Differenzialgleichungen
Mathematik FOS/BOS 13 · Bayern · Analysis (Technik)
Eine Differenzialgleichung (DGL) ist eine Gleichung, in der eine gesuchte Funktion zusammen mit ihren Ableitungen vorkommt. Ihre Lösung ist keine Zahl, sondern eine Funktion \(y(x)\). DGL beschreiben Wachstums- und Zerfallsprozesse.
1 Ordnung einer DGL
Die Ordnung ist die höchste vorkommende Ableitung.
- \(y’=2y\) – Ordnung 1
- \(y“+y’=5\) – Ordnung 2
- \(y“=y\) – Ordnung 2
2 Lösung nachweisen & allgemeine/spezielle Lösung
Eine Funktion ist Lösung, wenn sie beim Einsetzen die DGL erfüllt. Eine DGL hat unendlich viele Lösungen (allgemeine Lösung mit Parametern). Eine Anfangsbedingung wählt daraus die spezielle Lösung aus (Anfangswertproblem).
Beispiel. Zeige, dass \(y(x)=C\,e^{x}\) die DGL \(y’=y\) löst, und bestimme die spezielle Lösung zu \(y(0)=1\).
| \(y'(x)=C\,e^{x}=y(x)\) | einsetzen \(\Rightarrow\) erfüllt |
| \(y(0)=C\,e^{0}=C=1\Rightarrow C=1\) | Anfangsbedingung |
| spezielle Lösung: \(y(x)=e^{x}\) |
3 Separierbare DGL – Trennung der Variablen
Lässt sich die DGL in der Form \(y’=g(x)\cdot h(y)\) schreiben, so trennt man die Variablen und integriert beide Seiten:
\(\displaystyle\int \frac{1}{h(y)}\,dy=\int g(x)\,dx\)
Beispiel A – Wachstum/Zerfall. \(y’=k\,y\)
| \(\displaystyle\int\frac{1}{y}\,dy=\int k\,dx\) | trennen |
| \(\ln|y|=kx+C_1\) | integrieren |
| \(y=C\,e^{kx}\) | nach \(y\) auflösen |
Beispiel B. \(y’=(1+y^{2})\cdot x\)
| \(\displaystyle\int\frac{1}{1+y^{2}}\,dy=\int x\,dx\) | trennen |
| \(\arctan(y)=\tfrac{1}{2}x^{2}+C\) | integrieren |
| \(y=\tan\!\big(\tfrac{1}{2}x^{2}+C\big)\) | nach \(y\) auflösen |
4 Anwendung: exponentielles Wachstum und Zerfall
Ist die Änderungsrate proportional zum Bestand, gilt \(y’=k\,y\) mit Lösung
\(y(t)=y_0\,e^{k t}\)
- \(k>0\): Wachstum (z. B. Bakterien),
- \(k<0\): Zerfall (z. B. radioaktiver Zerfall),
- \(y_0=y(0)\) ist der Anfangsbestand.
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
Die Integrationskonstante \(C\) vergessen.
✓ Richtig
Beim Integrieren entsteht \(+C\) – erst danach die Anfangsbedingung einsetzen.
✗ Falsch
Bei \(\int\tfrac1y\,dy\) nicht zu \(\ln|y|\) integrieren.
✓ Richtig
\(\int\tfrac1y\,dy=\ln|y|\) – danach exponenzieren zu \(y=C\,e^{kx}\).
✗ Falsch
Die Ordnung an der höchsten Potenz von \(y\) ablesen.
✓ Richtig
Die Ordnung ist die höchste Ableitung, nicht die höchste Potenz.
Auf einen Blick
- Ordnung: höchste vorkommende Ableitung.
- Lösung nachweisen: Funktion einsetzen, DGL muss erfüllt sein.
- allgemein/speziell: allgemeine Lösung mit Parametern; Anfangsbedingung wählt die spezielle aus.
- separierbar: \(\int\tfrac{1}{h(y)}dy=\int g(x)\,dx\).
- Merke: \(y’=k\,y\Rightarrow y=y_0\,e^{kt}\) (Wachstum/Zerfall).
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