelziehen von der Fläche zur Seitenlänge.
Definition: Für eine Zahl \( a \ge 0 \) ist die Quadratwurzel \( \sqrt{a} \) diejenige nichtnegative Zahl, deren Quadrat \( a \) ergibt. Es gilt also \( \sqrt{a} \ge 0 \) und \( \left(\sqrt{a}\right)^2 = a \). Die Zahl \( a \) unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand. Definitionsbereich: \( a \in \text{IR},\ a \ge 0 \).
Zwei Bedingungen der Definition werden gern übersehen. Erstens darf der Radikand nicht negativ sein: In IR ist kein Quadrat negativ, also gibt es keine Zahl mit \( x^2 = -9 \); \( \sqrt{-9} \) ist in IR nicht definiert. Zweitens ist die Wurzel selbst nie negativ: \( \sqrt{25} = 5 \), nicht \( \pm 5 \).
Links geht die Wurzel glatt auf, rechts nicht – die Seitenlänge ist trotzdem eine echte, messbare Länge.
Beispiel 1 – Wurzeln bestimmen und kontrollieren
| \( \sqrt{81} = 9 \) | Kontrolle: \( 9^2 = 81 \) ✓ |
| \( \sqrt{1{,}44} = 1{,}2 \) | Kontrolle: \( 1{,}2^2 = 1{,}44 \) ✓ |
| \( \sqrt{\dfrac{9}{16}} = \dfrac{3}{4} \) | Kontrolle: \( \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 = \dfrac{9}{16} \) ✓ |
| \( \sqrt{0{,}25} = 0{,}5 \) | Kontrolle: \( 0{,}5^2 = 0{,}25 \) ✓ |
| \( \sqrt{-9} \) | in IR nicht definiert (Radikand negativ) |
Beachte \( \sqrt{0{,}25} = 0{,}5 \): Die Wurzel ist hier größer als der Radikand. Das ist bei allen Zahlen zwischen 0 und 1 so und kein Rechenfehler.
Den Wert einer Wurzel abschätzen
Geht die Wurzel nicht auf, klemmst du sie zwischen zwei benachbarte Quadratzahlen ein und verfeinerst dann schrittweise. So gehst du vor: (1) Die beiden Quadratzahlen suchen, zwischen denen der Radikand liegt. (2) Deren Wurzeln bilden die erste Schranke. (3) Mit Zehnteln nachprobieren.
Beispiel 2 – \( \sqrt{30} \) abschätzen
| Nachbar-Quadratzahlen | \( 25 < 30 < 36 \), also \( 5 < \sqrt{30} < 6 \) |
| Probe mit 5,5 | \( 5{,}5^2 = 30{,}25 > 30 \) – zu groß |
| Probe mit 5,4 | \( 5{,}4^2 = 29{,}16 < 30 \) – zu klein |
| Ergebnis | \( 5{,}4 < \sqrt{30} < 5{,}5 \), also \( \sqrt{30} \approx 5{,}5 \) |
Der Taschenrechner bestätigt: \( \sqrt{30} = 5{,}477\dots \) ✓ Das Abschätzen ist kein Ersatz für den Rechner, sondern deine Kontrolle: Tippst du dich vertippt und liest 17,3 ab, fällt der Fehler sofort auf.
Dieses schrittweise Einklemmen zwischen eine untere und eine obere Schranke hat einen eigenen Namen: Intervallschachtelung. Jedes neue Intervall liegt vollständig im vorherigen und ist zehnmal kleiner – aus \( [5;\,6] \) wird \( [5{,}4;\,5{,}5] \), dann \( [5{,}47;\,5{,}48] \) und so weiter. Abbrechen musst du nie, weil \( \sqrt{30} \) irrational ist: Genau dieses nicht abbrechende Verfahren zeigt, dass hier keine rationale Zahl herauskommen kann.
