Verknüpfte Exponential- und Logarithmusfunktionen
Mathematik FOS/BOS 13 · Bayern · Exponential- und Logarithmusfunktionen (Nichttechnik)
Oft treten \(e^{x}\) und (ln(x)) verknüpft mit ganzrationalen Funktionen auf – als Produkt \(z. B. (x\cdot e^{x})\), als Verkettung \(z. B. (e^{-x^{2}}), (\ln(x^{2}+1))\) oder in Transformationen wie \(a\cdot \ln (bx-c)+d\). Die Kurvendiskussion folgt festen Regeln.
1 Nullstellen: \(e^{x}\) wird nie null
Da \(e^{x} \gt 0\) für alle (x) gilt, liefert bei einem Produkt \(f(x)=g(x)\cdot e^{x}\) nur der Faktor (g(x)) Nullstellen:
\(g(x)\cdot e^{x}=0 ;Longleftrightarrow; g(x)=0\)
Beispiele.
| \(f(x)=x,e^{x}=0 \Rightarrow x=0\) | nur \(x=0\) |
| \(f(x)=(x^{2}-1)e^{x}=0 \Rightarrow x=\pm 1\) | Faktor \(x^{2}-1=0\) |
| \(f(x)=e^{x}-2=0 \Rightarrow e^{x}=2 \Rightarrow x=\ln(2)\) | umstellen zu (ln) |
2 Ableiten: Produkt- und Kettenregel
- Produkt \(g(x)\cdot e^{x}\): \(\big(g,e^{x}\big)’=\big(g'(x)+g(x)\big)e^{x}\)
- Verkettung \(e^{u(x)}\): \(\big(e^{u}\big)’=u'(x),e^{u(x)}\)
- Verkettung (ln(u(x))): \(\big(\ln ubig)’=\dfrac{u'(x)}{u(x)}\)
Beispiele.
| \(f(x)=x,e^{x}\Rightarrow f'(x)=(1+x)e^{x}\) | Produktregel |
| \(f(x)=e^{-x^{2}}\Rightarrow f'(x)=-2x,e^{-x^{2}}\) | Kettenregel |
| \(f(x)=\ln(3x-1)\Rightarrow f'(x)=\dfrac{3}{3x-1}\) | Kettenregel |
3 Verhalten im Unendlichen: \(e^{x}\) dominiert
Die Exponentialfunktion wächst schneller als jede Potenz. Deshalb gilt für Produkte aus Polynom und \(e^{x}\):
- \(x^{n}\cdot e^{x}\to 0\) für (xto-infty) \((e^{x}) „gewinnt“ gegen das Polynom\)
- \(x^{n}\cdot e^{x}\to pm\infty\) für (xto+infty)
- Bei \(e^{-x}\) ist es umgekehrt: \(x^{n},e^{-x}\to 0\) für (xto+infty)
4 Kurvendiskussion – Beispiel \(f(x)=x,e^{x}\)
Vollständige Untersuchung.
| \(D_f=\mathbb{R}\) | Definitionsmenge |
| \(f(x)=0\Rightarrow x=0\); (y)-Achse: \(f(0)=0\) | Nullstelle / Achsenschnitt \((0\mid0)\) |
| \(f'(x)=(1+x)e^{x}=0\Rightarrow x=-1\) | Extremstelle |
| \(f^{\prime\prime}(x)=(2+x)e^{x}\Rightarrow f^{\prime\prime}(-1)=e^{-1}\gt 0\) | (Rightarrow) Tiefpunkt |
| \(T(-1\mid -\tfrac{1}{e})\approx(-1\mid -0{,}37)\) | Tiefpunkt |
| \(f^{\prime\prime}(x)=0\Rightarrow x=-2\Rightarrow\) Wendepunkt \(W(-2\mid -\tfrac{2}{e^{2}})\) | Wendepunkt |
| \(limlimits_{xto-\infty}f(x)=0\) (von unten), \(limlimits_{xto+\infty}f(x)=+\infty\) | Grenzverhalten |
5 (ln)-Verknüpfungen und Transformationen
Bei \(f(x)=a\cdot \ln (bx-c)+d\) gilt:
- Definitionsbereich aus \(bx-c \gt 0\).
- (a): Streckung/Spiegelung (an der (x)-Achse bei \(a \lt 0\)).
- (d): Verschiebung nach oben/unten; (c): Verschiebung der senkrechten Asymptote.
- Asymptote: \(bx-c=0\Rightarrow x=\tfrac{c}{b}\).
Beispiel. \(f(x)=\ln(x-2)\): Definitionsbereich \(x \gt 2\), senkrechte Asymptote \(x=2\), Nullstelle bei \(x-2=1\Rightarrow x=3\).
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
\(g(x)\cdot e^{x}=0\) auch für \(e^{x}=0\) lösen.
✓ Richtig
\(e^{x}\) wird nie null – nur \(g(x)=0\) liefert Nullstellen.
✗ Falsch
\(\big(x,e^{x}\big)’=1\cdot e^{x}\) (nur einen Faktor ableiten).
✓ Richtig
Produktregel: \(\big(x,e^{x}\big)’=(1+x)e^{x}\).
✗ Falsch
Bei (aln(bx-c)+d) den Definitionsbereich \(bx-c \gt 0\) vergessen.
✓ Richtig
Immer zuerst \(bx-c \gt 0\) lösen – sonst Scheinlösungen.
Auf einen Blick
- Nullstellen: \(e^{x}\neq0\Rightarrow\) nur der Polynomfaktor \(g(x)=0\).
- Ableiten: \(\big(g,e^{x}\big)’=(g’+g)e^{x}\); \(\big(e^{u}\big)’=u’e^{u}\); \(\big(\ln ubig)’=\tfrac{u‘}{u}\).
- Grenzverhalten: \(e^{x}\) dominiert – \(x^{n}e^{x}\to0\) für (xto-infty).
- (ln)-Transformation (aln(bx-c)+d): Definitionsbereich \(bx-c \gt 0\), Asymptote \(x=\tfrac{c}{b}\).
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