Die natürliche Logarithmusfunktion \(\ln\)
Mathematik FOS/BOS 13 · Bayern · Exponential- und Logarithmusfunktionen (Nichttechnik)
Die natürliche Logarithmusfunktion \(f(x)=\ln(x)\) ist die Umkehrfunktion der \(e\)-Funktion. Sie beantwortet die Frage: „Mit welchem Exponenten muss ich \(e\) potenzieren, um \(x\) zu erhalten?“ – also \(e^{\ln(x)}=x\).
1 Definition: \(\ln\) als Umkehrfunktion von \(e^x\)
Natürlicher Logarithmus. \(\ln\) ist die Umkehrfunktion von \(e^{x}\). Es gilt für alle \(x>0\) und alle \(y\in\mathbb{R}\):
\(\ln(x)=y \;\Longleftrightarrow\; e^{y}=x\)
- Definitionsmenge: \(D_f=\;]0;\infty[\) (nur positive Zahlen)
- Wertemenge: \(W_f=\mathbb{R}\)
2 Eigenschaften des Graphen
- Nullstelle: \(\ln(1)=0\) – der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=1\).
- Streng monoton steigend auf ganz \(D_f\).
- Rechtsgekrümmt (konkav): \(\ln\) wächst immer langsamer – langsamer als jede ganzrationale Funktion.
- Senkrechte Asymptote \(x=0\) (die \(y\)-Achse).
- Grenzwerte: \(\lim\limits_{x\to0^{+}}\ln(x)=-\infty\) und \(\lim\limits_{x\to\infty}\ln(x)=+\infty\).
3 Wichtige Werte und Umkehrbeziehung
| Regel | Wert / Bedeutung |
|---|---|
| \(\ln(1)\) | \(=0\) (denn \(e^{0}=1\)) |
| \(\ln(e)\) | \(=1\) (denn \(e^{1}=e\)) |
| \(\ln\!\left(e^{k}\right)\) | \(=k\) (für jedes \(k\in\mathbb{R}\)) |
| \(e^{\ln(x)}\) | \(=x\) (für \(x>0\)) |
| \(\ln\!\left(\tfrac{1}{e}\right)\) | \(=-1\) |
4 Logarithmengesetze
Für \(u,v>0\) und \(n\in\mathbb{R}\) gilt:
- Produkt: \(\ln(u\cdot v)=\ln(u)+\ln(v)\)
- Quotient: \(\ln\!\left(\dfrac{u}{v}\right)=\ln(u)-\ln(v)\)
- Potenz: \(\ln\!\left(u^{n}\right)=n\cdot\ln(u)\)
Beispiel. \(\ln(8)=\ln\!\left(2^{3}\right)=3\ln(2)\) und \(\ln\!\left(\tfrac{e^{2}}{5}\right)=2-\ln(5)\).
5 Gleichungen lösen (hilfsmittelfrei)
Kernidee: \(\ln\) und \(e^{x}\) heben sich gegenseitig auf. Immer den Definitionsbereich \(x>0\) beachten.
Beispiel A. \(\ln(x)=3\)
| \(x=e^{3}\) | beide Seiten mit \(e\) potenzieren |
| \(x=e^{3}\approx 20{,}1\); \(e^{3}>0\Rightarrow\) im Definitionsbereich | Probe / Definitionsbereich |
Beispiel B. \(e^{x}=7\)
| \(x=\ln(7)\) | beide Seiten logarithmieren |
Beispiel C. \(2\ln(x)-4=0\)
| \(2\ln(x)=4 \Rightarrow \ln(x)=2\) | umstellen |
| \(x=e^{2}\approx 7{,}39\) | mit \(e\) potenzieren |
Beispiel D. \(\ln(x-2)=0\)
| \(x-2=e^{0}=1 \Rightarrow x=3\) | \(\ln(\cdot)=0\Leftrightarrow \text{Argument}=1\) |
| Definitionsbereich: \(x-2>0\Rightarrow x>2\); \(x=3\) gültig | prüfen |
6 Ableitung und Stammfunktion
- Ableitung: \(\big(\ln(x)\big)’=\dfrac{1}{x}\) (für \(x>0\))
- Mit Kettenregel: \(\big(\ln(u(x))\big)’=\dfrac{u'(x)}{u(x)}\)
- Stammfunktion: \(\displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\)
Beispiel. \(f(x)=\ln(3x-1)\Rightarrow f'(x)=\dfrac{3}{3x-1}\).
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
\(\ln(0)\) oder \(\ln\) einer negativen Zahl berechnen.
✓ Richtig
\(\ln\) ist nur für \(x>0\) definiert. \(\ln(0)\) existiert nicht (Asymptote \(x=0\)).
✗ Falsch
\(\ln(u+v)=\ln(u)+\ln(v)\) verwenden.
✓ Richtig
Das gilt nur fürs Produkt: \(\ln(u\cdot v)=\ln(u)+\ln(v)\). Für Summen gibt es kein Gesetz.
✗ Falsch
Beim Lösen den Definitionsbereich \(x>0\) vergessen.
✓ Richtig
Scheinlösungen aussortieren: nur Werte mit positivem Argument sind gültig.
Auf einen Blick
- \(\ln\) = Umkehrfunktion von \(e^{x}\): \(\ln(x)=y\Leftrightarrow e^{y}=x\); \(D=\;]0;\infty[\), \(W=\mathbb{R}\).
- Graph: streng monoton steigend, rechtsgekrümmt, Nullstelle \((1\mid0)\), senkrechte Asymptote \(x=0\).
- Werte: \(\ln(1)=0\), \(\ln(e)=1\), \(\ln(e^{k})=k\), \(e^{\ln(x)}=x\).
- Gesetze: Produkt \(\to\) Summe, Quotient \(\to\) Differenz, Potenz \(\to\) Faktor.
- Gleichungen: \(\ln(x)=c\Rightarrow x=e^{c}\); \(e^{x}=c\Rightarrow x=\ln(c)\) – Definitionsbereich prüfen.
- Ableitung: \(\big(\ln x\big)’=\tfrac1x\); Stammfunktion \(\int\tfrac1x\,dx=\ln|x|+C\).
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