Das Heron-Verfahren (zusätzlich für Mathematik I)
Die Intervallschachtelung ist sicher, aber langsam. Schneller geht es mit dem Heron-Verfahren, das schon die Babylonier kannten. Die Idee ist geometrisch: Du suchst die Seitenlänge eines Quadrats mit dem Flächeninhalt \( a \). Nimm zunächst ein Rechteck mit dem Flächeninhalt \( a \) und einer geschätzten Seite \( x_n \). Die zweite Seite ist dann \( \dfrac{a}{x_n} \). Ist \( x_n \) zu groß, ist \( \dfrac{a}{x_n} \) zu klein – die gesuchte Wurzel liegt also dazwischen. Der Mittelwert der beiden Seiten ist die nächste, viel bessere Schätzung:
Beispiel 2b – \( \sqrt{30} \) mit dem Heron-Verfahren, Startwert \( x_0 = 5 \)
| Schritt 1 | \( x_1 = \left( 5 + \dfrac{30}{5} \right) : 2 = (5 + 6) : 2 \) | \( x_1 = 5{,}5 \) |
| Schritt 2 | \( x_2 = \left( 5{,}5 + \dfrac{30}{5{,}5} \right) : 2 = (5{,}5 + 5{,}45454\dots) : 2 \) | \( x_2 = 5{,}47727\dots \) |
| Schritt 3 | \( x_3 = \left( 5{,}47727\dots + \dfrac{30}{5{,}47727\dots} \right) : 2 \) | \( x_3 = 5{,}4772256\dots \) |
Kontrolle: Der Taschenrechner liefert \( \sqrt{30} = 5{,}4772255751\dots \) ✓. Nach nur drei Schritten stimmen bereits sieben Nachkommastellen – die Intervallschachtelung hätte dafür sieben Runden gebraucht. Und die Zwischenwerte klemmen die Wurzel ebenfalls ein: \( 5{,}5^2 = 30{,}25 > 30 \), \( 5{,}45454\dots^2 = 29{,}7520\dots < 30 \) ✓.
Der Startwert darf ruhig grob sein – das Verfahren korrigiert sich selbst, weil jeder Schritt die Zahl der richtigen Stellen etwa verdoppelt. Genau so rechnet auch dein Taschenrechner intern die Wurzeltaste aus.
Gleichungen der Form \( x^2 = a \) lösen
Hier lauert die häufigste Verwechslung des ganzen Kapitels. \( \sqrt{a} \) ist eine Zahl und nie negativ. Die Gleichung \( x^2 = a \) hat dagegen für \( a > 0 \) immer zwei Lösungen, denn \( (-x)^2 = x^2 \).
| \( x^2 = 49 \) | \( x = \pm\sqrt{49} = \pm 7 \) | \( \text{IL} = \{-7;\,7\} \) |
| \( x^2 = 2 \) | \( x = \pm\sqrt{2} \) | \( \text{IL} = \{-\sqrt{2};\,\sqrt{2}\} \) |
| \( x^2 = 0 \) | \( x = 0 \) | \( \text{IL} = \{0\} \) |
| \( x^2 = -4 \) | kein Quadrat ist negativ | \( \text{IL} = \{\;\} \) |
Beispiel 3 – erst umformen, dann Wurzel ziehen (Grundmenge \( \text{IR} \))
| Gleichung | \( 3x^2 – 15 = 21 \) |
| \( +15 \) | \( 3x^2 = 36 \) |
| \( :3 \) | \( x^2 = 12 \) |
| Wurzel ziehen | \( x = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3} \) |
| Lösungsmenge | \( \text{IL} = \{-2\sqrt{3};\,2\sqrt{3}\} \) |
Probe: \( \left(2\sqrt{3}\right)^2 = 2^2 \cdot 3 = 12 \), eingesetzt \( 3 \cdot 12 – 15 = 36 – 15 = 21 \) ✓. Ebenso für \( -2\sqrt{3} \), denn beim Quadrieren fällt das Minus weg ✓. Wie das \( \sqrt{12} \) zu \( 2\sqrt{3} \) wird, liest du in Kapitel 4.
Merke: \( \sqrt{a} \) ist für \( a \ge 0 \) definiert und selbst nie negativ: \( \left(\sqrt{a}\right)^2 = a \). Die Gleichung \( x^2 = a \) dagegen hat für \( a > 0 \) zwei Lösungen \( x = \pm\sqrt{a} \), für \( a = 0 \) genau eine und für \( a < 0 \) keine: \( \text{IL} = \{\;\} \). Kurz: Ein Wurzelzeichen liefert eine Zahl, eine Gleichung liefert eine Lösungsmenge.
