Verknüpfte Exponential- und Logarithmusfunktionen
Mathematik FOS/BOS 13 · Bayern · Exponential- und Logarithmusfunktionen (Nichttechnik)
Oft treten \(e^{x}\) und \(\ln(x)\) verknüpft mit ganzrationalen Funktionen auf – als Produkt (z. B. \(x\cdot e^{x}\)), als Verkettung (z. B. \(e^{-x^{2}}\), \(\ln(x^{2}+1)\)) oder in Transformationen wie \(a\cdot\ln(bx-c)+d\). Die Kurvendiskussion folgt festen Regeln.
1 Nullstellen: \(e^{x}\) wird nie null
Da \(e^{x}>0\) für alle \(x\) gilt, liefert bei einem Produkt \(f(x)=g(x)\cdot e^{x}\) nur der Faktor \(g(x)\) Nullstellen:
\(g(x)\cdot e^{x}=0 \;\Longleftrightarrow\; g(x)=0\)
Beispiele.
| \(f(x)=x\,e^{x}=0 \Rightarrow x=0\) | nur \(x=0\) |
| \(f(x)=(x^{2}-1)e^{x}=0 \Rightarrow x=\pm 1\) | Faktor \(x^{2}-1=0\) |
| \(f(x)=e^{x}-2=0 \Rightarrow e^{x}=2 \Rightarrow x=\ln(2)\) | umstellen zu \(\ln\) |
2 Ableiten: Produkt- und Kettenregel
- Produkt \(g(x)\cdot e^{x}\): \(\big(g\,e^{x}\big)’=\big(g'(x)+g(x)\big)e^{x}\)
- Verkettung \(e^{u(x)}\): \(\big(e^{u}\big)’=u'(x)\,e^{u(x)}\)
- Verkettung \(\ln(u(x))\): \(\big(\ln u\big)’=\dfrac{u'(x)}{u(x)}\)
Beispiele.
| \(f(x)=x\,e^{x}\Rightarrow f'(x)=(1+x)e^{x}\) | Produktregel |
| \(f(x)=e^{-x^{2}}\Rightarrow f'(x)=-2x\,e^{-x^{2}}\) | Kettenregel |
| \(f(x)=\ln(3x-1)\Rightarrow f'(x)=\dfrac{3}{3x-1}\) | Kettenregel |
3 Verhalten im Unendlichen: \(e^{x}\) dominiert
Die Exponentialfunktion wächst schneller als jede Potenz. Deshalb gilt für Produkte aus Polynom und \(e^{x}\):
- \(x^{n}\cdot e^{x}\to 0\) für \(x\to-\infty\) (\(e^{x}\) „gewinnt“ gegen das Polynom)
- \(x^{n}\cdot e^{x}\to \pm\infty\) für \(x\to+\infty\)
- Bei \(e^{-x}\) ist es umgekehrt: \(x^{n}\,e^{-x}\to 0\) für \(x\to+\infty\)
4 Kurvendiskussion – Beispiel \(f(x)=x\,e^{x}\)
Vollständige Untersuchung.
| \(D_f=\mathbb{R}\) | Definitionsmenge |
| \(f(x)=0\Rightarrow x=0\); \(y\)-Achse: \(f(0)=0\) | Nullstelle / Achsenschnitt \((0\mid0)\) |
| \(f'(x)=(1+x)e^{x}=0\Rightarrow x=-1\) | Extremstelle |
| \(f“(x)=(2+x)e^{x}\Rightarrow f“(-1)=e^{-1}>0\) | \(\Rightarrow\) Tiefpunkt |
| \(T(-1\mid -\tfrac{1}{e})\approx(-1\mid -0{,}37)\) | Tiefpunkt |
| \(f“(x)=0\Rightarrow x=-2\Rightarrow\) Wendepunkt \(W(-2\mid -\tfrac{2}{e^{2}})\) | Wendepunkt |
| \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0\) (von unten), \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) | Grenzverhalten |
5 \(\ln\)-Verknüpfungen und Transformationen
Bei \(f(x)=a\cdot\ln(bx-c)+d\) gilt:
- Definitionsbereich aus \(bx-c>0\).
- \(a\): Streckung/Spiegelung (an der \(x\)-Achse bei \(a<0\)).
- \(d\): Verschiebung nach oben/unten; \(c\): Verschiebung der senkrechten Asymptote.
- Asymptote: \(bx-c=0\Rightarrow x=\tfrac{c}{b}\).
Beispiel. \(f(x)=\ln(x-2)\): Definitionsbereich \(x>2\), senkrechte Asymptote \(x=2\), Nullstelle bei \(x-2=1\Rightarrow x=3\).
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
\(g(x)\cdot e^{x}=0\) auch für \(e^{x}=0\) lösen.
✓ Richtig
\(e^{x}\) wird nie null – nur \(g(x)=0\) liefert Nullstellen.
✗ Falsch
\(\big(x\,e^{x}\big)’=1\cdot e^{x}\) (nur einen Faktor ableiten).
✓ Richtig
Produktregel: \(\big(x\,e^{x}\big)’=(1+x)e^{x}\).
✗ Falsch
Bei \(a\ln(bx-c)+d\) den Definitionsbereich \(bx-c>0\) vergessen.
✓ Richtig
Immer zuerst \(bx-c>0\) lösen – sonst Scheinlösungen.
Auf einen Blick
- Nullstellen: \(e^{x}\neq0\Rightarrow\) nur der Polynomfaktor \(g(x)=0\).
- Ableiten: \(\big(g\,e^{x}\big)’=(g’+g)e^{x}\); \(\big(e^{u}\big)’=u’e^{u}\); \(\big(\ln u\big)’=\tfrac{u‘}{u}\).
- Grenzverhalten: \(e^{x}\) dominiert – \(x^{n}e^{x}\to0\) für \(x\to-\infty\).
- \(\ln\)-Transformation \(a\ln(bx-c)+d\): Definitionsbereich \(bx-c>0\), Asymptote \(x=\tfrac{c}{b}\).
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