Physik Realschule Bayern › Mechanik › Jahrgangsstufe 9
Gesetz von Boyle-Mariotte
Physik · Realschule · Jahrgangsstufe 9 · Bayern · Teilbereich Mechanik
Im Lernbereich Mechanik von Flüssigkeiten und Gasen der 9. Jahrgangsstufe untersuchen Lernende den Zusammenhang zwischen Druck und Volumen eines eingeschlossenen Gases bei konstanter Temperatur. Das Gesetz von Boyle-Mariotte ist ein Spezialfall der allgemeinen Gasgleichung, die in der 9. Jahrgangsstufe in der Wärmelehre folgt.
Gas lässt sich zusammendrücken
Ein eingeschlossenes Gas lässt sich mit einem Kolben zusammendrücken: Sein Volumen wird kleiner, der Druck steigt. Im Teilchenmodell ist das klar: Je kleiner das Volumen, desto mehr Teilchen treffen pro Fläche und Zeit auf die Wände. Hält man die Temperatur konstant, besteht zwischen Druck \(p\) und Volumen \(V\) ein einfacher Zusammenhang.
Das Gesetz von Boyle-Mariotte
Merke: Bei konstanter Temperatur ist das Volumen \(V\) einer eingeschlossenen Gasmenge indirekt proportional zum Druck \(p\). Das Produkt aus Druck und Volumen bleibt konstant:
\( p\cdot V=\text{konstant}\qquad p_1\cdot V_1=p_2\cdot V_2 \)
Indirekt proportional heißt: Verdoppelt man den Druck, halbiert sich das Volumen; verdreifacht man den Druck, geht das Volumen auf ein Drittel zurück. Umgestellt lässt sich jede der vier Größen berechnen, zum Beispiel:
\( p_2=\dfrac{p_1\cdot V_1}{V_2}\qquad V_2=\dfrac{p_1\cdot V_1}{p_2} \)
Beispiel 1: Luft in einer Fahrradpumpe
In einer Fahrradpumpe sind \(V_1=6{,}0\,\mathrm{L}\) Luft bei \(p_1=1{,}0\,\mathrm{bar}\) eingeschlossen. Der Kolben drückt die Luft auf \(V_2=2{,}0\,\mathrm{L}\) zusammen (Temperatur gleich). Welcher Druck herrscht dann?
Gegeben: \(p_1=1{,}0\,\mathrm{bar}\), \(V_1=6{,}0\,\mathrm{L}\), \(V_2=2{,}0\,\mathrm{L}\)
Gesucht: \(p_2\)
Formel: \(p_1\cdot V_1=p_2\cdot V_2\;\Rightarrow\; p_2=\frac{p_1\cdot V_1}{V_2}\)
\( p_2=\dfrac{1{,}0\,\mathrm{bar}\cdot 6{,}0\,\mathrm{L}}{2{,}0\,\mathrm{L}}=3{,}0\,\mathrm{bar} \)
Antwort: Der Druck steigt auf \(3{,}0\,\mathrm{bar}\). Weil das Volumen auf ein Drittel sinkt, verdreifacht sich der Druck.
Beispiel 2: Die p-V-Kurve
Trage die Wertepaare aus der Tabelle in ein Druck-Volumen-Diagramm ein. Welche Kurvenform ergibt sich?
| \(V\) in \(\mathrm{L}\) | 6 | 3 | 2 | 1 |
| \(p\) in \(\mathrm{bar}\) | 1 | 2 | 3 | 6 |
| \(p\cdot V\) | 6 | 6 | 6 | 6 |
Antwort: Es ergibt sich eine fallende, gebogene Kurve (Hyperbel). Das Produkt \(p\cdot V\) ist in jeder Spalte gleich \(6\). Bei einer indirekten Proportionalität liegen die Punkte nie auf einer Geraden durch den Ursprung.
Beispiel 3: Luftblase steigt auf
Ein Taucher lässt in \(20\,\mathrm{m}\) Tiefe (dort herrschen etwa \(3\,\mathrm{bar}\)) eine Luftblase von \(1{,}0\,\mathrm{cm^3}\) aufsteigen. Welches Volumen hat sie dicht unter der Oberfläche bei \(1\,\mathrm{bar}\)? Die Temperatur werde als gleich angenommen.
Gegeben: \(p_1=3\,\mathrm{bar}\), \(V_1=1{,}0\,\mathrm{cm^3}\), \(p_2=1\,\mathrm{bar}\)
Gesucht: \(V_2\)
Formel: \(V_2=\frac{p_1\cdot V_1}{p_2}\)
\( V_2=\dfrac{3\,\mathrm{bar}\cdot 1{,}0\,\mathrm{cm^3}}{1\,\mathrm{bar}}=3{,}0\,\mathrm{cm^3} \)
Antwort: Die Blase wird dreimal so groß, \(3{,}0\,\mathrm{cm^3}\). Deshalb dürfen Taucher beim Auftauchen nicht die Luft anhalten: Die Luft in der Lunge dehnt sich aus.
Typische Fehler und Prüfungstipps
- Direkt statt indirekt proportional: Bei Boyle-Mariotte wird das Volumen kleiner, wenn der Druck steigt. Das Produkt \(p\cdot V\) bleibt gleich.
- Temperatur vergessen: Das Gesetz gilt nur bei konstanter Temperatur.
- Einheiten gemischt: \(p_1,V_1\) und \(p_2,V_2\) jeweils in denselben Einheiten einsetzen; die Einheit von \(p\cdot V\) muss links und rechts gleich sein.
- Punkte auf eine Gerade gelegt: Im p-V-Diagramm ergibt sich eine gebogene Hyperbel, keine Ursprungsgerade.
- Luftmenge geändert: Das Gesetz gilt für eine abgeschlossene Gasmenge. Lässt man Luft entweichen, gilt es nicht mehr.
Üben: Aufgaben zum Gesetz von Boyle-Mariotte
Der Aufgabengenerator erstellt Aufgaben zu Druck und Volumen eingeschlossener Gase, zu p-V-Diagrammen und zu Anwendungen wie Pumpe und Tauchen, mit Lösungsweg und als PDF druckbar.
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Vertiefung Jahrgangsstufe 9: Absoluter Nullpunkt und Gasgesetze
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