3. Wurzeln geometrisch konstruieren – Einheitsquadrat und Wurzelschnecke
\( \sqrt{2} \) lässt sich nicht als Bruch schreiben – aber sie lässt sich mit Zirkel und Lineal exakt zeichnen. Nimm ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 (das Einheitsquadrat) und zieh die Diagonale. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \( d^2 = 1^2 + 1^2 = 2 \), also \( d = \sqrt{2} \). Diese Strecke kannst du mit dem Zirkel auf den Zahlenstrahl übertragen – damit hat \( \sqrt{2} \) einen völlig eindeutigen Platz.
Setzt du das Verfahren fort, entsteht die Wurzelschnecke: An die Hypotenuse des fertigen Dreiecks hängst du im rechten Winkel wieder eine Kathete der Länge 1. Die neue Hypotenuse ist dann die nächste Wurzel.
Jedes neue Dreieck erhöht den Radikanden um genau 1 – deshalb heißt die Figur auch Wurzelspirale.
Beispiel 4 – die Rechnung hinter der Schnecke
Die neue Hypotenuse \( h_{n+1} \) entsteht aus der alten \( h_n \) und der angesetzten Kathete 1 über \( h_{n+1}^2 = h_n^2 + 1^2 \):
| 1. Dreieck | \( 1^2 + 1^2 = 2 \) | \( h = \sqrt{2} \approx 1{,}41 \) |
| 2. Dreieck | \( \left(\sqrt{2}\right)^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 \) | \( h = \sqrt{3} \approx 1{,}73 \) |
| 3. Dreieck | \( \left(\sqrt{3}\right)^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4 \) | \( h = \sqrt{4} = 2 \) – rational! |
| 4. Dreieck | \( 2^2 + 1^2 = 5 \) | \( h = \sqrt{5} \approx 2{,}24 \) |
Schön zu sehen: Im dritten Schritt kommt mit \( \sqrt{4} = 2 \) plötzlich eine natürliche Zahl heraus. Irrationale und rationale Zahlen wechseln sich auf dem Zahlenstrahl ständig ab.
Beispiel 5 – Anwendung im Holzwerk Brandl
Das Holzwerk Brandl in Rosenheim baut einen quadratischen Tisch mit 0,90 m Seitenlänge. Für die Diagonalstrebe unter der Platte braucht Tobias die Länge der Diagonale.
| Pythagoras | \( d^2 = 0{,}9^2 + 0{,}9^2 = 0{,}81 + 0{,}81 = 1{,}62 \) |
| Wurzel ziehen | \( d = \sqrt{1{,}62}\ \text{m} \) |
| exakt umgeformt | \( d = \sqrt{2 \cdot 0{,}81}\ \text{m} = 0{,}9\sqrt{2}\ \text{m} \) |
| gerundet | \( d \approx 1{,}27\ \text{m} \) |
Kontrolle: \( \left(0{,}9\sqrt{2}\right)^2 = 0{,}81 \cdot 2 = 1{,}62 \) ✓, und \( 0{,}9 \cdot 1{,}41421\dots = 1{,}2728\dots \) ✓. Antwort: Die Diagonale ist \( 0{,}9\sqrt{2}\ \text{m} \approx 1{,}27\ \text{m} \) lang. In der Werkstatt sägt Tobias nach dem gerundeten Wert – in der Rechnung bleibt aber die exakte Form stehen, sonst schleppst du Rundungsfehler durch die ganze Aufgabe.
Merke: Jede Quadratwurzel \( \sqrt{n} \) lässt sich mit dem Satz des Pythagoras als Strecke exakt konstruieren: Das Einheitsquadrat liefert \( \sqrt{2} \), und in der Wurzelschnecke wird jede Hypotenuse zur Kathete des nächsten Dreiecks, sodass nacheinander \( \sqrt{2},\ \sqrt{3},\ \sqrt{4} = 2,\ \sqrt{5},\ \dots \) entstehen. Irrational heißt also nicht „ungenau“, sondern nur „nicht als Bruch schreibbar“.
Wenn die Wurzel doch aufgeht: pythagoreische Zahlentripel
In der Wurzelschnecke war \( \sqrt{4} = 2 \) der Glücksfall. Solche Glücksfälle gibt es auch bei ganzen rechtwinkligen Dreiecken: Drei natürliche Zahlen \( a,\ b,\ c \) mit \( a^2 + b^2 = c^2 \) heißen pythagoreisches Zahlentripel. Bei ihnen geht die Wurzel glatt auf. Das bekannteste ist \( 3,\ 4,\ 5 \) – mit einem Knotenseil aus zwölf gleichen Abschnitten haben die alten Ägypter damit rechte Winkel abgesteckt.
