Verkettete und verknüpfte Funktionen untersuchen
Mathematik FOS/BOS 13 · Bayern · Analysis (Technik)
Bei einer Verkettung \(f(x)=\text{äußere}\big(\text{innere}(x)\big)\) steckt eine innere Funktion (u(x)) in einer äußeren. Definitionsbereich, Symmetrie und Ableitung hängen eng von der inneren Funktion ab.
1 Definitionsbereich aus der inneren Funktion
Der Definitionsbereich richtet sich nach der inneren Funktion und den Einschränkungen der äußeren (Wurzel, \(\ln\), Nenner).
Beispiel. \(f(x)=\sqrt{1-x^{2}}\): unter der Wurzel muss \(1-x^{2}\ge0\) gelten ⇒ \(D_f=[-1;1]\).
2 Ableiten mit der Kettenregel
äußere Ableitung mal innere Ableitung:
\(\big(f(u(x))\big)’=f’\big(u(x)\big)\cdot u'(x)\)
Beispiele.
| \(f(x)=e^{-x^{2}}\Rightarrow f'(x)=-2x\,e^{-x^{2}}\) | innere \(-x^{2}\) |
| \(f(x)=\arctan(x^{2}-4)\Rightarrow f'(x)=\dfrac{2x}{1+(x^{2}-4)^{2}}\) | innere \(x^{2}-4\) |
| \(f(x)=\sqrt{1-x^{2}}\Rightarrow f'(x)=\dfrac{-x}{\sqrt{1-x^{2}}}\) | innere \(1-x^{2}\) |
3 Symmetrie über die innere Funktion
Ist die innere Funktion achsensymmetrisch (nur gerade Potenzen), so ist auch die Verkettung achsensymmetrisch.
Beispiel. \(f(x)=\arctan(x^{2}-4)\): wegen \(f(-x)=\arctan\big((-x)^{2}-4\big)=\arctan(x^{2}-4)=f(x)\) ist \(f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.
4 Kurvendiskussion – Beispiel \(f(x)=e^{-x^{2}}\)
Vollständige Untersuchung der Gauß-Glocke:
| \(D_f=\mathbb{R}\); achsensymmetrisch \(\text{innere }(-x^{2})\text{ gerade}\) | Grundeigenschaften |
| \(e^{-x^{2}} > 0\Rightarrow\) keine Nullstellen; \(f(0)=1\) | Nullstellen / y-Achse |
| \(f'(x)=-2x\,e^{-x^{2}}=0\Rightarrow x=0\) | Extremstelle |
| \(f^{\prime\prime}(x)=(4x^{2}-2)e^{-x^{2}};\; f^{\prime\prime}(0)=-2\lt 0\) | \(\Rightarrow\) Hochpunkt \(HP(0\mid1)\) |
| \(f^{\prime\prime}(x)=0\Rightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt2}\) | Wendepunkte |
| \(\lim_{x\to\pm\infty}e^{-x^{2}}=0\) | Asymptote \(y=0\) |
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
Bei \(\sqrt{1-x^{2}}\) den Definitionsbereich \(\mathbb{R}\) angeben.
✓ Richtig
Innere Funktion beachten: \(1-x^{2}\ge0\Rightarrow D_f=[-1;1]\).
✗ Falsch
Beim Ableiten die innere Ableitung vergessen.
✓ Richtig
Kettenregel: \(f'(u)\cdot u’\) – z. B. \(\big(e^{-x^{2}}\big)’=-2x\,e^{-x^{2}}\).
✗ Falsch
\(e^{-x^{2}}=0\) als Nullstelle lösen.
✓ Richtig
\(e^{\text{(irgendetwas)}}> 0\) – die Gauß-Glocke hat keine Nullstelle.
Auf einen Blick
- Definitionsbereich aus der inneren Funktion \(Wurzel (\ge0), (\ln > 0), Nenner (\neq0)\).
- Ableiten: Kettenregel \(f'(u)\cdot u’\).
- Symmetrie: gerade innere Funktion \(\Rightarrow\) achsensymmetrische Verkettung.
- Beispiel: \(e^{-x^{2}}\) – HP \((0\mid1)\), Wende \(\pm\frac{1}{\sqrt2}\), Asymptote \(y=0\).
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