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Grundgleichung der Mechanik
Physik · Realschule · Jahrgangsstufe 10 · Bayern · Teilbereich Mechanik
Im Lernbereich Mechanik der 10. Jahrgangsstufe lernen Lernende die Grundgleichung der Mechanik \(F=m\cdot a\) kennen, die Kraft, Masse und Beschleunigung verbindet. Sie erklärt die Einheit Newton und verbindet die Bewegungsgesetze mit dem Kraftbegriff aus der 7. Jahrgangsstufe. Die Grundgleichung ist eine Kernformel der Abschlussprüfung.
Kraft, Masse und Beschleunigung
In der 7. Jahrgangsstufe hast du gelernt: Eine Kraft kann den Bewegungszustand eines Körpers ändern, ihn also beschleunigen. Wie stark ein Körper beschleunigt wird, hängt von zwei Dingen ab: von der Kraft \(F\) und von der Masse \(m\). Je größer die Kraft, desto größer die Beschleunigung; je größer die Masse (je träger der Körper), desto kleiner die Beschleunigung. Das fasst die Grundgleichung der Mechanik zusammen:
\( F=m\cdot a \)
Die Einheit der Kraft ergibt sich daraus: \(1\,\mathrm{N}=1\,\mathrm{kg}\cdot 1\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}=1\,\mathrm{\frac{kg\cdot m}{s^2}}\). Ein Newton ist also die Kraft, die einen Körper von \(1\,\mathrm{kg}\) mit \(1\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\) beschleunigt. Umgestellt: \(a=\frac{F}{m}\) und \(m=\frac{F}{a}\).
Beispiel 1: Kraft beim Anfahren
Ein Auto mit der Masse \(1200\,\mathrm{kg}\) wird mit \(2{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\) beschleunigt. Welche Kraft treibt es an?
Gegeben: \(m=1200\,\mathrm{kg}\), \(a=2{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\)
Gesucht: Kraft \(F\)
Formel: \(F=m\cdot a\)
\( F=1200\,\mathrm{kg}\cdot 2{,}5\,\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}=3000\,\mathrm{N}=3\,\mathrm{kN} \)
Antwort: Der Motor muss eine Antriebskraft von \(3000\,\mathrm{N}\) aufbringen.
Beispiel 2: Beschleunigung zweier verschieden schwerer Wagen
Auf einen Wagen von \(1500\,\mathrm{kg}\) und auf einen von \(3000\,\mathrm{kg}\) wirkt jeweils dieselbe Kraft von \(3000\,\mathrm{N}\). Wie groß ist die Beschleunigung?
Gegeben: \(F=3000\,\mathrm{N}\); \(m_1=1500\,\mathrm{kg}\), \(m_2=3000\,\mathrm{kg}\)
Gesucht: \(a_1\), \(a_2\)
Formel: \(a=\frac{F}{m}\)
\( a_1=\dfrac{3000\,\mathrm{N}}{1500\,\mathrm{kg}}=2{,}0\,\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}\qquad a_2=\dfrac{3000\,\mathrm{N}}{3000\,\mathrm{kg}}=1{,}0\,\mathrm{\tfrac{m}{s^2}} \)
Antwort: Der leichtere Wagen wird mit \(2{,}0\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\) beschleunigt, der doppelt so schwere nur mit \(1{,}0\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\). Bei gleicher Kraft ist die Beschleunigung also indirekt proportional zur Masse: doppelte Masse, halbe Beschleunigung.
Die Grundgleichung und die Gewichtskraft
Die Formel \(F_G=m\cdot g\) aus der 7. Jahrgangsstufe ist ein Sonderfall der Grundgleichung: Beim freien Fall ist die Kraft die Gewichtskraft und die Beschleunigung der Ortsfaktor \(g\). Die Einheit \(\mathrm{\frac{N}{kg}}\) des Ortsfaktors ist deshalb gleichwertig mit \(\mathrm{\frac{m}{s^2}}\).
Beispiel 3: Gewichtskraft als Grundgleichung
Zeige, dass die Gewichtskraft eines \(2{,}0\,\mathrm{kg}\)-Körpers dieselbe ist, ob man mit \(F_G=m\cdot g\) oder mit \(F=m\cdot a\) (und \(a=g\)) rechnet.
Gegeben: \(m=2{,}0\,\mathrm{kg}\), \(g=9{,}81\,\mathrm{\frac{N}{kg}}=9{,}81\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\)
Gesucht: Gewichtskraft \(F_G\)
Formel: \(F=m\cdot a\) mit \(a=g\)
\( F_G=m\cdot g=2{,}0\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}81\,\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}\approx 19{,}6\,\mathrm{N} \)
Antwort: Beide Rechnungen ergeben \(19{,}6\,\mathrm{N}\). Die Gewichtskraft ist einfach die Kraft, die den Körper im freien Fall mit \(g\) beschleunigt.
Beispiel 4: Vom Diagramm zur Kraft
Ein Wagen von \(2{,}0\,\mathrm{kg}\) wird aus der Ruhe beschleunigt. Nach \(4{,}0\,\mathrm{s}\) ist er \(6{,}0\,\mathrm{\frac{m}{s}}\) schnell. Welche Kraft wirkte?
Gegeben: \(m=2{,}0\,\mathrm{kg}\), \(\Delta v=6{,}0\,\mathrm{\frac{m}{s}}\), \(\Delta t=4{,}0\,\mathrm{s}\)
Gesucht: Kraft \(F\)
Formel: erst \(a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\), dann \(F=m\cdot a\)
Schritt 1: Beschleunigung aus der Geschwindigkeitsänderung:
\( a=\dfrac{6{,}0\,\mathrm{\frac{m}{s}}}{4{,}0\,\mathrm{s}}=1{,}5\,\mathrm{\tfrac{m}{s^2}} \)
Schritt 2: Kraft mit der Grundgleichung:
\( F=2{,}0\,\mathrm{kg}\cdot 1{,}5\,\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}=3{,}0\,\mathrm{N} \)
Antwort: Es wirkte eine Kraft von \(3{,}0\,\mathrm{N}\). Solche Aufgaben kombinieren oft die Bewegungsgesetze mit der Grundgleichung: erst \(a\) bestimmen, dann \(F\).
Typische Fehler und Prüfungstipps
- Masse und Gewichtskraft verwechselt: In \(F=m\cdot a\) steht die Masse in Kilogramm, nicht die Gewichtskraft.
- Einheit der Kraft: \(1\,\mathrm{N}=1\,\mathrm{\frac{kg\cdot m}{s^2}}\). Masse in \(\mathrm{kg}\), Beschleunigung in \(\mathrm{\frac{m}{s^2}}\) einsetzen.
- Formel verdreht: \(a=\frac{F}{m}\), nicht \(a=F\cdot m\). Große Masse bedeutet kleine Beschleunigung.
- Zweistufige Aufgaben: Oft muss erst die Beschleunigung aus einem Bewegungsgesetz berechnet werden, bevor man \(F=m\cdot a\) anwendet.
- Resultierende Kraft vergessen: In \(F=m\cdot a\) steht die gesamte beschleunigende (resultierende) Kraft; Reibung muss gegebenenfalls abgezogen werden.
Üben: Aufgaben zur Grundgleichung der Mechanik
Der Aufgabengenerator erstellt Aufgaben zu Kraft, Masse und Beschleunigung, auch in Verbindung mit den Bewegungsgesetzen, mit Lösungsweg und als PDF druckbar.
Vorheriges Thema: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung und freier Fall
Nächstes Thema: Kinetische Energie
Grundlage Jahrgangsstufe 7: Kraft und Kraftwirkungen
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