Beliebig viele solcher Tripel erzeugst du mit zwei natürlichen Zahlen \( n > m \ge 1 \) über
| \( n=2,\ m=1 \) | \( 3;\ 4;\ 5 \) | \( 9 + 16 = 25 = 5^2 \) ✓ |
| \( n=3,\ m=2 \) | \( 5;\ 12;\ 13 \) | \( 25 + 144 = 169 = 13^2 \) ✓ |
| \( n=4,\ m=3 \) | \( 7;\ 24;\ 25 \) | \( 49 + 576 = 625 = 25^2 \) ✓ |
| \( n=4,\ m=1 \) | \( 15;\ 8;\ 17 \) | \( 225 + 64 = 289 = 17^2 \) ✓ |
Über den Lehrplan hinaus: Für \( a^2 + b^2 = c^2 \) gibt es also unendlich viele Lösungen in natürlichen Zahlen. Pierre de Fermat behauptete um 1640, dass \( a^n + b^n = c^n \) für \( n > 2 \) keine Lösung mit natürlichen Zahlen \( a,\ b,\ c > 0 \) hat – und notierte, der Rand sei für den Beweis zu klein. Bewiesen wurde diese Aussage erst 1994 von Andrew Wiles, mehr als 350 Jahre später. Prüfungsrelevant ist das nicht, aber es zeigt: Der Exponent 2 ist wirklich ein Sonderfall.
4. Rechnen mit Wurzeln
Zuerst die gute Nachricht: In IR rechnest du genauso wie in Q. Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz gelten unverändert weiter – das nennt man das Permanenzprinzip. Neu ist nur der Umgang mit dem Wurzelzeichen selbst.
Zwei Regeln tragen das ganze Kapitel. Sie gelten für \( a \ge 0 \) und \( b \ge 0 \) (bei der Division zusätzlich \( b > 0 \)):
Ganz wichtig: Für Addition und Subtraktion gibt es keine solche Regel. \( \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 \), aber \( \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \). Sieben ist nicht fünf – \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \ne \sqrt{a+b} \).
Teilweises Radizieren
Steckt im Radikanden eine Quadratzahl als Faktor, kannst du deren Wurzel herausziehen. So gehst du vor: (1) Die größte Quadratzahl suchen, die im Radikanden als Faktor steckt. (2) Den Radikanden als Produkt schreiben. (3) Die Produktregel anwenden. (4) Prüfen, ob im Rest noch eine Quadratzahl steckt.
Beispiel 6 – \( \sqrt{50} \) vereinfachen
Kontrolle: \( \left(5\sqrt{2}\right)^2 = 5^2 \cdot 2 = 25 \cdot 2 = 50 \) ✓. Numerisch: \( 5 \cdot 1{,}41421\dots = 7{,}0711\dots \) und \( \sqrt{50} = 7{,}0711\dots \) ✓.
Warum das funktioniert, siehst du am Flächenbild: Ein Quadrat mit dem Flächeninhalt 50 zerfällt in \( 5 \cdot 5 = 25 \) kleine Quadrate mit je dem Flächeninhalt 2 – und jedes davon hat die Seitenlänge \( \sqrt{2} \). Fünf davon nebeneinander ergeben die große Seitenlänge \( 5\sqrt{2} \).
Fünf kleine Seiten nebeneinander – darum steht die 5 vor der Wurzel.
Beispiel 7 – wenn du nicht die größte Quadratzahl nimmst
| zu kleiner Faktor | \( \sqrt{72} = \sqrt{4 \cdot 18} = 2\sqrt{18} \) – noch nicht fertig |
| weiter zerlegen | \( 2\sqrt{18} = 2\sqrt{9 \cdot 2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \) |
| gleich richtig | \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2} \) |
| Kontrolle | \( \left(6\sqrt{2}\right)^2 = 36 \cdot 2 = 72 \) ✓ |
Weitere geübte Fälle: \( \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \) (Kontrolle \( 16 \cdot 3 = 48 \) ✓) und \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \) (Kontrolle \( 4 \cdot 3 = 12 \) ✓). Fertig bist du erst, wenn im Radikanden keine Quadratzahl außer 1 mehr steckt.
Addieren und Subtrahieren: nur gleichartige Wurzeln
Wurzeln mit demselben Radikanden heißen gleichartig. Sie verhalten sich wie gleichartige Terme: Aus \( 3x + 7x = 10x \) wird \( 3\sqrt{5} + 7\sqrt{5} = 10\sqrt{5} \). Nur die Vorfaktoren werden addiert, der Radikand bleibt unverändert.
Beispiel 8 – erst radizieren, dann zusammenfassen
| Aufgabe | \( \sqrt{8} + \sqrt{18} \) |
| teilweise radizieren | \( \sqrt{4 \cdot 2} + \sqrt{9 \cdot 2} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} \) |
| zusammenfassen | \( = 5\sqrt{2} \) |
Kontrolle: \( \sqrt{8} = 2{,}8284\dots \), \( \sqrt{18} = 4{,}2426\dots \), Summe \( 7{,}0711\dots \); und \( 5\sqrt{2} = 5 \cdot 1{,}41421\dots = 7{,}0711\dots \) ✓. Beachte: \( \sqrt{8} + \sqrt{18} \) ist nicht \( \sqrt{26} = 5{,}099\dots \).
Beispiel 9 – mit Minus
Kontrolle: \( \sqrt{12} = 3{,}4641\dots \), \( \sqrt{27} = 5{,}1962\dots \), Differenz \( -1{,}7321\dots = -\sqrt{3} \) ✓. Unterwegs geprüft: \( \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3} \), und \( \left(3\sqrt{3}\right)^2 = 9 \cdot 3 = 27 \) ✓. Nicht gleichartige Wurzeln wie \( 2\sqrt{3} + 5\sqrt{2} \) lässt du dagegen einfach stehen – das ist bereits das Endergebnis.
Multiplizieren und Dividieren
Hier darfst du zusammenfassen, auch wenn die Radikanden verschieden sind – genau dafür sind die beiden Regeln da.
| \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6 \) | Kontrolle: \( 6^2 = 36 = 3 \cdot 12 \) ✓ |
| \( \sqrt{6} \cdot \sqrt{24} = \sqrt{144} = 12 \) | Kontrolle: \( 6 \cdot 24 = 144 \), \( 12^2 = 144 \) ✓ |
| \( \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{10} \) | geht nicht weiter – 10 hat keinen Quadratteiler |
| \( \sqrt{98} : \sqrt{2} = \sqrt{49} = 7 \) | Kontrolle: \( 7^2 \cdot 2 = 98 \) ✓ |
| \( \left(3\sqrt{2}\right) \cdot \left(4\sqrt{5}\right) = 12\sqrt{10} \) | Vorfaktoren mal Vorfaktoren, Wurzel mal Wurzel |
Ein Sonderfall, den du oft brauchst: \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = \sqrt{a^2} = a \) für \( a \ge 0 \). Also \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \). Genau dieser Trick trägt den nächsten Abschnitt.
Den Nenner rational machen (zusätzlich für Mathematik I)
Steht in einem Bruch der Form \( \dfrac{a}{\sqrt{b}} \) eine Wurzel im Nenner, formst du sie weg. Der Grund ist praktisch: Durch eine Wurzel zu teilen ist unhandlich, und in der Lösung wird eine Form ohne Wurzel im Nenner erwartet. Du erweiterst dazu mit genau der Wurzel, die im Nenner steht (\( b > 0 \)):
Beispiel 10 – drei durchgerechnete Fälle
| \( \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \) | Kontrolle: \( 1 : 1{,}41421 = 0{,}70711 \); \( \tfrac{1{,}41421}{2} = 0{,}70711 \) ✓ |
| \( \dfrac{6}{\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \) | Kontrolle: \( 6 : 1{,}73205 = 3{,}4641 \); \( 2\sqrt{3} = 3{,}4641 \) ✓ |
| \( \dfrac{5}{\sqrt{10}} = \dfrac{5\sqrt{10}}{10} = \dfrac{\sqrt{10}}{2} \) | Kontrolle: \( 5 : 3{,}16228 = 1{,}58114 \); \( \tfrac{3{,}16228}{2} = 1{,}58114 \) ✓ |
Zwei Dinge fallen auf. Erstens ändert sich der Wert des Bruchs nie – du erweiterst nur, multiplizierst also mit \( \tfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = 1 \). Zweitens lässt sich hinterher oft kürzen: Aus \( \tfrac{6\sqrt{3}}{3} \) wird \( 2\sqrt{3} \), aus \( \tfrac{5\sqrt{10}}{10} \) wird \( \tfrac{\sqrt{10}}{2} \). Diesen letzten Schritt vergessen viele.
Steht im Nenner eine Summe oder Differenz mit Wurzel, hilft das einfache Erweitern nicht – du erweiterst dann mit dem konjugierten Term, also demselben Ausdruck mit umgedrehtem Vorzeichen. Nach der dritten binomischen Formel \( (x+y)(x-y) = x^2 – y^2 \) verschwindet die Wurzel:
| \( \dfrac{6}{3+\sqrt{3}} = \dfrac{6\left(3-\sqrt{3}\right)}{\left(3+\sqrt{3}\right)\left(3-\sqrt{3}\right)} = \dfrac{6\left(3-\sqrt{3}\right)}{9-3} = 3-\sqrt{3} \) | Kontrolle: \( 6 : 4{,}7320508 = 1{,}2679492 \); \( 3-1{,}7320508 = 1{,}2679492 \) ✓ |
| \( \dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{5-2} = \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3} \) | Kontrolle: \( 1 : 0{,}8218544 = 1{,}2167605 \); \( \tfrac{3{,}6502816}{3} = 1{,}2167605 \) ✓ |
Merke: Es gilt \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} \) und \( \sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{a:b} \) – für Plus und Minus gibt es keine solche Regel. Teilweise radizieren heißt: die größte Quadratzahl im Radikanden herausziehen, z. B. \( \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \). Addiert werden nur gleichartige Wurzeln, also solche mit demselben Radikanden. Und in Mathematik I gilt zusätzlich: \( \dfrac{a}{\sqrt{b}} \) wird durch Erweitern mit \( \sqrt{b} \) zu \( \dfrac{a\sqrt{b}}{b} \) – danach kürzen nicht vergessen.
5. Das Wichtigste in Kürze
Merke – die fünf Kernpunkte dieser Seite:
- \( \text{IN} \subset \text{Z} \subset \text{Q} \subset \text{IR} \). Rationale Zahlen sind Brüche ganzer Zahlen (abbrechend oder periodisch), irrationale Zahlen haben unendlich viele Nachkommastellen ohne Periode.
- \( \sqrt{2} \) ist nachweislich kein Bruch – der Widerspruchsbeweis begründet die Erweiterung von Q auf IR.
- Für \( a \ge 0 \) ist \( \sqrt{a} \) die nichtnegative Zahl mit \( \left(\sqrt{a}\right)^2 = a \). Die Gleichung \( x^2 = a \) hat dagegen für \( a > 0 \) zwei Lösungen \( \pm\sqrt{a} \).
- Jede Wurzel ist geometrisch exakt konstruierbar: Einheitsquadrat für \( \sqrt{2} \), Wurzelschnecke für \( \sqrt{3},\ \sqrt{4},\ \sqrt{5},\ \dots \) Näherungswerte liefern die Intervallschachtelung und – deutlich schneller – das Heron-Verfahren \( x_{n+1} = \left( x_n + \tfrac{a}{x_n} \right) : 2 \).
- Multiplizieren und Dividieren dürfen unter eine Wurzel, Addieren und Subtrahieren nicht. Teilweises Radizieren zieht die größte Quadratzahl heraus; in Mathematik I kommt das Rationalmachen des Nenners dazu.
6. So fragt die Abschlussprüfung
Wurzeln sind in der Abschlussprüfung fast nie das eigentliche Thema, sondern das Werkzeug: Eine Fläche ist gegeben und die Seitenlänge gesucht, eine Gleichung \( x^2 = a \) fällt bei einer Sachaufgabe an, oder ein Ergebnis soll in der exakten Form \( k\sqrt{n} \) stehen bleiben. Vier typische Formen aus dem Holzwerk-Kontext.
Aufgabe 1 – die Gleichung \( x^2 = a \) und ihre Lösungsmenge. Katharina Brandl bestellt eine quadratische Tischplatte mit dem Flächeninhalt \( 0{,}64\ \text{m}^2 \). Bestimme zuerst die Lösungsmenge der Gleichung \( x^2 = 0{,}64 \) in IR und dann die Kantenlänge der Platte.
| Ansatz | \( x^2 = 0{,}64 \), \( \; x \in \text{IR} \) |
| Wurzel ziehen, beide Vorzeichen | \( x = \pm\sqrt{0{,}64} = \pm 0{,}8 \) |
| Lösungsmenge in IR | \( \text{IL} = \{-0{,}8;\ 0{,}8\} \) |
| Sachkontext: nur \( x > 0 \) | \( x = 0{,}80\ \text{m} \) |
Gegenprobe: \( 0{,}80^2 = 0{,}64 \) ✓ und auch \( (-0{,}80)^2 = 0{,}64 \) ✓ – rechnerisch sind beide Werte Lösungen. Antwort: Die Kante ist 0,80 m lang. Der Definitionsbereich ist hier entscheidend: Als Länge kommt nur \( x \in \text{IR},\ x > 0 \) infrage, also fällt \( -0{,}8 \) weg. Genau diese Unterscheidung zwischen der Lösungsmenge der Gleichung und der sinnvollen Lösung der Sachaufgabe bringt in der Prüfung Punkte.
Aufgabe 2 – exaktes Ergebnis durch teilweises Radizieren. Aus einer Platte sägt Tobias ein Quadrat mit dem Flächeninhalt \( 5000\ \text{cm}^2 \). Gib die Kantenlänge exakt und auf zwei Nachkommastellen gerundet an.
| Ansatz | \( a = \sqrt{5000\ \text{cm}^2} \) |
| größte Quadratzahl abspalten | \( 5000 = 2500 \cdot 2 \) |
| Produktregel | \( \sqrt{2500 \cdot 2} = \sqrt{2500} \cdot \sqrt{2} = 50\sqrt{2} \) |
| Ergebnis | \( a = 50\sqrt{2}\ \text{cm} \approx 70{,}71\ \text{cm} \) |
Gegenprobe: \( \left(50\sqrt{2}\right)^2 = 50^2 \cdot 2 = 2500 \cdot 2 = 5000 \) ✓. Numerisch: \( 50 \cdot 1{,}4142136 = 70{,}71068\ldots \), und \( 70{,}71^2 = 4999{,}9\ldots \) ✓. Antwort: Die Kante ist exakt \( 50\sqrt{2}\ \text{cm} \), also rund 70,71 cm lang. Im Radikanden steckt nach dem Abspalten nur noch die 2 – keine Quadratzahl mehr, das Ergebnis ist also fertig vereinfacht.
Aufgabe 3 – gleichartige Wurzeln zusammenfassen. Zwei quadratische Zuschnitte haben die Flächeninhalte \( 8\ \text{dm}^2 \) und \( 18\ \text{dm}^2 \). Lena legt sie Kante an Kante in eine Reihe. Wie lang ist die Reihe exakt?
| erste Kante | \( a_1 = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \) (in dm) |
| zweite Kante | \( a_2 = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} \) (in dm) |
| gleichartig, also addierbar | \( a_1 + a_2 = 5\sqrt{2}\ \text{dm} \approx 7{,}07\ \text{dm} \) |
Gegenprobe: Einzeln näherungsweise: \( \sqrt{8} = 2{,}82843\ldots \), \( \sqrt{18} = 4{,}24264\ldots \), Summe \( 7{,}07107\ldots \); und \( 5\sqrt{2} = 7{,}07107\ldots \) ✓. Achtung: \( \sqrt{8} + \sqrt{18} \) ist nicht \( \sqrt{26} = 5{,}099\ldots \) – für die Addition gibt es keine Wurzelregel. Antwort: Die Reihe ist exakt \( 5\sqrt{2}\ \text{dm} \), also rund 7,07 dm lang.
Aufgabe 4 – Nenner rational machen (Mathematik I). Von einem quadratischen Zuschnitt ist nur die Diagonale bekannt: \( d = 6\ \text{dm} \). Wegen \( d = a\sqrt{2} \) gilt \( a = \dfrac{6}{\sqrt{2}} \). Gib die Kantenlänge ohne Wurzel im Nenner an.
| Ansatz | \( a = \dfrac{6}{\sqrt{2}} \) |
| mit \( \sqrt{2} \) erweitern | \( a = \dfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{6\sqrt{2}}{2} \) |
| kürzen | \( a = 3\sqrt{2}\ \text{dm} \approx 4{,}24\ \text{dm} \) |
Gegenprobe: Aus der Kante zurück zur Diagonale: \( \left(3\sqrt{2}\right)^2 + \left(3\sqrt{2}\right)^2 = 18 + 18 = 36 = 6^2 \) ✓. Numerisch: \( 6 : 1{,}4142136 = 4{,}24264\ldots \) und \( 3 \cdot 1{,}4142136 = 4{,}24264\ldots \) ✓. Antwort: Die Kante ist exakt \( 3\sqrt{2}\ \text{dm} \), also rund 4,24 dm lang. Das Kürzen am Schluss ist Teil der Lösung – \( \tfrac{6\sqrt{2}}{2} \) wäre nicht vollständig vereinfacht.
7. Typische Fehler – und wie du die Punkte rettest
- Wurzeln addiert wie Faktoren. Ursache: Die Produktregel \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} \) wird fälschlich auf Plus übertragen, also \( \sqrt{8}+\sqrt{18} = \sqrt{26} \) gerechnet. Vermeidung: Mach die Zahlenprobe im Kopf mit \( \sqrt{9}+\sqrt{16} = 3+4 = 7 \), aber \( \sqrt{25} = 5 \). Addiert werden nur die Vorfaktoren gleichartiger Wurzeln.
- Bei \( x^2 = a \) nur eine Lösung angegeben. Ursache: Die Wurzel \( \sqrt{a} \) und die Gleichung \( x^2 = a \) werden gleichgesetzt. Vermeidung: \( \sqrt{a} \) ist eine Zahl (nie negativ), die Gleichung \( x^2 = a \) hat für \( a > 0 \) dagegen zwei Lösungen: \( \text{IL} = \{-\sqrt{a};\ \sqrt{a}\} \). Erst der Sachkontext streicht die negative wieder.
- Beim teilweisen Radizieren nicht die größte Quadratzahl genommen. Ursache: Es wird \( \sqrt{72} = 2\sqrt{18} \) geschrieben und dort aufgehört. Vermeidung: Frage nach jedem Schritt, ob im Radikanden noch eine Quadratzahl steckt – fertig bist du erst, wenn dort nur noch quadratfreie Faktoren stehen (\( 6\sqrt{2} \)).
- Den Vorfaktor beim Quadrieren vergessen. Ursache: \( \left(5\sqrt{2}\right)^2 \) wird als \( 5 \cdot 2 = 10 \) statt als \( 25 \cdot 2 = 50 \) gerechnet. Vermeidung: Quadriere beide Faktoren getrennt: \( \left(k\sqrt{n}\right)^2 = k^2 \cdot n \). Genau so läuft auch jede Gegenprobe.
- Zu früh gerundet und dann exakt gefragt. Ursache: Es wird sofort mit 1,41 weitergerechnet, obwohl die Aufgabe die exakte Form verlangt. Vermeidung: Rechne die ganze Aufgabe in der Form \( k\sqrt{n} \) durch und gib die Näherung erst im Antwortsatz an. Irrationale Zahlen wie \( \sqrt{2} \) haben unendlich viele Nachkommastellen – jede frühe Rundung verfälscht die Folgeschritte.
- Nach dem Rationalmachen nicht gekürzt. Ursache: Das Erweitern gilt als der letzte Schritt, also bleibt \( \tfrac{6\sqrt{2}}{2} \) stehen. Vermeidung: Prüfe nach dem Erweitern immer, ob Zählerzahl und Nennerzahl einen gemeinsamen Teiler haben – hier 2, das Ergebnis ist \( 3\sqrt{2} \).
Weiterlernen
- Satz des Pythagoras – die wichtigste Quelle für Wurzeln in Sachaufgaben.
- Potenzen – das Quadrieren, dessen Umkehrung du hier gelernt hast.
- Quadratische Funktionen und Gleichungen – dort brauchst du \( x^2 = a \) in jeder Aufgabe.
- Systeme linearer Gleichungen – die Äquivalenzumformungen, die auch beim Umformen von \( x^2 = a \) gelten.
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